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汇编:概率与统计教师版1


2013 年全国高考数学真题汇编:概率与统计
一、选择题 1 . (2013 年高考安徽(文) 若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用三人,这五人被录用的机 )

会均等,则甲或乙被 录用的概率为( A.

) C.

2 3

B.

2 5

/>3 5

D.

9 10

【答案】D 2 . (2013 年高考江西卷(文) 集合 A={2,3},B={1,2,3},从 A,B 中各取任意一个数,则这两数之和等于 4 的概 )

率是( A.

) B.

2 3

1 3

C.

1 2

D.

1 6

【答案】B 3 . (2013 年高考湖南(文) 某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品,数量分别为 120 件,80 件,60 件. )

为了解它们的产品质量是否存在显著差异,用分层抽样方法抽取了一个容量为 n 的样本进行调查,其中从 丙车间的产品中抽取了 3 件,则 n=( ) A.9 B.10 C.12 D.13 【答案】D 4 . (2013 年高考四川卷(文) 某学校随机抽取 20 个班,调查各班中有网上购物经历的人数,所得数据的茎叶 ) 图如图所示.以组距为 5 将数据分组成 [0,5) , [5,10) ,, [30,35) , [35, 40] 时,所作的频率分布直方图是

频率 组距

0.04 0.03 0.02 0.01

0.05 0.04 0.03 0.02 0.01

频率 组距

频率 组距

频率 组距

0.04 0.03 0.02 0.01 5 10 15 20 25 30 35 40 人数

0.04 0.03 0.02 0.01 10 20 30 40 人数

0

5 10 15 20 25 30 35 40 人数

0

0

0

10

20

30

40 人数

(A)

(B)

(C)

(D)

【答案】A 5 . (2013 年高考课标Ⅰ卷(文) 从 1, 2,3, 4 中任取 2 个不同的数,则取出的 2 个数之差的绝对值为 2 的概率是 )

( A.



1 2

B.

1 3

C.

1 4

D.

1 6

【答案】B 6 . (2013 年高考陕西卷(文) 对一批产品的长度(单位: mm)进行抽样检测, 下图为检测结果的频率分布直 )

方图. 根据标准, 产品长度在区间[20,25)上的为一等品, 在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品, 在区间[10,15)和[30,35)上的为三等品. 用频率估计概率, 现从该批产品中随机抽取一件, 则其为二等 品的概率为

( A.0.09
【答案】D



B.0.20

C.0.25

D.0.45

7. (2013 年高考江西卷 (文) 总体编号为 01,02,19,20 的 20 个个体组成.利用下面的随机数表选取 5 个个体, )

选取方法是从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第 5 个个体的编号为

( A.08
【答案】D



B.07

C.02

D.01

8. (2013 年高考辽宁卷(文) 某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组一次为 )

? 20, 40 ? , ? 40, 60 ? , ?60,80 ? , ?80,100 ? ,若低于 60 分的人数是 15 人,则该班的学生人数是

( A. 45
【答案】B 9.四名同学根据各自的样本数据研究变量 x, y 之间的相关关系,并求得回归直线方程,分



B. 50

C. 55

D. 60

别得到以下四个结论:
y ① y 与 x 负相关且 ? ? 2.347 x ? 6.423 ;

y ② y 与 x 负相关且 ? ? ?3.476 x ? 5.648 ; y ④ y 与 x 正相关且 ? ? ?4.326 x ? 4.578 .

y ③ y 与 x 正相关且 ? ? 5.437 x ? 8.493 ;

其中一定不正确的结论的序号是 ... A.①② B.②③ C.③④ D. ①④
【答案】D 10.已知 x 与 y 之间的几组数据如下表:

x y

1 0

2 2

3 1

4 3

5 3

6 4

? ? ? 假设根据上表数据所得线性回归直线方程为 y ? bx ? a .若某同学根据上表中前两组数据 (1,0) 和 (2,2) 求得

的直线方程为 y ? b?x ? a? ,则以下结论正确的是(

)

? ? A. b ? b?, a ? a?
【答案】C 二、填空题

? ? B. b ? b?, a ? a?

? ? C. b ? b?, a ? a?

? ? D. b ? b?, a ? a?

