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复习平面解析几何--吕维留


平面解析几何初步(直线与方程、圆与方程)
复习纲要及基础知识训练
一、 直线的方程(点斜式)
1、 过点 P1 ( x 1 , y 1 ) ,斜率为 k 的直线方程的点斜式方程是 2、 斜率为 k ,在 y 轴上的截距为 b 的直线的斜截式方程是 3、 注意:特殊直线: 1) 2) 过点 P1 ( x 1 , y 1 ) ,且斜率不存在(即垂直于 x

轴)的直线的方程是 过点 P1 ( x 1 , y 1 ) ,且斜率为 0 (即垂直于 y 轴)的直线的方程是

二、

直线的方程(两点式)

1、 经过 P1 ( x 1 , y 1 ) , P2 ( x 2 , y 2 ) 两点的直线的两点式方程是 2、 特别地: 1) 当 x 1 ? x 2 时,直线的方程是 2) 当 y 1 ? y 2 时,直线的方程是 3、 经过两点 A (a , 0 ) , B ( 0 , b ) 其中 ab ? 0 的直线的截距式方程是 ;

三、

直线的方程(一般式)
2 2

方程 Ax ? By ? C ? 0 , ( A ? B 直线方程的五种形式: 直 线 形 式 点 斜 式 斜 截 式

? 0 ) 叫做直线的一般式方程。

直线方程

局限性

选择条件

y ? y 1 ? k ( x ? x1 )

不能表示与 x 轴垂直的 直线 不能表示与 x 轴垂直的 直线

①已知一个定点和斜率 ②已知一点,可以设点斜式 方程(但注意:设之前先考 虑斜率不存在的情况) ①已知在 y 轴上的截距和 斜率 ②已知斜率,可以设斜截式 方程

y ? kx ? b

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两 点 式

y ? y1 y 2 ? y1

?

x ? x1 x 2 ? x1

, x1 ? x 2 , y1 ? y 2 ) (

不能表示与 x 轴、 y 轴垂 直的直线 ①不能表示 与 x 轴、 y 轴

已知两个定点

截 距 式

已知在两个坐标轴上的截 距

x a

?

y b

? 1 , ( ab ? 0 )

垂直的直线; ②不能表示 过原点的直 线
2

一 般 式

Ax ? By ? C ? 0 , ( A ? B
2

? 0)

能表示所有 直线

求直线方程的最后结果均 可以化为一般形式(要求)

四、

两条直线的平行与垂直(前提为不重合的两条直线)

1、 两条直线 l 1 , l 2 的斜率都存在,设为 k 1 , k 2 , 1) 若 l 1 // l 2 ,则 2) 若 k 1 ? k 2 ,则 2、 注意: 1) 当两条直线 l 1 , l 2 的斜率都不存在时,则 l 1 , l 2 的位置关系为 2) 当两条直线 l 1 , l 2 中的一条直线的斜率不存在时,且 l 1 ? l 2 ,则另一条直线的斜率 为 ;若 l 1 ? l 2 ,则 ;若 k 1 ? k 2 ? ? 1 ,则

五、

两条直线的交点

1、 设 l1: A1 x ? B 1 y ? C 1 ? 0 , l 2: A 2 x ? B 2 y ? C 2 ? 0 方程组

?

A1 x ? B1 y ? C 1 ? 0 A2 x ? B 2 y ? C 2 ? 0

的解

一组解 一个 相交

无数组解 无数个 重合

无解 零个 平行

两条直线的公共点 直线的位置关系

2、 已知直线 l1: A1 x ? B 1 y ? C 1 ? 0 和 l 2: A 2 x ? B 2 y ? C 2 ? 0 相交,那么 方程 A1 x ? B 1 y ? C 1 ? ? ( A 2 x ? B 2 y ? C 2 ) ? 0 ( ? 为任意实数) 表示的直线有什么特点?

六、

两点间的距离
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1、 已知 P1 ( x 1 , y 1 ) , P2 ( x 2 , y 2 ) ,则 P1 P2 ? 2、 已知 P1 ( x 1 , y 1 ) , P2 ( x 2 , y 2 ) ,则线段 P1 P2 的中点 M 的坐标为 3、 若已知 P ( a , b ) ,则点 P 关于点 M ( x 0 , y 0 ) 对称的点 P1 的坐标为

七、

点到直线的距离

1、 已知一点 P ( x 0 , y 0 ) ,直线 l 的方程为 Ax ? By ? C ? 0 ,则点 P 到直线 l 的距离 为d ?
( 2、 已知直线 l 1: Ax ? By ? C 1 ? 0 和 l 2: Ax ? By ? C 2 ? 0 , C 1 ? C 2 ) 则这两条直线间的距

离为 d ?

八、

圆的标准方程

1、 圆的标准方程:圆心为 C ( a , b ) ,半径为 r 的圆的标准方程为 2、 单位圆:以 为圆心,半径为 3、 求圆的标准方程的思路: ⑴ ⑵ 的圆,其标准方程为

九、

圆的一般方程
2

1、 圆的一般方程: 2、 注意:⑴ x 、 y 的系数相同,且不等于 0
2

⑵不含 xy 项

⑶ D ? E ? 4F ? 0
2 2

十、

直线与圆的位置关系
; ;
2

1、 直线与圆的位置关系有三种:

2、 直线与圆的位置关系判断方法:l: Ax ? By ? C ? 0 圆 C : x 1) 代数法:

? y

2

? Dx ? Ey ? F ? 0

?

Ax ? By ? C ? 0 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0
2 2

用代入消元法将方程组转化为一个关于 x (或 y )的一元

二次方程,若该方程的 ? ? 0 ,则方程有两个不等的实数根,即方程组有两组解,直线 l 与圆 C ? ? 0 ,则方程有两个相等的实数根,即方程组有一组解,直线 l 与圆 C ? ? 0 ,则方程没有实数根,即该方程组无解,直线 l 与圆 C 2) 几何法:圆心 C 到直线 l 的距离 d 与半径 r 比较: 若 d ? r ,则直线 l 与圆 C 若 d ? r ,则直线 l 与圆 C 若 d ? r ,则直线 l 与圆 C 3、 圆的切线方程的求法: 1) 在设点斜式之前,必须考虑斜率不存在时,是否满足题意。
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2) 设点斜式方程。 3) 下面分两种解法: ①代数法:联立方程组,消元后,判断 ? ? 0 ,解出 k ②几何法:用圆心到直线的距离 d 等于半径 r ,列式解出 k 4、 圆的弦长求法: 1) 代数法:联立方程组,解出直线与圆的交点坐标,再用两点间距离求得; 2) 几何法:利用点到直线的距离、半弦长、半径三者满足勾股定理求得。

十一、 圆与圆的位置关系
1、 圆与圆的位置关系有五种: 2、 圆与圆的位置关系的判断步骤: 第一步: 第二步: 第三步: 3、 判断的依据: 外离 外切 ; ; ; ;

相交

内切

内含

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