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2015湖北省数学卷---理科


绝密★启用前

2015 年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)


1. i 为虚数单位, i 607 的共轭 复数 为 .. .. A. i B. ?i

学(理工类)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要

求的.

C.1

D. ?1

2.我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米 1534 石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得 254 粒内夹谷 28 粒,则这批米内夹谷约为 A.134 石 B.169 石 C.338 石 D.1365 石

3.已知 (1 ? x) n 的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为 A. 212 4.设 X B. 211 C. 210 D. 2 9

N (?1 , ?12 ) , Y

2 N (?2 , ? 2 ) ,这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是

A. P(Y ? ?2 ) ? P(Y ? ?1 ) B . P ( X ? ? 2 ) ? P( X ? ? 1 ) C.对任意正数 t , P( X ? t ) ? P(Y ? t ) D.对任意正数 t , P( X ? t ) ? P(Y ? t )

5.设 a1 , a2 ,

, an ? R , n ? 3 . 若 p: a1 , a2 ,
2 2 2 ? an ?1 )(a2 ? a3 ?

, an 成等比数列;

第 4 题图

2 ? q: (a12 ? a2

2 ? an ) ? (a1a2 ? a2 a3 ?

? an?1an )2 ,则
B.p 是 q 的必要条件,但不是 q 的充分条件

A.p 是 q 的充分条件,但不是 q 的必要条件 C.p 是 q 的充分必要条件
?1, x ? 0, ? 6.已知符号函数 sgn x ? ?0, x ? 0, ? ?1, x ? 0. ?

D.p 既不是 q 的充分条件,也不是 q 的必要条件
f ( x) 是 R 上的增函数, g ( x) ? f ( x) ? f (ax) (a ? 1) ,则

A. sgn[ g ( x)] ? sgn x C. sgn[ g ( x)] ? sgn[ f ( x)]

B. sgn[ g ( x)] ? ? sgn x D. sgn[ g ( x)] ? ? sgn[ f ( x)]
1 1 ”的概率, p2 为事件“ | x ? y |? ”的概率, p3 为 2 2

7.在区间 [0, 1] 上随机取两个数 x, y ,记 p1 为事件“ x ? y ? 事件“ xy ?
1 ”的概率,则 2

A. p1 ? p2 ? p3

B. p2 ? p3 ? p1

C. p3 ? p1 ? p2

D. p3 ? p2 ? p1

8. 将离心率为 e1 的双曲线 C1 的实半轴长 a 和虚半轴长 b (a ? b) 同时增加 m (m ? 0) 个单位长度, 得到离心率为 e2 的 双曲线 C2 ,则 A.对任意的 a, b , e1 ? e2 C.对任意的 a, b , e1 ? e2 B.当 a ? b 时, e1 ? e2 ;当 a ? b 时, e1 ? e2 D.当 a ? b 时, e1 ? e2 ;当 a ? b 时, e1 ? e2

9.已知集合 A ? {( x, y) x2 ? y2 ? 1, x, y ? Z} , B ? {( x, y) | x |? 2 , | y |? 2, x, y ? Z} ,定义集合

A ? B ?{ ( 1x ? 2 x , 1y ? 2 y) ( 1x, 1y? )
A.77 B.49

A ? B 中元素的个数为 A , (2x , 2y ?) B} ,则

C.45

D.30

10.设 x ? R , [ x] 表示不超过 x 的最大整数. 若存在实数 t ,使得 [t ] ? 1 ,[t 2 ] ? 2 ,?,[t n ] ? n 同时成立 ,则正整 .... 数 n 的最大值是 A.3 B.4 C.5 D.6

二、填空题:本大题共 6 小题,考生需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填在答题卡对应题号 的位置 ....... 上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. (一)必考题(11—14 题) 11.已知向量 OA ? AB , | OA |? 3 ,则 OA ? OB ? . .

x π 12.函数 f ( x) ? 4cos 2 cos( ? x) ? 2sin x?| ln( x ?1) | 的零点个数为 2 2

13.如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30 的方向上,行 驶 600m 后到达 B 处,测得此山顶在西偏北 75 的方向上,仰角为 30 ,则此山的高度 CD ? y m.