11. (2013 年高考浙江卷(文) 从三男三女 6 名学生中任选 2 名(每名同学被选中的机会相等),则 2 名都是女 )

同学的概率等于_________.
【答案】

1 5
5 ,则 6

12 . 2013 年 高考 湖 北卷 (文 ) 在区间 [? 2, 4]上随机地取一个数 x,若 x 满足 | x | ? m 的概率为 ( )

m ? __________. 【答案】3 13. (2013 年高考福建卷(文) 利用计算机产生 0 ~ 1 之间的均匀随机数 a ,则事件“ 3a ? 1 ? 0 ”发生的概率 )
为_______【答案】

1 3

14. 2013 年高考重庆卷 ( (文) 若甲、 丙三人随机地站成一排,则甲、 ) 乙、 乙两人相邻而站的概率为____________. 【答案】

2 3

15. (2013 年上海高考数学试题 (文科) 某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的 40%.在一次考试中,男、 )

女生平均分数分别为 75、80,则这次考试该年级学生平均分数为________. 【答案】78 16. (2013 年高考湖北卷(文) 某学员在一次射击测试中射靶 10 次,命中环数如下:7,8,7,9,5,4,9,10,7,4 ) 则(Ⅰ)平均命中环数为__________; (Ⅱ)命中环数的标准差为__________. 【答案】(Ⅰ)7 (Ⅱ)2 17. (2013 年高考课标Ⅱ卷(文) 从 1,2,3,4,5 中任意取出两个不同的数,其和为 5 的概率是________. )
【答案】

1 5

18. (2013 年上海高考数学试题(文科) 盒子中装有编号为 1,2,3,4,5,6,7 的七个球,从中 任意取出两个,则 )

这两个球的编号之积为偶数的概率是_______.
【答案】 三、解答题 19. (2013 年高考陕西卷(文) )

5 7

有 7 位歌手(1 至 7 号)参加一场歌唱比赛, 由 500 名大众评委现场投票决定歌手名次, 根据年龄将大众 评委分为 5 组, 各组的人数如下: 组别 人数

A
50 100

B
150

C
150

D

E
50

(Ⅰ) 为了调查评委对 7 位歌手的支持状况, 现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委, 其中从 B 组中 抽取了 6 人. 请将其余各组抽取的人数填入下表.

组别 人数 抽取 人数

A
50

B
100 6

C
150

D
150

E
50

(Ⅱ) 在(Ⅰ)中, 若 A, B 两 组被抽到的评委中各有 2 人支持 1 号歌手, 现从这两组被抽到的评委中 分别任选 1 人, 求这 2 人都支持 1 号歌手的概率.
【答案】 (Ⅱ)

2 . 9

20. (2013 年高考四川卷(文) )

某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量 x 在 1, 2, 3, ?, 24 这 24 个整数中等可能随机产生. (Ⅰ)分别求出按程序框图正确编程运行时输出 y 的值为 i 的概率 P (i ? 1, 2,3) ; i (Ⅱ)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复运行 n 次后,统计记录了输出 y 的值为

i(i ? 1, 2,3) 的频数.以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据.

当 n ? 2100 时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编程序各自输出 y 的值为 i(i ? 1, 2,3) 的频率(用分数 表示),并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大.
【答案】 解:(Ⅰ) 所以输出 y 的值为 1 的概率为

1 1 ,输出 y 的 值为 2 的概率为 ,输出 y 的值为 3 的概率 2 3



1 . (Ⅱ)当 n ? 2100 时,甲、乙所编程序各自输出 y 的值为 i(i ? 1, 2,3) 的频率如下, 6
输出 y 的值为 1 的频率 1027 2100 1051 2100 输出 y 的值为 2 的频率 376 2100 696 2100 输出 y 的值为 3 的频率 697 2100 353 2100

甲 乙

比较频率趋势与概率,可得乙同学所编写程序符合算法要求的可能性较大.
21. (2013 年高考辽宁卷(文) 现有 6 道题,其中 4 道甲类题,2 道乙类题,张同学从中任取 2 道题解答.试求: )

(I)所取的 2 道题都是甲 类题的概率;

(II)所取的 2 道题不是同一类题的概率.

22. (2013 年高考天津卷(文) 某产品的三个质量指标分别为 x, y, z, 用综合指标 S = x + y + z 评价该产 )

品的等级. 若 S≤4, 则该产品为一等品. 先从一批该产品中, 随机抽取 10 件产品作为样本, 其质量指 标列表如下: 产品编号 质量指标(x, y, z) 产品编号 质量指标(x, y, z) (Ⅰ) (Ⅱ) (⒈) (⒉)

A1
(1,1,2)

A2
(2,1,1)

A3
(2,2,2)

A4
(1,1,1)

A5
(1,2,1)

A6
(1,2,2)

A7
(2,1,1)

A8
(2,2,1)

A9
(1,1,1)

A10
(2,1,2)

利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率; 在该样品的一等品中, 随机抽取两件产品, 用产品编号列出所有可能的结果; 设事件 B 为 “在取出的 2 件产品中, 每件产品的综合指标 S 都等于 4”, 求事件 B 发生的概率.
15 0.4

【答案】0.6

23. (2013 年高考广东卷(文) 从一批苹果中,随机抽取 50 个,其重量(单位:克)的频数分布表如下: )

分组(重量) 频数(个)

[80,85)
5

[85,90)
10

[90,95)
20

[95,100)
15

(1) 根据频数分布表计算苹果的重量在 [90,95) 的频率; (2) 用分层抽样的方法从重量在 [80,85) 和 [95,100) 的苹果中共抽取 4 个,其中重量在 [80,85) 的有几 个? (3) 在(2)中抽出的 4 个苹果中,任取 2 个,求重量在 [80,85) 和 [95,100) 中各有 1 个的概率.
【答案】(1)重量在

?90,95 ? 的频率 ?

