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2008年广东省揭东县地都中学高一数学竞赛试题


2008 年广东省揭东县地都中学高一数学竞赛试题
本卷满分为 120 分,考试时间为 100 分钟 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 6 分,共 48 分。 1.已知集合 M ? { a , b , ? ( a ? b )} , a ? R , b ? R , ,集合 P ? {1, 0, ? 1} ,映射 f : x ? x 表示 把集合 M 中的元素 x 映射

到集合 P 中仍为 x ,则以 a , b 为坐标的点组成的集合 S 有元素 ( )个 A.2 2

B.4

C.6

D.8

??? ? ???? 2 ???? D 为△ A B C 的边 A B 的中点, P 为△ A B C 内一点,且满足, A P ? A D ? B C ,则 5
?(

S △ APD S △ ABC

) A.

3 5

B.

2 5

C.

1 5

D.

3 10

3. 设 a,b 是夹角为 30°的异面直线,则满足条件“ a ? ? , b ? ? ,且 ? ? ? ” 的平面 ? ,? ( ) A. 不存在 B. 有且只有一对 C. 有且只有两对 D. 有 无数对
4.已知 ? 是函数
x

f ( x ) ? x log a x ? 2008, ( a ? 1) 的 一 个 零 点 , ? 是 函 数

g ( x ) ? xa ? 2 0 0 8 的一个零点,则 ? ? 的值为(


2

A.1

B.2008

C. 2 0 0 8

D.4016

5. 函数 f ( x ) 的定义域为 D, 若满足① f ( x ) 在 D 内是单调函数, ②存在 [ m , n ] ? D , 使 f ( x ) 在 [ m , n ] 上的值域为 [ m ,
2 1 1 2 n] , 那么就称 y ? f ( x ) 为 “好函数” 现有 f ( x ) ? lo g a ( a ? k ), 。
x

( a ? 0, a ? 1) 是“好函数” ,则 k 的取值范围是(

) D. (0 , ]
4
1 sin ?

A. (0, ? ? ) 6.若 ? ? ? 0 ,
? ?

B. ( ? ? , )
4

1

C. (0, )
4

1

1

? ?

? ,则 3 3?

l o g3 s i n ?

等于(

)A. sin ?

B.

C. ? sin ?

D. ?

1

cos ? 7.如图,一个棱长为 a 的立方体内有 1 个大球和 8 个小球, 大球与立方体的六个面都相切,每个小球与大球外切 且与共顶点的三个面也相切,现在把立方体的每个角 都截去一个三棱锥,截面都为正三角形并与小球相切, 变成一个新的立体图形,则原立方体的每条棱还剩余( ) 。

A

D F C O2

H

E O1 O3 G B

A.

(6 ? 3 3 ) 2

a

B. (6 ? 3 3 ) a D. (5 3 ? 8) a

C. 8.若 4
27

5 3 ?8 2

a
n

?4

1000

? 4 为完全平方数,则正整数 n 满足





A. n ? 1 9 7 2 B. n ? 1 9 7 2 C. n ? 1 9 7 3 D. n ? 1 9 7 0 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分。 ? 9.已知当 x ? 时,函数 y ? sin x ? a cos x 取最大值,则函数 y ? a sin x ? cos x
6

图象的一条对称轴为

.
? ?

10. 已知向量 a , b , c 满足 a ? b ? c ? 0 , ( a ? b ) ? c , a ? b , a ? 1 , b ? c ? 若 则 11.如图是一个长方体 ABCD-A1B1C1D1 截去几个角后的 多面体的三视图,在这个多面体中,AB=4,BC=6, CC1=3.则这个多面体的体积为 . 12.把一根长为 7 米的铁丝截下两段(也可以直接截成 两段) ,这两段的长度差不超过 1 米,分别以这两段为圆 的周长围成两个圆,则这两个圆的面积之和的最大值为 三、解答题:本大题共 4 小题,共 54 分。 13. (本大题满分 10 分) .
A1

.