D

B C N M A O T x

C B
第 13 题图

A
第 14 题图 且 AB ? 2 .

14.如图,圆 C 与 x 轴相切于点 T (1, 0) ,与 y 轴正半轴交于两点 A, B (B 在 A 的上方) , (Ⅰ )圆 C 的标准 方程为 .. ;

(Ⅱ )过点 A 任作一条直线与圆 O : x 2 ? y 2 ? 1 相交于 M , N 两点,下列三个结论: ①
NA NB ? MA MB

; ②

NB NA

?

MA MB

?2;



NB NA

?

MA MB

?2 2.

其中正确结论的序号是

. (写出所有正确结论的序号)

(二)选考题(请考生在第 15、16 两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用

2B 铅笔涂黑.如果全选,则按第 15 题作答结果计分. ) 15. (选修 4-1:几何证明选讲) 如图,PA 是圆的切线,A 为切点,PBC 是圆的割线,且 BC ? 3PB , 则
AB ? AC
P B C

.
A

第 15 题图 16. (选修 4-4:坐标系与参数方程) 在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线 l 的极坐标方程为
1 ? x?t? , ? ? t ? (sin ? ? 3cos? ) ? 0 , 曲线 C 的参数方程为 ? ? y ?t ?1 ? t ?

( t 为参数) , l 与 C 相交于 A , B 两点, 则 | AB |?

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 11 分)
π 某同学用“五点法”画函数 f ( x) ? A sin(?x ? ?) (? ? 0, | ? | ? ) 在某一个周期内的图象 2

时,列表并填入了部分数据,如下表:
?x ? ?

0

x
A sin(? x ? ? )

π 2 π 3

π

3π 2 5π 6
?5



0

5

0

(Ⅰ)请将上表数据补充完整,填写在答题卡上相应位置 ,并直接写出函数 f ( x) 的解 ........... 析式; (Ⅱ )将 y ? f ( x) 图象上所有点向左平行移动 ? (? ? 0) 个单位长度,得到 y ? g ( x) 的图 象. 若 y ? g ( x) 图象的一个对称中心为 (
5π , 0) ,求 ? 的最小值. 12

18. (本小题满分 12 分) 设等差数列 {an } 的公差为 d, 前 n 项和为 Sn , 等比数列 {bn } 的公比为 q. 已知 b1 ? a1 ,b2 ? 2 ,q ? d ,S10 ? 100 . (Ⅰ )求数列 {an } , {bn } 的通项公式; (Ⅱ )当 d ? 1 时,记 cn ?
an ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn . bn

19. (本小题满分 12 分) 《九章算术》 中, 将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马, 将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑. 如图,在阳马 P ? ABCD 中,侧棱 PD ? 底面 ABCD ,且 PD ? CD ,过棱 PC 的中 点 E ,作 EF ? PB 交 PB 于点 F ,连接 DE, DF , BD, BE. (Ⅰ)证明: PB ? 平面DEF .试判断四面体 DBEF 是否为鳖臑,若是,写出其每 个面的直角(只需写出结论) ;若不是,说明理由; (Ⅱ)若面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为
π , 3
A

P

F

E

D

C

B

第 19 题图 求
DC 的值. BC

20. (本小题满分 12 分) 某厂用鲜牛奶在某台设备上生产 A, B 两种奶制品.生产 1 吨 A 产品需鲜牛奶 2 吨,使用设备 1 小时,获利 1000 元;生产 1 吨 B 产品需鲜牛奶 1.5 吨,使用设备 1.5 小时,获利 1200 元.要求每天 B 产品的产量不超过 A 产品 产量的 2 倍,设备每天生产 A, B 两种产品时间之和不超过 12 小时. 假定每天可获取的鲜牛奶数量 W(单位: 吨)是一个随机变量,其分布列为 W P 12 0.3 15 0.5 18 0.2

该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产,使其获利最大,因此每天的最大获利 Z (单位:元)是一个随机变 量. (Ⅰ)求 Z 的分布列和均值; (Ⅱ) 若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立,求 3 天中至少有 1 天的最大获利超过 10000 元的概率.

