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高考冲刺 三角函数公式及应用(提高)巩固练习


【巩固练习】
o 1.已知 ?ABC 中, ?A, ?B, ?C 的对边分别为 a, b, c 若 a ? c ? 6 ? 2 且 ?A ? 75 ,则 b ? (



A.2

B.4+ 2 3

C.4— 2 3

D. 6 ? 2

2.如果

函数 y=3 cos ? 2 x+? ? 的图像关于点 ?

? 4? ? ,0 ? 中心对称,那么 | ? | 的最小值为( ) ? 3 ?
D.

A.

3.已知 a 是实数,则函数 f ( x) ? 1 ? a sin ax 的图象不可能是( ...

? 6

B.

? 4

C.

? 3

? 2



w.w.w. k.s .5.u.c.o.m

4.已知△ABC 中, cot A ? ? A.

12 13

12 ,则 cos A ? ( ) 5 5 5 B. C. ? 13 13

D. ?

12 13

5.已知函数 f ( x) ? 3 sin ? x ? cos ? x(? ? 0) , y ? f ( x) 的图像与直线 y ? 2 的两个相邻交点的距离等于 ? , 则 f ( x) 的单调递增区间是 ( ) A. [k? ? ? , k? ? 5? ], k ? Z 12 12 C. [k? ? ? , k? ? ? ], k ? Z 3 6 6.若将函数 y ? tan ? ? x ? B. [k? ? 5? , k? ? 11? ], k ? Z 12 12 D. [k? ? ? , k? ? 2? ], k ? Z 6 3

? ?

??

?? ? ? ? ?? ? 0 ? 的图像向右平移 个单位长度后,与函数 y ? tan ? ? x ? ? 的图像 4? 6? 6 ?

重合,则 ? 的最小值为( ) A.

1 6
2

B.

1 4
2

C.

1 3

D.

1 2

7.已知 tan ? ? 2 ,则 sin ? ? sin ? cos ? ? 2cos ? ? ( ) A. ?

4 3

B.

5 4

C. ?

3 4

D.

4 5

第1页

共7页

8.已知偶函数 f ( x) 在区间 ? 0, ??) 单调增加,则满足 f (2 x ? 1) < f ( ) 的 x 取值范围是( ) A.(

1 3

1 2 , ) 3 3

B.[

1 2 , ) 3 3

C.(

9.已知函数 f ( x) ? sin(? x ? 只要将 y ? f ( x) 的图象

?

1 2 , ) 2 3

D.[

1 2 , ) 2 3

4

)( x ? R,? ? 0) 的最小正周期为 ? ,为了得到函数 g ( x) ? cos? x 的图象,
( )

? 个单位长度 8 ? C.向左平移 个单位长度 4
A.向左平移 10.函数 y ?

? 个单位长度 8 ? D.向右平移 个单位长度 4
B.向右平移 )

w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

1 3 sin2x ? 3cos 2 x ? 的最小正周 期等于( 2 2

?A? π

? B? 2π
?
4

? C?
?

π 4

? D?
?
4

π 2
.

11.已知函数 f ( x) ? f '( ) cos x ? sin x, 则 f ( ) 的值为 12.函数 f ( x) ? sin(2 x ? ) (x∈R)的图象为 C,以下结论中:

3 11? ①图象 C 关于直线 x ? 对称; 12 2? ②图象 C 关于点 ( , 0) 对称; 3 ? 5? ③函数 f(x)在区间 (? , ) 内是增函数; 12 12 ? ④由 y ? 3sin 2 x 的图象向右平移 个单位长度可以得到图象 C. 3
则正确的是 .(写出所有正确结论的编号)


13. 设函数 f ( x) ? 2 cos2 x ? 2 3 sin x cos x ? m ( x ? R) (1)求函数 f (x) 的最小正周期;

(2)若 x ? [0, ? ] ,是否存在实数 m,使函数 f (x) 的值域恰为 [ , ] ?若存在,请求出 m 的取值;若不存 2 2 2

1 7

在,请说明理由.

14. 设函数 f ( x) ? sin(

?x ?

?x ? ) ? 2cos 2 ?1 . 4 6 8

(Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期. (Ⅱ) 若函数 y ? g ( x) 与 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? 1 对称, 求当 x ? [0, ] 时 y ? g ( x) 的最大值.

4 3

第2页

共7页

15.已知锐角 ?ABC 中内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c , a 2 ? b2 ? 6ab cos C ,且

sin 2 C ? 2sin A sin B .
(Ⅰ)求角 C 的值; (Ⅱ) 设函数 f ( x) ? sin(? x ? 的取值范围.

?
6

求 ) ? cos ? x(? ? 0) ,且f ( x) 图象上相邻两最高点间的距离为 ? , f ( A)

16.已知函数 f ( x) ? cos 2 ( x ? ) ? sin 2 x . (1)求 f (

π 6

π ) 的值; 12 π 2

(2)若对于任意的 x ? [0, ] ,都有 f ( x) ? c ,求实数 c 的取值范围.