C1 A D

B

C

能否将下列数组中的数填入 3×3 的方格表,每个小方格中填一个数,使得每行、 每列、两条对角线上的 3 个数的乘积都相等?若能,请给出一种填法;若不能, 请给予证明.(Ⅰ)2,4,6,8,12,18,24,36,48; (Ⅱ)2,4,6,8,12,18,24,36,72.

14. (本大题满分 10 分)已知定义域为 R 的函数 f ? x ? ?

?2 ?b
x

2

x ?1

?a

是奇函数,求 a , b 的值。

15. (本小题 12 分)已知函数 f ( x ) ? 2 co s (
2

?
4

? x) ?

3 co s 2 x ? 1, x ? R .

(1)求函数 f ( x ) 单调递增区间;

(2)若 A ? { y | y ? f ( x), x ? [ 数 m 的取值范围。

? ?
, 4 2

]} ,不等式 x ? m ? 3 的解集为 B, A ? B ? A ,求实

16.(本小题满分 16 分) 设 f ( x ) ? 3 a x ? 2 b x ? c ,若 a ? b ? c ? 0 , f ( 0 ) ? 0 , f (1) ? 0 .
2

(1)求证:方程 f ( x ) ? 0 在区间(0,1)内有两个不等的实数根; (2)若 a , b , c 都为正整 数,求 a ? b ? c 的最小值。

2008 地都中学高一数学竞赛试题(解答)
本卷满分为 120 分,考试时间为 100 分钟 1.已知集合 M ? { a , b , ? ( a ? b )} , a ? R , b ? R , ,集合 P ? {1, 0, ? 1} ,映射 f : x ? x 表示 把集合 M 中的元素 x 映射到集合 P 中仍为 x ,则以 a , b 为坐标的点组成的集合 S 有元素 ( C )个 A.2

B.4

C.6

D.8

【分析】显然 M ? P ,∴ ?

? a ? 1 ?a ? ?1 ? a ? 1 ?a ? 0 ? a ? 0 ?a ? ?1 ,? ,? ,? ,? ,? 有 6 组解, ?b ? 0 ? b ? 0 ?b ? ?1 ? b ? 1 ?b ? ?1 ? b ? 1

6 个元素。 2.设 D 为△ A B C 的边 A B 的中点, P 为△ A B C 内一点,且满足, A P ? A D ?
S △ APD S △ ABC ?

??? ?

????

2 ???? B C ,则 5
3 5

( C ) A.
1 3

B.

2 5

C E D B

5 10 ???? ??? ? 2 ???? ???? 2 ???? ???? ???? ??? ? 【分析】如图 D P ? B E ? B C ∴ A D ? B C ? A D ? D P ? A P 5 5
1 S △ APD S △ ABC ? A D ? D P sin ? A B C ? ? A B ? B C sin ? A D P ? 2 1 2 1 5

C.

D.

P A
,选 C。

四边形 DPEB 为平行四边形,

3. 设 a,b 是夹角为 30°的异面直线,则满足条件“ a ? ? ,b ? ? ,且 ? ? ? ”的平面 ? ,
?

答: [D]

A. 不存在 B. 有且只有一对 C. 有且只有两对 D. 有无数 对 解 任作 a 的平面 ? ,可以作无数个. 在 b 上任取一点 M,过 M 作 ? 的垂线. b 与 垂线确定的平面 ? 垂直于 ? . 选 D
4.已知当 x ?
?
6

时,函数 y ? sin x ? a cos x 取最大值,则函数 y ? a sin x ? cos x 图象的一
?
3

条对称轴为( A )A. x ? ? D. x ?
?
6

B . x?

?
3

C . x??

?
6

【分析】∵当 x ? 解得:a ?

?
6

时,函数 y ? sin x ? a cos x 取最大值,∴
?
6 ) ,∴ x ? ?

1 2

?

3 2

a ?

a ?1
2

3 ,∴ y ? a sin x ? co s x ? 2 sin ( x ?