21. (本小题满分 14 分) 一种作图工具如图 1 所示. O 是滑槽 AB 的中点,短杆 ON 可绕 O 转动,长杆 MN 通过 N 处铰链与 ON 连接, MN 上的栓子 D 可沿滑槽 AB 滑动,且 DN ? ON ? 1 , MN ? 3 .当栓子 D 在滑槽 AB 内作往复运动时,带动 ..N 绕 O 转动一周(D 不动时,N 也不动) ,M 处的笔尖画出的曲线记为 C.以 O 为原点, AB 所在的直线为 x 轴建 立如图 2 所示的平面直角坐标系. (Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)设动直线 l 与两定直线 l1 : x ? 2 y ? 0 和 l2 : x ? 2 y ? 0 分别交于 P, Q 两点.若直线 l 总与曲线 C 有且只有一个公共点,试探究:△OPQ 的面积是否存在最小值?若 存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.

y

N A D O B

N D M O x

M
第 21 题图 1

第 21 题图 2

22. (本小题满分 14 分)
1 已知数列 {an } 的各项均为正数, bn ? n (1 ? )n an (n ? N? ) ,e 为自然对数的底数. n

1 (Ⅰ )求函数 f ( x) ? 1 ? x ? e x 的单调区间,并比较 (1 ? )n 与 e 的大小; n

(Ⅱ )计算

b1 bb bb b bb , 1 2 , 1 2 3 ,由此推测计算 1 2 a1 a1a2 a1a2 a3 a1a2
1

bn 的公式,并给出证明; an

(Ⅲ )令 cn ? (a1a2

an ) n ,数列 {an } , {cn } 的前 n 项和分别记为 Sn , Tn , 证明: Tn ? eSn .

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2015 年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)

数学(理工类)试题参考答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.A 2.B 3.D 4.C 5.A 6.B 7.B 8.D 9.C 10.B

二、填空题(本大题共 6 小题,考生需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.9 12.2 13. 100 6 15.
1 2

14. (Ⅰ ) ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 2 ; (Ⅱ )① ② ③ 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分) 17. (11 分)

16. 2 5

π (Ⅰ )根据表中已知数据,解得 A ? 5, ? ? 2, ? ? ? . 数据补全如下表: 6
?x ? ?

0
π 12

x
A sin(? x ? ? )

π 2 π 3

π

7π 12

3π 2 5π 6
?5



13 π 12

0

5

0

0

π 且函数表达式为 f ( x) ? 5sin(2 x ? ) . 6
π π (Ⅱ )由(Ⅰ )知 f ( x) ? 5sin(2 x ? ) ,得 g ( x) ? 5sin(2x ? 2? ? ) . 6 6 因为 y ? sin x 的对称中心为 (kπ, 0) , k ? Z .

令 2 x ? 2? ?

π kπ π ? kπ ,解得 x ? ? ?? , k ? Z . 6 2 12 5π kπ π 5π , , 0) 成中心对称,令 ? ? ? ? 12 2 12 12

由于函数 y ? g ( x) 的图象关于点 (

解得 ? ? 18. (12 分)

kπ π π ? , k ? Z . 由 ? ? 0 可知,当 k ? 1 时, ? 取得最小值 . 2 3 6

?10a ? 45d ? 100, ?2a ? 9d ? 20, (Ⅰ )由题意有, ? 1 即? 1 ?a1d ? 2, ?a1d ? 2,
1 ? an ? (2n ? 79), ? a1 ? 9, ? a ? 2 n ? 1, ? a ? 1, ? ? n ? ? 9 解得 ? 1 或? 或? 2 故? n ?1 d ? 2, d? . ? ? ?bn ? 2 . ?b ? 9 ? ( 2 ) n ?1 . ? 9 ? ? n 9 ?

(Ⅱ )由 d ? 1 ,知 an ? 2n ? 1 , bn ? 2n?1 ,故 cn ?
Tn ? 1 ? 3 5 7 9 ? ? ? ? 2 22 23 24 ? 2n ? 1 , 2n?1

2n ? 1 ,于是 2n?1

① ②

1 1 3 5 7 9 Tn ? ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 2 2 2 2 2 2

?