【参考答案】 1.【答案】A 【解析】 sin A ? sin 75 ? sin(30 ? 45 ) ? sin 30 cos 45 ? sin 45 cos 30 ?
0 0 0 0 0 0 0

2? 6 4

0 0 由 a ? c ? 6 ? 2 可知, ?C ? 75 ,所以 ?B ? 30 , sin B ?

1 2

由正弦定理得 b ?

a ? sin B ? sin A

2? 6 1 ? ? 2 ,故选 A 2? 6 2 4

2.【答案】C 【解析】?函数 y=3 cos ? 2 x+? ? 的图像关于点 ?

? 4? ? ,0 ? 中心对称 ? 3 ?

?2?

4? 4? ? ? ? ? k? ?? ? k? ? 2 ? (k ? Z ) 由此易得 | ? |min ? . 3 3 3

3. 【答案】D

第3页

共7页

【解析】对于振幅大于 1 时,三角函数的周期为 T ? 大于 1,但周期反而大于了 2? . 4.【答案】D

2? ,? a ? 1,?T ? 2? ,而 D 不符合要求,它的振幅 a

【解析】本题考查同角三角函数关系应用能力,先由 cotA= ?

12 知 A 为钝角,cosA<0 排除 A 和 B,再由 5 cos A 12 12 cot A ? ? ? , 和 sin 2 A ? cos2 A ? 1求得 cos A ? ? 选 D sin A 5 13

5.【答案】C 【解析】 f ( x) ? 2sin(? x ? 由 2k? ?

?
6

) ,由题设 f ( x) 的周期为 T ? ? ,∴ ? ? 2 ,

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k? ?

?
2

得, k? ?

?
3

? x ? k? ?

?
6

, k ? z ,故选 C

6.【答案】D

? ? 向右平移 6 个单位 ? ? ?? ? ? ? 【解析】 y ? tan ? ? x ? ? ?????? y ? tan[? ( x ? ) ? ] ? tan ? ? x ? ? 4? 6 4 6? ? ?
?

?

?
4

?

?
6

? ? k? ?

又?? ? 0 ??min
2

1 ? ? ? 6k ? ( k ? Z ) , 6 2 1 ? .故选 D 2
2

?

7.【解析】 sin ? ? sin ? cos ? ? 2cos ? ?

sin 2 ? ? sin ? cos ? ? 2cos 2 ? sin 2 ? ? cos 2 ?

= 【答案】D

tan 2 ? ? tan ? ? 2 4 ? 2 ? 2 4 = ? 4 ?1 5 tan 2 ? ? 1

8. 【答案】A 【解析】由于 f(x)是偶函数,故 f(x)=f(|x|) ∴得 f(|2x-1|)<f( 得|2x-1|< 9. 【答案】A 【解析】由题知 ? ? 2 ,所以 f ( x) ? sin(2 x ? 故选择 A。 10.【答案】A 【解析】把原式化为 y=Asin(ω x+φ )的形式再求解.

1 3

1 ),再根据 f(x)的单调性 3 1 2 解得 <x< 3 3

?
4

) ? cos[

?

? (2 x ? )] ? cos(2 x ? ) ? cos 2( x ? ) , 2 4 4 8

?

?

?

第4页

共7页

y?

1 3 sin2x ? 3cos 2 x ? 2 2

1 1 ? cos2x 3 sin2x ? 3 ? ? 2 2 2 1 3 ? sin2x ? cos2x 2 2 ? ? sin(2x ?

?

3

),

∴最小正周期 T ? 11.【答案】1

2? ? ?. 2

ww w.jb1 000.c om

【解析】因为 f '( x) ? ? f '( ) ? sin x ? cos x 所以 f '( ) ? ? f '( ) ? sin

?

?

?

?
4

? f '( ) ? 2 ? 1 故 f ( ) ? f '( ) cos ? sin ? f ( ) ? 1 4 4 4 4 4 4
12.【答案】①②③ 【解析】当 x ?

?

4

?

?

?

4

?

4

? cos
http://www. jb1000 .com

?
4

?

11? 11? 11? ? 11? ? 3? 时, ( f ) ? sin(2 ? ? )= sin( ? )= sin( )= ? 1 ,所以为最小值,所 12 12 12 3 6 3 2 11? 2? 2? 2? ? 以图象 C 关于直线 x ? 对称,所以①正确。当 x ? 时, ( ) ? sin(2 ? f ? )= sin ? =0 , 12 3 3 3 3 2? ? ? ? 5? 所以图象 C 关于点 ( 时, , 0) 对称;所以②正确。 ? ? 2k? ? x ? ? 2k? ,当 ? ? x ? 3 2 2 12 12 ? 5? ? ? ? 5? ? ? ? ? ,所以 ? ? ? 2 x ? ? ? ? 2x ? ? ,即 ? ? 2 x ? ? ,此时函数单调递增,所以 6 6 6 3 3 6 3 2 3 2 ? 2? ? ③正确。 y ? 3sin 2 x 的图象向右平移 个单位长度,得到 y ? 3sin 2( x ? ) ? 3sin(2 x ? ) ,所以 3 3 3
④错误,所以正确的是①②③。

13.【解析】(1)? f ( x) ? 2cos x ? 2 3 sin x cos x ? m
2

? 1 ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? m ? 2sin(2 x ? ) ? m ? 1 6
∴ 函数的最小正周期 T ? ? (2)假设存在实数 m 符合题意, ? x ? [0, ∴

?