?
3

是它的一条对称轴,选 A。

4.已知 ? 是函数 f ( x ) ? x log a x ? 2008, ( a ? 1) 的一个零点, ? 是函数
g ( x ) ? xa ? 2 0 0 8 的一个零点,则 ? ? 的值为
x


2

B ) D.4016

A.1

B.2008
2008 x

C. 2 0 0 8

【分析】如图: ? 是曲线 y ? 坐标, ? 是曲线 y ?
2008 x

与曲线 y ? log a x 交点 A 的横
x

与曲线 y ? a 交点 B 的横坐标,
x

∵函数 y ? log a x 与 y ? a 互为反函数,∴A 与 B 关于直线 y=x 对称

即 ? 为点 A 的纵坐标,∴ ? ? ? 2008 ,选 B 5. 函数 f ( x ) 的定义域为 D, 若满足① f ( x ) 在 D 内是单调函数, ②存在 [ m , n ] ? D , 使 f ( x ) 在 [ m , n ] 上的值域为 [ m ,
2 1 1 2 n] , 那么就称 y ? f ( x ) 为 “好函数” 现有 f ( x ) ? lo g a ( a ? k ), 。
x

( a ? 0, a ? 1) 是“好函数” ,则 k 的取值范围是

( C )
1

A. (0, ? ? )

B. ( ? ? , )
4
x

1

C. (0, )
4

D. (0 , ]
4

1

【分析】因为函数 f ( x ) ? lo g a ( a ? k ), ( a ? 0, a ? 1) 在其定义域内为增函数,则若函数
y ? f ( x ) 为“好函数” ,方程 f ( x ) ?
x x x x
2

1 2

x 必有两个不同实数根,∵ lo g a ( a ? k ) ?
x

1 2

x
1 4

? a ? k ? a 2 ? a ? a 2 ? k ? 0 ,∴方程 t ? t ? k ? 0 有两个不同的正数根, k ? (0 ,

)

选 C。 6.若 ? ? ? 0 ,
? ?

? ?

? ,则 3 3?

l o g3 s i n ?

等于(

)A. sin ?

B.

1 sin ?

C. ? sin ?

D. ?

1 cos ?
lo g 3 sin ?

解: lo g 3 sin ? ? 0, 3

?3

? lo g 3 sin ?

?3

lo g 3

1 sin ?

?

1 sin ?

7.如图,一个棱长为 a 的立方体内有 1 个大球和 8 个小球,大球与立方体的六个面都相切, 每个小球与大球外切且与共顶点的三个面也相切,现在把立方体的每个角都截去一个三棱 锥,截面都为正三角形并与小球相切,变成一个新的立体图形,则原立方体的每条棱还剩余 ( D ) A.
(6 ? 3 3 ) 2 a

B. (6 ? 3 3 ) a
a 2

C.

5 3 ?8 2

a

D. (5 3 ? 8) a
A

D F C O2

H

【分析】大球的半径为
2 3r ? 2 r ? a ?

,设小球的半径 r ,则
3 ?1 2 ( 3 ? 1) a ? 2? 2
? 3 3 ?5 2 9?5 3 2 a

E

3a ? r ?

3

O1

a

O3 G B

设小球切截面 CDE 于 F,则 A F ? 设 A C ? x ,利用等积法求得 x ? 选 D。 8.若 4
27

3a ? 4 r ? a 2 3 AF ?

a ,所以 C H ? a ? 2 A F ? (5 3 ? 8) a

?4

1000

? 4 为完全平方数,则正整数 n 满足
n





A. n ? 1 9 7 2

B. n ? 1 9 7 2

C. n ? 1 9 7 3

D. n ? 1 9 7 0

【分析】 4 ∵

27

?4

1000

? 4 ? 2 (1 ? 2 ? 2
n 54

1945

?2

2 n ? 54

4 2 9 ? 4 ) , 2 n ?5 ? 15 当

, n ? 1972 即

时,上式为完全平方数。 当 n ? 1972 时, (2 有
n ? 27

) ? 1? 2?2
2

1945

?2

2 n ? 54

? 1? 2?2

n ? 27

?2

2 ( n ? 27 )

? (2

n ? 27

? 1) , 所
2

以上式不可能为完全平方数。选 B 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 8 分,共 48 分。 ? 9.已知当 x ? 时,函数 y ? sin x ? a cos x 取最大值,则函数 y ? a sin x ? cos x 图象的一
6

条对称轴为

x ? ?

