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高考数学复习1集合与简易逻辑

时间:2016-07-09


高三专题复习
------------------集合与简易逻辑

一、必备主干知识:
(2)四种命题是对“若 p,则 q”形式的命题而言的.把“若 p,则 q”作为原命题,则 其逆命题是“若 q,则 p”,否命题是“若非 p,则非 q”,逆否命题是“若非 q,则非 p”, 其中原命题和逆否命题、逆命题和否命题是等价的,而且命题之间的关系是

相互的. (3)充要条件:若 p?q,则 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件;若 p?q,则 p,q 互为充 要条件. (3)含有一个量词的命题的否定: “?x∈M, p(x)”的否定为“?x0∈M, 非 p(x0)”; “? x0∈M,p(x0)”的否定为“?x∈M,非 p(x)”. (4)“或命题”的真假特点是“一真即真,要假全假”;“且命题”的真假特点是“一假即 假,要真全真”;“非命题”的真假特点是“真假相反”

二、典例解析:
1.(2014· 新课标全国卷Ⅰ)已知集合 A={x|x2-2x-3≥0},B={x|-2≤x<2},则 A∩B =( ) A.[-2,-1] C.[-1,1] B.[-1,2) D.[1,2)

[解析] ∵A={x|x≥3 或 x≤-1}, B={x|-2≤x<2}, ∴A∩B={x|-2≤x≤-1}=[-2,-1],故选 A. 2.(2014· 安徽)“x<0”是“ln(x+1)<0”的( A.充分不必要条件 )

B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 [解析] ∵ln(x+1)<0,∴0<x+1<1, ∴-1<x<0.∵x<0 是-1<x<0 的必要不充分条件,故选 B. 3.(2014· 陕西)原命题为“若 z1,z2 互为共轭复数,则|z1|=|z2|”,关于其逆命题,否命 题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是( A.真,假,真 C.真,真,假 B.假,假,真 D.假,假,假 )

[解析] 因为原命题为真,所以它的逆否命题为真;若|z1|=|z2|,当 z1=1,z2=-1 时, 这两个复数不是共轭复数,所以原命题的逆命题是假的,故否命题也是假的.故选 B. 4.(2014· 湖南)已知命题 p:若 x>y,则-x<-y;命题 q:若 x>y,则 x2>y2.在命题①p ∧q;②p∨q;③p∧(非 q);④(非 p)∨q 中,真命题是( A.①③ C.②③ B.①④ D.②④ )

[解析] 由不等式的性质可知, 命题 p 是真命题, 命题 q 为假命题, 故①p∧q 为假命题, ②p∨q 为真命题,③非 q 为真命题,则 p∧(非 q)为真命题,④非 p 为假命题,则(非 p) ∨q


为假命题,故选 C. [例 1] (1)(2014· 山东)设集合 A={x||x-1|<2},B={y|y=2x,x∈[0,2]},则 A∩B=( A.[0,2] C.[1,3) B.(1,3) D.(1,4) ) )

(2)(2014· 辽宁)已知全集 U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合?U(A∪B)=( A.{x|x≥0} C.{x|0≤x≤1} B.{x|x≤1} D.{x|0<x<1}

(2)(2014· 辽宁)已知全集 U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合?U(A∪B)=( A.{x|x≥0} C.{x|0≤x≤1} B.{x|x≤1} D.{x|0<x<1} )

)

[例 2] (2014· 贵阳高三监测)下列命题中的假命题是( A.?α,β∈R,使 sin(α+β)=sin α+sin β B.?φ∈R,函数 f(x)=sin(2x+φ)都不是偶函数

2 C.?x0∈R,使 x3 0+ax0+bx0+c=0(a,b,c∈R 且为常数)

D.?a>0,函数 f(x)=ln2x+ln x-a 有零点 π π 2x+ ? [解析] 取 α=0 时,sin(α+β)=sin α+sin β, A 正确;取 φ= 时,函数 f(x)=sin? 2? ? 2 =cos 2x 是偶函数,B 错误;对于三次函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,当 x→-∞时,y→-∞,
2 当 x→+∞时,y→+∞,又 f(x)在 R 上为连续函数,故?x0∈R,使 x3 0+ax0+bx0+c=0,C

