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【优化方案】2014届高考数学(理科,大纲版)一轮复习配套课件:6.4 不等式的解法(共34张PPT)


§6.4

不等式的解法

本节目录

教 材 回 顾 夯 实 双 基

考 点 探 究 讲 练 互 动

考 向 瞭 望 把 脉 高 考

知 能 演 练 轻 松 闯 关

教材回顾夯实双基
基础梳理
1.分式不等式

的解法 先将分式不等式移项、通分,整理成一边为 0 的形式,再等价 转化为整式不等式求解,即 f?x? f?x? f(x)· g(x)>0 f(x)· g(x)<0 (1) >0?____________; (2) <0?______________; g?x? g?x? ?f?x?· ?f?x?· g?x?≥0 g?x?≤0 ? ? ? ? f?x? f?x? ? ? ?g?x?≠0 ?g?x?≠0 (3) ≥0?_____________;(4) ≤0?________________. g?x? g?x?

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2.高次不等式的解法 一元高次不等式常用数轴标根法(或称“区间法”、“穿 根法”),方法为:将高次不等式右边化为0,左边最高次数项 的系数化为正数,然后对左边进行因式分解及同解变形, 设xn<xn-1<?<x2<x1,则解集情况如表: a(x-x1)(x-x2)? 解集是右起奇序数的区间 (x-xn)>0 (即数轴上方曲线和数轴围成的区域) (a>0,xi≠xj,i≠j) a(x-x1)(x-x2)? 解集是右起偶序数的区间 (x-xn)<0 (即数轴下方曲线和数轴围成的区域) (a>0,xi≠xj,i≠j)

目录

思考探究 对于高次不等式的重因式如何处理? 提示:有些高次不等式因式分解后,可能会出现重因式,由 于奇次重因式的符号与一次因式的符号一致,因此奇次重因 式可以直接改写为一次因式;如果是偶次重因式,则分偶次

重因式等于0和大于0两种情形讨论.

目录

课前热身
x-1 1.(2012· 高考重庆卷)不等式 ≤0 的解集为( 2x+1 ?-1,1? ?-1,1 ? A. 2 B. 2 ? ? ? ? )

?-∞,-1 ?∪[1,+∞) C. 2? ?

?-∞,-1?∪[1,+∞) D. 2? ?

?x-1≤0, ? x-1 解 析 : 选 A. ≤0 等 价 于 不 等 式 组 ? ①或 2x+1 ?2x+1>0, ? ?x-1≥0, ? 1 ? ②解①得- <x≤1,解②得 x∈?, 2 ? ?2x+1<0.

?-1,1?. ∴原不等式的解集为 2 ? ?
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x-1 2.不等式 ≥2 的解集为( x A.[-1,0) C.(-∞,-1]

)

B.[-1,+∞) D.(-∞,-1]∪(0,+∞)

答案:A

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?x+2 ? 3.已知函数 f(x)=? ?-x+2 ?

?x≤0? ?x>0?

,则不等式 f(x)≥x2 的解

集为(

) B.[-1,0] D.[-1,2]

A.[-1,1] C.[-2,1]

答案:A

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4.不等式x+x3≥0的解集为________. 答案:[0,+∞)
1 5.不等式 log2(x+ +6)≤3 的解集为________. x

答案:(-3-2 2,-3+2 2)∪{1}

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考点探究讲练互动
考点突破
考点 1 分式或高次不等式

通过因式分解,将它化成一次或二次因式的乘积,然后用数 轴标根法(即穿根法)解之,但要注意对有恒定符号的式子, 如 x2,x2+x+1 等情况的处理.用穿根法来解分式不等式、 高次不等式比较方便, 但在穿根时要注意把不等式整理成标 准形式,即把各因式中未知数 x 的系数化为 1.

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例1

3x-5 解不等式 2 ≤2. x +2x-3
移项 → 通分 → 化为整式不等式 → 求解 .

【思路分析】

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3x-5 【解】 原不等式等价变形为: 2 -2≤0, x +2x-3 -2x2-x+1 2x2+x-1 即为 2 ≤0,即为 2 ≥0, x +2x-3 x +2x-3
??2x2+x-1??x2+2x-3?≥0 ? 即为? 2 , ?x +2x-3≠0 ? ??2x-1??x+1??x+3??x-1?≥0, ? 即等价变形为? . ?x≠-3,且x≠1 ?

