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高考数学(理科)大一轮复习:第二章 函数、导数及其应用2 第2章-第12节


方 法 技 巧 核 心 考 向 第十二节 导数的应用(二) 课 时 限 时 检 测 菜 单 方 法 技 巧 [ 考情展望 ] 核 心 考 向 1. 利用导数解决生活中的优化问题 .2.导数 与方程、函数零点、不等式等知识交汇命题,综合考查分析 问题和解决问题的能力. 课 时 限 时 检 测 菜 单 考向一 [041] 导数在方程(函数零点)中的应用

方 法 技 巧 m (2014· 陕西高考)设函数 f(x)=ln x+ x ,m∈R. 核 心 考 向 (1)当 m=e(e 为自然对数的底数)时,求 f(x)的极小值; x (2)讨论函数 g(x)=f′(x)-3零点的个数; f?b?-f?a? (3)若对任意 b>a>0, <1 恒成立,求 m 的取值范 b-a 围. 课 时 限 时 检 测 菜 单 【尝试解答】 e (1)由题设,当 m=e 时,f(x)=ln x+x, x-e 则 f′(x)= x2 , 核 心 考 向 方 法 技 巧 ∴当 x∈(0,e),f′(x)<0,f(x)在(0,e)上单调递减, 当 x∈(e,+∞),f′(x)>0,f(x)在(e,+∞)上单调递增, e ∴当 x=e 时,f(x)取得极小值 f(e)=ln e+e=2, ∴f(x)的极小值为 2. 课 时 限 时 检 测 菜 单 x 1 m x (2)由题设 g(x)=f′(x)-3=x-x2-3(x>0), 1 3 令 g(x)=0,得 m=-3x +x(x>0). 1 3 设 φ(x)=-3x +x(x≥0), 核 心 考 向 方 法 技 巧 则 φ′(x)=-x2+1=-(x-1)(x+1), 当 x∈(0,1)时,φ′(x)>0,φ(x)在(0,1)上单调递增; 当 x∈(1,+∞)时,φ′(x)<0,φ(x)在(1,+∞)上单调递减. ∴x=1 是 φ(x)的唯一极值点,且是极大值点,因此 x=1 也 2 是 φ(x)的最大值点,∴φ(x)的最大值为 φ(1)=3. 菜 单 课 时 限 时 检 测 又 φ(0)=0,结合 y=φ(x)的图象(如图),可知 方 法 技 巧 核 心 考 向 2 ①当 m>3时,函数 g(x)无零点; 2 ②当 m=3时,函数 g(x)有且只有一个零点; 2 ③当 0<m<3时,函数 g(x)有两个零点; ④当 m≤0 时,函数 g(x)有且只有一个零点; 菜 单 课 时 限 时 检 测 2 综上所述,当 m>3时,函数 g(x)无零点; 核 心 考 向 方 法 技 巧 2 当 m=3或 m≤0 时,函数 g(x)有且只有一个零点; 2 当 0<m<3时,函数 g(x)有两个零点. 课 时 限 时 检 测 菜 单 f?b?-f?a? (3)对任意的 b>a>0, <1 恒成立, b-a 等价于 f(b)-b<f(a)-a 恒成立.(*) m 设 h(x)=f(x)-x=ln x+ x -x(x>0), 核 心 考 向 方 法 技 巧 ∴(*)等价于 h(x)在(0,+∞)上单调递减. 1 m 由 h′(x)=x -x2-1≤0 在(0,+∞)上恒成立, 得 m≥-x 2 ? 1?2 1 +x=-?x-2? +4(x>0)恒成立, ? ? ? 1 1 1? ? ∴m≥4 对m=4,h′?x?=0仅在x=2时成立?, ? ? 课 时 限 时 检 测 ∴m 菜 ?1 ? 的取值范围是?4,+∞?. ? ? 单 规律方法 1 利用

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