2n ? 1 . 2n

①-②可得
1 1 1 Tn ? 2 ? ? 2 ? 2 2 2 ? 1 2
n?2

?

2n ? 1 2n ? 3 , ? 3? n 2 2n

故 Tn ? 6 ? 19. (12 分) (解法 1)

2n ? 3 . 2n ?1

(Ⅰ )因为 PD ? 底面 ABCD ,所以 PD ? BC , 由底面 ABCD 为长方形,有 BC ? CD ,而 PD
CD ? D ,

所以 BC ? 平面PCD . 而 DE ? 平面PCD ,所以 BC ? DE . 又因为 PD ? CD ,点 E 是 PC 的中点,所以 DE ? PC . 而 PC
BC ? C ,所以 DE ? 平面 PBC . 而 PB ? 平面PBC ,所以 PB ? DE . EF ? E ,所以 PB ? 平面 DEF .

又 PB ? EF , DE

由 DE ? 平面 PBC , PB ? 平面 DEF ,可知四面体 BDEF 的四个面都是直角三角形,
?EFB,?DFB . 即四面体 BDEF 是一个鳖臑,其四个面的直角分别为 ?DEB,?DEF,

(Ⅱ )如图 1,在面 PBC 内,延长 BC 与 FE 交于点 G ,则 DG 是平面 DEF 与平面 ABCD 的交线. 由(Ⅰ )知, PB ? 平面DEF ,所以 PB ? DG . 又因为 PD ? 底面 ABCD ,所以 PD ? DG . 而 PD
PB ? P ,所以 DG ? 平面PBD .

故 ?BDF 是面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的平面角, 设 PD ? DC ? 1 , BC ? ? ,有 BD ? 1 ? ? 2 ,

在 Rt△PDB 中, 由 DF ? PB , 得 ?DPF ? ?FDB ? 则 tan

π , 3

π BD ? tan ?DPF ? ? 1 ? ? 2 ? 3 , 解得 ? ? 2 . 3 PD

所以

DC 1 2 ? ? . BC ? 2 DC 2 π ? 时, . BC 2 3

故当面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为 (解法 2)

BC ? ? , (Ⅰ ) 如图 2, 以 D 为原点, 射线 DA, DC , DP 分别为 x, y, z 轴的正半轴, 建立空间直角坐标系. 设 PD ? DC ? 1 ,

则 D(0,0,0), P(0,0,1), B(? ,1,0), C (0,1,0) , 点 E 是 PC 的中点, 所以 E (0, PB ? (? ,1, ?1) , 于是 PB ? DE ? 0 ,即 PB ? DE . 又已知 EF ? PB ,而 DE
EF ? E ,所以 PB ? 平面DEF .

1 1 1 1 , ), DE ? (0, , ) , 2 2 2 2

因 PC ? (0, 1, ?1) , DE ? PC ? 0 , 则 DE ? PC , 所以 DE ? 平面PBC . 由 DE ? 平面 PBC , PB ? 平面 DEF ,可知四面体 BDEF 的四个面都是直角三角形,
?EFB,?DFB . 即四面体 BDEF 是一个鳖臑,其四个面的直角分别为 ?DEB,?DEF, z P P

F

E G

F

E

D

C

D

C

y

A
第 19 题解答图 1

B

x A
第 19 题解答图 2

B

(Ⅱ )由 PD ? 平面ABCD ,所以 DP ? (0, 0, 1) 是平面 ABCD 的一个法向量; 由(Ⅰ )知, PB ? 平面DEF ,所以 BP ? (??, ?1, 1) 是平面 DEF 的一个法向量. 若面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为 则 cos
π , 3

π BP ? DP ? ? 3 | BP | ? | DP |

1

? ?2
2

?

1 , 2

解得 ? ? 2 . 所以

DC 1 2 ? ? . BC ? 2 DC 2 π ? 时, . BC 2 3

故当面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为

20. (12 分) (Ⅰ )设每天 A, B 两种产品的生产数量分别为 x, y ,相应的获利为 z ,则有
? 2 x ? 1.5 y ? W , ? x ? 1.5 y ? 12, ? ? ? 2 x ? y ? 0, ? ? x ? 0, y ? 0.