如图所示: 1 可得原不等式的解集为{x|x<-3,或-1≤x≤ ,或 x>1}. 2
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【名师点评】

易把根的方向穿错:应该是“右上方”开始

穿.另外,易分不清虚实点,或者漏掉“=”情况.

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考点2

含参数的不等式

含参数不等式的求解,要视参数为常数,按照通常解不等式 的过程进行求解,直到会出现几种可能时,再分类讨论.解 含参数不等式时应尽可能向同类型不含参数不等式转化.

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ax-2 例2 已知不等式 >0(a∈R),解此不等式. x+1

【思路分析】

原式→(ax-2)(x+1)>0→讨论a.

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【解】 当 a=0 时,不等式为-2(x+1)>0 ∴x<-1. 2 当 a>0 时,原不等式等价为(x- )(x+1)>0, a 2 ∵ >-1, a 2 ∴x> 或 x<-1. a 2 当 a<0 时,原不等式等价为(x- )(x+1)<0. a a+2 2 -(-1)= , a a 2 ①a>-2 时, <-1. a 2 ∴ <x<-1. a
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②a=-2 时,不等式为(x+1)2<0.∴x∈?. 2 ③a<-2 时, >-1, a 2 ∴-1<x< , a 综上可得,当 a=0 时,不等式的解集为{x|x<-1}; ? ? 2 ? 当 a>0 时,不等式的解集为?x?x<-1或x>a ?; ? ? ? ?2 ? 当-2<a<0 时,不等式的解集为?x?a<x<-1 ?; ? ? 当 a=-2 时,不等式的解集为?; 2? ? ? ?x -1<x< ? . 当 a<-2 时,不等式的解集为 ? a? ?
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【思维总结】

本题对参数a的讨论分为两层:一层为:讨论

二次函数的正负,二层讨论根的大小.

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跟踪训练
ax-1 1 已知关于 x 的不等式 <0 的解集是(-∞,-1)∪(- , 2 x+1 +∞),则 a=________.
ax-1 解析: <0?(ax-1)(x+1)<0. x+1 1 1 据解集的结构可知:a<0 且 =- ,∴a=-2. 2 a

答案:-2

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考点3

解不等式的综合应用

不等式在满足参数的条件下恒成立,求x的范围,往往转化为 函数求最值问题.

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例3

设不等式mx2 -2x+1-m≤0对于满足|m|≤2的一切m

的值都成立,求x的取值范围. 【思路分析】 本题实质上可视为关于m的一次不等式,并且

已知它的解集为m∈[-2,2],求参数x的范围,可用函数思想 及数形结合法解决.

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【解】 法一:原不等式可化为(x2-1)m≤2x-1. (1)当 x2-1=0,即 x=± 时,易知 1 若 x=1,则 2x-1=1>0,不等式成立. 若 x=-1,则 2x-1=-3<0,不等式不成立, ∴x=1 符合题意,x=-1 不符合题意. 2x-1 2 (2)当 x -1>0,即 x<-1 或 x>1 时,m≤ 2 , x -1 2x-1 对一切 m∈[-2,2]都成立的充要条件为 2 ≥2, x -1

? 1+ 3 ∴?2x-1 ,解得 1<x≤ . 2 ? x2-1 ≥2 ?
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x2-1>0 ?

2x-1 (3)当 x -1<0,即-1<x<1 时,m≥ 2 x -1 2x-1 对一切 m∈[-2,2]都成立的充要条件是 2 ≤-2. x -1
2

?-1<x<1 ? -1+ 7 ∴?2x-1 ,解得 ≤x<1. 2 ? x2-1 ≤-2 ?
-1+ 7 1+ 3 综上,x 的取值范围是{x| ≤x≤ }. 2 2 法二:令 f(m)=(x2-1)m+(1-2x). (1)当 x2-1=0,即 x=± 时, 1 若 x=1,则对一切 m,f(m)=-1<0,不等式成立, x=-1 时不成立.
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(2)当 x2 - 1≠0 时, f(m)是关于 m 的一 次函数, 由题意有 ?f?-2?≤0 ?-2?x2-1?+1-2x≤0, ① ? ? ? ,即? 2 ? ? ?f?2?≤0 ?2?x -1?+1-2x≤0, ② -1- 7 -1+ 7 由①得 x≤ 或 x≥ (x≠1), 2 2 1- 3 1+ 3 由②得 ≤x≤ (x≠1). 2 2 -1+ 7 1+ 3 ∴ ≤x≤ (x≠1). 2 2 -1+ 7 1+ 3 综上,x 的取值范围是{x| ≤x≤ }. 2 2

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【思维总结】

法一:运用了“分离变量法”;法二:可称

之为“变更主元”,构造函数,再数形结合,解法较合理.