20 ? 0.4 ; 50

(2)1; (3 0.5;
24.2013 年高考山东卷 ( (文)某小组共有 A、B、C、D、E 五位同学,他们的身高(单位:米)以及体重指标(单 )

位:千克/米 ) 如下表所示: A 身高 体重指标 1.69 19.2 B 1.73 25.1 C 1.75 18.5 D 1.79 23.3 E 1.82 20.9

2

(Ⅰ)从该小组身高低于 1.80 的同学中任选 2 人,求选到 的 2 人身高都在 1.78 以下的概率 (Ⅱ)从该小组同学中任选 2 人,求选到的 2 人的身高都在 1.70 以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概 率

【答案】0.5

0.3

25. (2013 年高考北京卷(文) 下图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于 100 )

表示空气质量优良,空气质量指数大于 200 表示空气重度污染,某人随机选择 3 月 1 日至 3 月 13 日中的某 一天到达该市,并停留 2 天.

(Ⅰ)求此人到达当日空气质量优良的概率; (Ⅱ)求此人在该市停留期间只有 1 天空气重度污染的概率; (Ⅲ)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明)

【答案】解:(I)

6 . 13 4 . 13

(II)根据题意,事件“此人在该市停留期间只有 1 天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是 4 日,或 5 日,或 7 日,或 8 日”.所以此人在该市停留期间只有 1 天空气质量重度污染的概率为 (III)从 3 月 5 日开始连续三天的空气质量指数方差最大. 26. (2013 年高考课标Ⅰ卷(文) (本小题满分共 12 分) ) 为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为 A 药, B 药)的疗效,随机地选取 20 位患者服用 A 药, 20 位患者 服用 B 药,这 40 位患者服用一段时间后,记录他们日平均增加的睡眠时间(单位: h ),试验的观测结果如 下: 服用 A 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间: 0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4 服用 B 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间: 3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5 (1)分别计算两组数据的平均数,从计算结果看,哪种药的疗效更好? (3)根据两组数据完成下面茎叶图,从茎叶图看,哪种药的疗效更好?

【答案】(本小题满分共 12 分)

(1) 设 A 药观测数据的平均数为

,B 药观测数据的平均数为 ,又观测结果可得

x

?
?

1 (0.6+1.2+1.2+1.5+1.5+1.8+2.2+2.3+2.3+2.4+2.5+2.6+2.7+2.7+2.8+3.0+3.1+3.2+3.5)=2.3, 20

1 (0.5 ? 0.5 ? 0.6 ? 0.8 ? 0.9 ? 1.1 ? 1.2 ? 1.2 ? 1.3 ? 1.4 ? 1.6 ? 1.7 ? 1.8 ? 1.9 ? 2.1 y 20 ?2.4 ? 2.5 ? 2.6 ? 2.7 ? 3.2 ? 1.6
由以上计算结果可得 > ,因此可看出 A 药的疗效更好

x

y

(2)由观测结果可绘制如下茎叶图: A药 6 8 5 5 2 2 9 8 7 7 6 5 4 3 3 2 5 2 1 0 0. 1. 2. 3. B药 5 5 6 8 9 1 2 2 3 4 6 7 8 9 1 4 5 6 7 2

从以上茎叶图可以看出,A 药疗效的试验结果有的叶集中在茎 2.3 上,而 B 药疗效的试验结果有 中在茎 0,1 上,由此可看出 A 药的疗效更好. 27.(本小题满分 13 分,(Ⅰ)小问 9 分,(Ⅱ)、(Ⅲ)小问各 2 分)

7 的叶集 10

从某居民区随机抽取 10 个家庭,获得第 i 个家庭的月收入 xi (单位:千元)与月储蓄 yi (单位:千元)的数据资料, 算得

? xi ? 80 , ? yi ? 20 , ? xi yi ? 184 , ? xi2 ? 720 .
i ?1

10

10

10

10

i ?1

i ?1

i ?1

(Ⅰ)求家庭的月储蓄 y 对月收入 x 的线性回归方程 y ? bx ? a ; (Ⅱ)判断变量 x 与 y 之间是正相关还是负相关; (Ⅲ)若该居民区某家庭月收入为 7 千元,预测该家庭的月储蓄.

附:线性回归方程 y ? bx ? a 中, b ?

? x y ? nx y
i ?1 n i i

n

?x
i ?1

, a ? y ? bx ,

2 i

? nx

2

y ? ? 其中 x , y 为样本平均值,线性回归方程也可写为 ? ? bx ? a .


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