(1)

目标函数为
y

z ?1 0 0 0 x?

120 y 0 .
y y 12 10

8 B(2.4,4.8)

8 B(3,6)

8 B(3,6) C(6,4)

O A(0,0)

C(6,0)

12

x

O A(0,0)

C(7.5,0)

12

x

O A(0,0)

D(9,0) 12

x

第 20 题解答图 1

第 20 题解答图 2

第 20 题解答图 3

当W ? 12 时, (1)表示的平面区域如图 1,三个顶点分别为 A(0, 0), B(2.4, 4.8), C (6, 0) .
5 z 将 z ? 1000 x ? 1200 y 变形为 y ? ? x ? , 6 1200 5 z 当 x ? 2.4, y ? 4.8 时,直线 l : y ? ? x ? 在 y 轴上的截距最大, 6 1200 最大获利 Z ? zmax ? 2.4 ? 1000 ? 4.8 ? 1200 ? 8160 .

当W ? 15 时, (1)表示的平面区域如图 2,三个顶点分别为 A(0, 0), B(3, 6), C (7.5, 0) .
5 z 将 z ? 1000 x ? 1200 y 变形为 y ? ? x ? , 6 1200 5 z 当 x ? 3, y ? 6 时,直线 l : y ? ? x ? 在 y 轴上的截距最大, 6 1200 最大获利 Z ? zmax ? 3 ? 1000 ? 6 ? 1200 ? 10200 .

当 W ? 18 时, (1)表示的平面区域如图 3, 四个顶点分别为 A(0, 0), B(3, 6), C (6, 4), D(9, 0) .
5 z 将 z ? 1000 x ? 1200 y 变形为 y ? ? x ? , 6 1200 5 z 当 x ? 6, y ? 4 时,直线 l : y ? ? x ? 在 y 轴上的截距最大, 6 1200 最大获利 Z ? zmax ? 6 ? 1000 ? 4 ? 1200 ? 10800 .

故最大获利 Z 的分布列为

Z P

8160 0.3

10200 0.5

10800 0.2

因此, E (Z ) ? 8160 ? 0.3 ? 10200 ? 0.5 ? 10800 ? 0.2 ? 9708. (Ⅱ )由(Ⅰ )知,一天最大获利超过 10000 元的概率 p1 ? P(Z ? 10000) ? 0.5 ? 0.2 ? 0.7 , 由二项分布,3 天中至少有 1 天最大获利超过 10000 元的概率为

p ? 1 ? (1 ? p1 )3 ? 1 ? 0.33 ? 0.973.

21. (14 分) (Ⅰ )设点 D(t , 0) (| t |? 2) , N ( x0 , y0 ), M ( x, y) ,依题意,
MD ? 2 DN ,且 | DN |?| ON |? 1 ,
y P N D M O Q x

第 21 题解答图
2 2 ? ?( x ? t ) ? y0 ? 1, 所以 (t ? x, ? y) ? 2( x0 ? t , y0 ) ,且 ? 20 2 ? ? x0 ? y0 ? 1.

?t ? x ? 2 x0 ? 2t , 即? 且 t (t ? 2 x0 ) ? 0. ? y ? ?2 y0 .

由于当点 D 不动时,点 N 也不动,所以 t 不恒等于 0,

x2 y 2 x y 2 2 ? y0 ? 1 ,可得 ? 于是 t ? 2 x0 ,故 x0 ? , y0 ? ? ,代入 x0 ?1, 4 2 16 4
即所求的曲线 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 16 4

1 (Ⅱ) (1)当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 为 x ? 4 或 x ? ?4 ,都有 S?OPQ ? ? 4 ? 4 ? 8 . 2 1 (2)当直线 l 的斜率存在时,设直线 l : y ? kx ? m (k ? ? ) , 2
? y ? kx ? m, 由? 2 2 ? x ? 4 y ? 16,

消去 y ,可得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4m2 ? 16 ? 0 .