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方法感悟
方法技巧

1.分式不等式的求解步骤一般是移项——通分——化乘积,
转化为整式不等式求解.另外,对于分式不等式或高次不等 式,还可以根据分式或因式的符号规律,转化为不等式组进 行求解. 2.解含有参数的不等式,当参数影响不等式的同解变形或解

集时,对参数进行讨论.

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3.不等式的“恒成立”、“能成立”、“恰成立”问题.
(1)不等式中恒成立问题 ①若不等式f(x)>A在区间D上恒成立,则等价于在区间D上

[f(x)]min>A.
②若不等式f(x)<B在区间D上恒成立,则等价于在区间D上 [f(x)]max<B. (2)不等式中能成立问题 ①若在区间D上存在实数x使不等式f(x)>A成立,则等价于在区 间D上[f(x)]max>A. ②若在区间D上存在实数x使不等式f(x)<B成立,则等价于在区 间D上[f(x)]min<B.
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(3)不等式中恰成立问题 ①若不等式f(x)>A在区间D上恰成立,则等价于不等式f(x)>A 的解集为D. ②若不等式f(x)<B在区间D上恰成立,则等价于不等式f(x)<B 的解集为D.

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失误防范 1.解不等式的过程实质上是用同解不等式逐步代换,化简原 不等式的过程,因而保持同解变形就成为解不等式应遵循的 主要原则. 2.对参数的讨论要全面、不重复、不遗漏.

3.解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量,谁是参数.
一般地,知道谁的范围,谁就是变量,求谁的范围,谁就 是参数.

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考向瞭望把脉高考
命题预测

不等式的解法是高考命题的热点,主要考查一元二次不等式、
分式不等式的解法及各类不等式在变形中的特殊性.常见题 型有选择题、填空题,也有单独考查解不等式的解答题,或

在综合题中考查解不等式的技巧.这部分内容充分体现高中
数学所要求的“等价转换”与“分类讨论”的数学思想方法. 在2012年的高考中,各省市高考试卷都有解不等式的影子, 有的单独出题,如重庆卷是分式不等式的解法. 预测2014年的高考中,不等式的解法是必考内容,一元二次 不等式、分式不等式是考查的重点,对于以不等式为载体求 参数取值范围的试题应予以关注,注意与其它知识的结合.
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规范解答
4 2 例 (本题满分 12 分)已知函数 f(x)=3ax -2(3a+1)x +4x.

1 (1)当 a= 时,求 f(x)的极值; 6 (2)若 f(x)在(-1,1)上是增函数,求 a 的取值范围.

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【解】 (1)f′(x)=4(x-1)(3ax2+3ax-1).(2 分) 1 当 a= 时,f′(x)=2(x+2)(x-1)2, 6 ∴f(x)在(-∞,-2)内单调递减,在(-2,+∞)内单调递增, ∴当 x=-2 时,f(x)有极小值,(4 分) ∴f(x)的极小值是 f(-2)=-12.(6 分) (2)在(-1,1)上,f(x)是增函数, 当且仅当 f′(x)=4(x-1)(3ax2+3ax-1)≥0, 即 3ax2+3ax-1≤0.①(8 分) a.当 a=0 时,①恒成立. b.当 a>0 时,若要①成立,则需 3a·2+3a· 1 1-1≤0, 1 解得 a≤ . 6
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1 2 3a c.当 a<0 时,若要①成立,则需 3a(x+ ) - -1≤0, 2 4 3a 即- -1≤0. 4 4 解得 a≥- .(11 分) 3 4 1 综上,a 的取值范围是[- , ].(12 分) 3 6

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【名师点评】 本题考查了函数的性质、极值、最值、单调性、 不等式恒成立等,属中档偏上.外观上是函数问题,但解决问 题的过程是解不等式问题,在(1)中确定单调区间时,要解 f′(x)>0 或 f′(x)<0,在(2)中是解决 3ax2+3ax-1≤0 恒成立 求 a.本题的入手点考生都知道,求导,但出错及难点就在解不 等式上.可见解不等式是本题最关键最基础的,同时本题也考 查了分类讨论思想,题目综合性较强.

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