?
2

],

?
6

? 2x ?

?
6

?

7? ? 1 ,则sin(2 x ? ) ? [? ,1] 6 6 2

∴ f ( x) ? 2 sin(2 x ?

?

6

) ? m ? 1 ? [m,3 ? m]

1 7 1 m? 2 2 2 1 1 7 ∴存在实数 m ? ,使函数 f (x) 的值域恰为 [ , ] 2 2 2
又∵ f ( x) ? [ , ] ,解得
第5页 共7页

14.【解析】 (Ⅰ) f ( x) = sin

?
4

x cos

?
6

? cos

?
4

x sin

?
6

? cos

?
4

x

=

3 ? 3 ? sin x ? cos x 2 4 2 4

= 3 sin(

?

x? ) 4 3

?

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故 f ( x) 的最小正周期为 T =

2?

?

=8

4
(Ⅱ)解法一: 在 y ? g ( x) 的图象上任取一点 ( x, g ( x)) ,它关于 x ? 1 的对称点 (2 ? x, g ( x)) . 由题设条件,点 (2 ? x, g ( x)) 在 y ? f ( x) 的图象上,从而

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g ( x )? f ( 2 x ? ? )

3 s i n [? x( ? 2 ) 4 3

?

?

]

= 3 sin[

?

2

?

?

x? ) 4 3 3 ? ? ? 2? 4 当 0 ? x ? 时, ? x ? ? ,因此 y ? g ( x) 在区间 [0, ] 上的最大值为 4 3 4 3 3 3
= 3 cos(

?

x? ] 4 3

?

?

? 3 g m a ? 3 c o s? x 3 2
解法二:

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因区间 [0, ] 关于 x = 1 的对称区间为 [ , 2] ,且 y ? g ( x) 与 y ? f ( x) 的图象关于 x = 1 对称,故 y ? g ( x) 在 [0, ] 上的最大值为 y ? f ( x) 在 [ , 2] 上的最大值 由(Ⅰ)知 f ( x) = 3 sin( 当

4 3

2 3

?

4 3

2 ? ? ? ? ? x ? 2 时, ? ? ? ? 3 6 4 3 6 4 因此 y ? g ( x) 在 [0, ] 上的最大值为 3
g max ? 3 sin
2 2

x? ) 4 3

?

2 3

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?
6

?

3 . 2
2 2 2

15.【解析】 (Ⅰ)因为 a ? b ? 6ab cosC ,由余弦定理知 a ? b ? c ? 2ab cosC 所以 cos C ?

c2 . 4ab

第6页

共7页

又因为 sin 2 C ? 2 sin A sin B ,则由正弦定理得: c 2 ? 2ab , 所以 cos C ? 所以 C ?

c2 2ab 1 ? ? , 4ab 4ab 2

?
3

.

(Ⅱ) f ( x) ? sin(? x ? 由已知

?
6

) ? cos ? x ?

3 3 ? sin ? x ? cos ? x ? 3 sin(? x ? ) 2 2 3

? ? , ? ? 2 ,则 f ( A) ? 3 sin(2 A ? ), ? 3 ? 2? ? ? 因为 C ? , B ? ? A ,由于 0 ? A ? , 0 ? B ? , 3 3 2 2 ? ? ? 2? 所以 ? A ? , 0 ? 2 A ? ? . 6 2 3 3
根据正弦函数图象,所以 0 ? f ( A) ? 3 .

2?

?

16.【答案】解: (1) f ( (2) f ( x) ?

π π π π 3 . ) ? cos 2 (? ) ? sin 2 ? cos ? 12 12 12 6 2

1 π 1 [1 ? cos(2 x ? )] ? (1 ? cos 2 x) 2 3 2

1 π 1 3 3 ? [cos(2 x ? ) ? cos 2 x] ? ( sin 2 x ? cos 2 x) 2 3 2 2 2 ? 3 π sin(2 x ? ) . 2 3

因为 x ? [0, ] ,所以 2 x ? 所以当 2 x ?

π 2

π π 4π ?[ , ] , 3 3 3

3 π π π . ? ,即 x ? 时, f ( x) 取得最大值 2 3 2 12

所以 ?x ? [0, ] , f ( x) ? c 等价于

π 2 π 2

3 ?c. 2 3 , ??) . 2

故当 ?x ? [0, ] , f ( x) ? c 时, c 的取值范围是 [

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