因为直线 l 总与椭圆 C 有且只有一个公共点, 所以 ? ? 64k 2 m2 ? 4(1 ? 4k 2 )(4m2 ? 16) ? 0 ,即 m2 ? 16k 2 ? 4 .
? y ? kx ? m, 2m m ?2m m 又由 ? 可得 P( , ) ;同理可得 Q( , ). x ? 2 y ? 0, 1 ? 2k 1 ? 2k 1 ? 2k 1 ? 2k ?



由原点 O 到直线 PQ 的距离为 d ?
S?OPQ ?

|m| 1? k
2

和 | PQ |? 1 ? k 2 | xP ? xQ | ,可得 ②

1 1 1 2m 2m 2m 2 | PQ | ?d ? | m || xP ? xQ |? ? | m | ? ? . 2 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 1 ? 4k 2
4k 2 ? 1 2m 2 ? 8 . 1 ? 4k 2 4k 2 ? 1

将①代入②得, S ?OPQ ? 当 k2 ?

4k 2 ? 1 2 1 时, S?OPQ ? 8( 2 ) ? 8(1 ? 2 ) ? 8 ; 4 4k ? 1 4k ? 1 4k 2 ? 1 2 1 时, S?OPQ ? 8( ) ? 8(?1 ? ). 2 4 1 ? 4k 1 ? 4k 2

当 0 ? k2 ?

因 0 ? k2 ?

1 2 2 ,则 0 ? 1 ? 4k 2 ? 1 , ? 2 ,所以 S?OPQ ? 8(?1 ? )?8, 4 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

当且仅当 k ? 0 时取等号. 所以当 k ? 0 时, S?OPQ 的最小值为 8. 综合(1) (2)可知,当直线 l 与椭圆 C 在四个顶点处相切时,△OPQ 的面积取得最小值 8. 22. (14 分) (Ⅰ ) f ( x) 的定义域为 (??, ??) , f ?( x) ? 1 ? e x . 当 f ?( x) ? 0 ,即 x ? 0 时, f ( x) 单调递增; 当 f ?( x) ? 0 ,即 x ? 0 时, f ( x) 单调递减. 故 f ( x) 的单调递增区间为 (??,0) ,单调递减区间为 (0, ??) . 当 x ? 0 时, f ( x) ? f (0) ? 0 ,即 1 ? x ? e x .
1 1 1 1 ,得 1 ? ? e n ,即 (1 ? )n ? e . ① n n n b bb b b 1 1 (Ⅱ ) 1 ? 1 ? (1 ? )1 ? 1 ? 1 ? 2 ; 1 2 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2(1 ? ) 2 ? (2 ? 1) 2 ? 32 ; a1 1 a1a2 a1 a2 2

令x?

b1b2 b3 b1b2 b3 1 ? ? ? 32 ? 3(1 ? )3 ? (3 ? 1)3 ? 43 . a1a2 a3 a1a2 a3 3

由此推测:

b1b2 a1a2

bn ? (n ? 1) n . an



下面用数学归纳法证明② . (1)当 n ? 1 时,左边 ? 右边 ? 2 ,② 成立. (2)假设当 n ? k 时,② 成立,即 当 n ? k ? 1 时, bk ?1 ? (k ? 1)(1 ?
b1b2 a1a2 bk bk ?1 bb ? 1 2 ak ak ?1 a1a2 b1b2 a1a2 bk ? (k ? 1) k . ak

1 k ?1 ) ak ?1 ,由归纳假设可得 k ?1

bk bk ?1 1 k ?1 ? ? (k ? 1)k (k ? 1)(1 ? ) ? (k ? 2) k ?1 . ak ak ?1 k ?1

所以当 n ? k ? 1 时,② 也成立. 根据(1) (2) ,可知② 对一切正整数 n 都成立. (Ⅲ )由 c n 的定义,② ,算术-几何平均不等式, bn 的定义及① 得
Tn ? c1 ? c2 ? c3 ?
1 1

? cn ? (a1 )1 ? (a1a2 ) 2 ? (a1a2 a3 ) 3 ?
1 1

1

1

1

? (a1a2

1

an ) n

(b )1 (b b ) 2 (b b b ) 3 ? 1 ? 1 2 ? 1 2 3 ? 2 3 4
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