?
3

【分析】∵当 x ? 解得: a ?

?
6

时,函数 y ? sin x ? a cos x 取最大值,∴
?
6

1 2

?

3 2

a ?

a ?1
2

3 ,∴ y ? a sin x ? co s x ? 2 sin ( x ?

) ,∴ x ? ?

?
3

是它的一条对称轴。
? ?

10.已知向量 a , b , c 满足 a ? b ? c ? 0 , ( a ? b ) ? c , a ? b ,若 a ? 1 ,则 b ? c ? ? 1 . 【分析】∵ ( a ? b ) ? c , a ? b ∴ ( a ? b ) ? c ? 0 ? a ? c ? b ? c 且 a ? b ? 0
? ? ? ? ? a ? (a ? b ? c) ? a
2

?

?

? ?

?

?

?

?

? ?

? ?

? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? a ? c ? 1 ? b ? c ? 0 ,∴ b ? c ? ? 1

A1 C1 A D

11.如图是一个长方体 ABCD-A1B1C1D1 截去几个角后的 多面体的三视图,在这个多面体中,AB=4,BC=6, CC1=3.则这个多面体的体积为 48 .

B 【分析】从三视图看,顶点 B1 , D 1 已被截去,所以这个多面体如上图,其体积为
V ? 3? 4? 6 ? 2? 1 6 ? 3 ? 4 ? 6 ? 48 。

C

A1 B

主视图

C1 A1

C1

12.把一根长为 7 米的铁丝截下两段(也可以直接截成 A1 两段) ,这两段的长度差不超过 1 米,分别以这两段为圆 的周长围成两个圆,则这两个圆的面积之和的最大值为
25 4?

C B A D 左视图

B
平方米

俯视图

C1

【分析】设这两段的长度分别为 x 米、 y 米
? x?0 ? ? y ?0 则 x 、 y 满足关系 ? ,其平面区域为右上图所示阴影部分,两圆的面积之和为 x? y?7 ? ? | x ? y |? 1 ?
s ? x ? y
2 2

4?

, 看成是个圆的方程, 这个圆经过点 A ( 4, 3) 或 B (3, 4 ) 时,s 最大, 最大值

25 4?

平米。 三、解答题:本大题共 4 小题,共 48 分。 13. (本大题满分 10 分) .

能否将下列数组中的数填入 3×3 的方格表,每个小方格中填一个数,使得每行、 每列、两条对角线上的 3 个数的乘积都相等?若能,请给出一种填法;若不能, 请给予证明.(Ⅰ)2,4,6,8,12,18,24,36,48; (Ⅱ)2,4,6,8,12,18,24,36,72.
解(Ⅰ)不能. 因为若每行的积都相等,则 9 个数的积是立方数. 但是 2×4×6×8×12×18×24×36×48=21+2+1+3+2+1+3+2+4×3 (Ⅱ)可以.
1?1? 2 ?1? 2 ?1

=219· 8 不是立方数,故不能. 3

如右表 表中每行、每列及对角线的积都是 26·23.
14. (本大题满分 10 分) 已知定义域为 R 的 . 函数 f ? x ? ?
?2 ?b
x

36 8 6
?1? b 2?a

2 12 72

24 18 4

2

x ?1

?a

是奇函数,求 a , b 的值。

(本大题满分 12 分) . 解:因为 f ? x ? 是定义域为 R 的奇函数,所以 f ?0 ? ? 0 ,即
?2 ?b
x

? 0 ,解得 b ? 1 ,

从而 f ? x ? ?

2

x ?1

?1 ? 2 ?1 2 ? ,又由 f ? ? 1 ? ? ? f ?1 ? ,即 ,解得 a ? 2 1? a 4?a ?a

?

1

15. (本小题 112 分)已知函数 f ( x ) ? 2 co s (
2

?
4

? x) ?

3 co s 2 x ? 1, x ? R .

(1)求函数 f ( x ) 单调递增区间; (2)若 A ? { y | y ? f ( x), x ? [ 数 m 的取值范围。 【解】 (1) f ( x ) ? 1 ? co s( 由 2k? ?
?
2 ? 2x ?

? ?
, 4 2

]} ,不等式 x ? m ? 3 的解集为 B, A ? B ? A ,求实

?
2

? 2 x) ?

3 co s 2 x ? 1 ? sin 2 x ?

3 co s 2 x ? 2 sin ( 2 x ?

?
3

) ,

?
3

? 2k? ?

?

解得: k ? ?

?
12

? x ? k? ?

5? 12



∴ f ( x ) 在区间 [ k ? ? (2) x ? [
? ?
, 4 2

?
12

, k? ?

2 5? 12

], k ? Z 上单调递增。??8 分 , 2? 3 ] ,∴ A ? [1, 2 ] ,又解得 B ? ( m ? 3, m ? 3)

], ∴ 2 x ?

?
3

?[

?
6

而 A ? B ? A ? A ? B ∴?

?m ?3?1 ?m ? 3 ? 2

,得 ? 1 ? m ? 4

16.(本小题满分 16 分) 设 f ( x ) ? 3 a x ? 2 b x ? c ,若 a ? b ? c ? 0 , f ( 0 ) ? 0 , f (1) ? 0 .
2

(1)求证:方程 f ( x ) ? 0 在区间(0,1)内有两个不等的实数根; (2)若 a , b , c 都为正整

数,求 a ? b ? c 的最小值。 【证明】 (1) f (0) ? c ? 0 ①, f (1) ? 3 a ? 2 b ? c ? 0 ②, a ? b ? c ? 0 ③, 由①③得: a ? b ? 0 ? a ? b ④,由②③得: 2 a ? b ? 0 ? 2 a ? b ⑤, 由④⑤得: 2 a ? b ? a ⑥,∵ b ? a ? c 代入②得: a ? c ∴ a ? 0 ∴由⑤得:1 ? 4分 ∵对称轴 x ?
2

b a

? 2 ??

1 2 ? ( , ) ,又 f (0) ? 0, f (1) ? 0 3a 3 3
2 2 2

b

且 ? ? 4 b ? 12 ac ? 4( a ? c ) ? 12 ac ? (2 a ? c ) ? 3 c ? 0 ∴方程 f ( x ) ? 0 在 ( 0 ,1) 内有两个不等实根. (2)若 a , b , c 都为正整数, f (0) 、 f (1) 都是正整数, 设 f ( x ) ? 3 a ( x ? x1 )( x ? x 2 ) ,其中 x1 , x 2 是 f ( x ) ? 0 的两根,则 x1 , x 2 ? (0,1) ,且 x1 ? x 2 ∵ 1 ? f (0 ) f (1) ? 9 a x1 (1 ? x1 ) x 2 (1 ? x 2 ) ?
2

9a

2

16

∴ 9 a ? 1 6, a 为正整数,∴ a ? 2 , ∴ a ? b ? c ? 2 ? (2 ? c ) ? c ? 4 ? 2 c ? 6 ??12 分
2

若取 a ? 2 ,则
2

b a

?

b 2

? (1, 2 ) 得: b ? ( 2 , 4 ) ,∵ b 为正整数,∴ b ? 3 , c ? b ? a ? 1 ,

f ( x ) ? 6 x ? 6 x ? 1 ? 0 的两根都在区间 ( 0 ,1) 内,∴ a ? b ? c 的最小值为 6。??16 分


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