1?2 1 1 正确; 当 f(x)=0 时, ln2x+ln x-a=0, 则有 a=ln2x+ln x=? ?ln x+2? -4≥-4,所以?a>0, 函数 f(x)=ln2x+ln x-a 有零点,D 正确.综上可知,B 为假命题. (2014· 广州调研)命题“若 x2<1,则-1<x<1”的逆否命题是( A.若 x2≥1,则 x≥1 或 x≤-1 B.若-1<x<1,则 x2<1 C.若 x>1 或 x<-1,则 x2>1 D.若 x≥1 或 x≤-1,则 x2≥1 [解析] “若 p,则 q”的逆否命题是“若綈 q,则綈 p”.故选 D. [例 3] (1)(2014· 湖北)设 U 为全集, A, B 是集合, 则“存在集合 C 使得 A?C, B??UC” 是“A∩B=?”的( ) )

A.充分而不必要的条件 B.必要而不充分的条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要的条件 (2)(2014· 北京)设{an}是公比为 q 的等比数列,则“q>1”是“{an}为递增数列”的(


)

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 [解析] (1)“存在集合 C 使得 A?C,B??UC”?“A∩B=?”.故选 C. (2)利用公比与等比数列的单调性的关系进行判断. {an}为递增数列,则 a1>0 时,q>1;a1<0 时,0<q<1.q>1 时,若 a1<0,则{an}为递减数 列.故“q>1”是“{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件,故选 D. (1)(2014· 绵阳第二次诊断)已知 l,m,n 是三条不同的直线,α,β 是两个不同的平面, 则 α⊥β 的一个充分条件是( A.l?α,m?β,且 l⊥m B.l?α,m?β,n?β,且 l⊥m,l⊥n C.m?α,n?β,m∥n,且 l⊥m D.l?α,l∥m,且 m⊥β [解析] 依题意,A,B,C 均不能得出 α⊥β.对于 D,由 l∥m,m⊥β,得 l⊥β,又 l?α,因 此有 α⊥β.综上所述,故选 D. (2)(2014· 山西考前质检)已知 a∈R,p:a2+3a+2≤0;q:关于 x 的方程 x2+2x+log2a =0 有实数根,则 p 是 q 的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [解析] 由题意,p:a2+3a+2≤0?(a+1)(a+2)≤0?-2≤a≤-1;q:方程 x2+2x ) )

+log2a=0 有实根等价于判别式 Δ=22-4log2a≥0, 即 0<a≤2.因此, p 是 q 的既不充分也不 必要条件,故选 D. [例 1] (2013· 天津)函数 f(x)=2x|log0.5x|-1 的零点个数为( A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 [解析] (1)令 f(x)=2x|lg0.5x|-1=0, 1?x 可得|log0.5x|=? ?2? . 1?x 设 g(x)=|log0.5x|,h(x)=? ?2? ,在同一坐标系下分别画出函数 g(x),h(x)的图象,可以发 现两个函数图象一定有 2 个交点,因此函数 f(x)有 2 个零点.

)



(2014· 山西名校二模)定义在 R 上的奇函数 y=f(x)满足 f(3)=0, 且不等式 f(x)>-xf′(x)在(0, +∞)上恒成立,则函数 g(x)=xf(x)+lg|x+1|的零点的个数为( A.4 B.3 C.2 D.1 [解析] f(x)+xf′(x)>0,即[xf(x)]′>0,说明 xf(x)在(0,+∞)上单调递增,又 f(x)为奇 函数,所以 xf(x)为偶函数,有一个零点为 3.令 g(x)=0,得 xf(x)=-lg|x+1|,数形结合,如 图,可知 g(x)共有 3 个零点. )

[ 例 2]

(2014· 哈师附中、东北师大附中、辽宁实验中学高三联考 ) 已知函数 f(x) =

? ?log2?1-x?+1,-1≤x<k, ? 3 若存在 k 使得函数 f(x)的值域是[0,2],则实数 a 的取值范围是 ?x -3x+2,k≤x≤a, ?

(

) A.[ 3,+∞) C.(0, 3 ] 1 ? B.? ?2, 3 ? D.{2}

[解析] 先作出函数 f(x)=log2(1-x)+1,-1≤x<k 的图象,再研究 f(x)=x3-3x+2, k≤x≤a 的图象,

令 f′(x)=3x2-3=0,得 x=1,当 x>1 时,f′(x)>0,当-1<x<1 时,f′(x)<0, ∴当 x=1 时,f(x)在(-1,+∞)上取得最小值 f(1)=0,又 f( 3)=2.若存在 k 使 f(x)的值 1 域是[0,2],a 只需满足 <a≤ 3.故选 B. 2 4 已知函数 f(x)= 与 g(x)=x3+t,若 f(x)与 g(x)的交点在直线 y=x 的两侧,则实数 t 的取 x 值范围是( ) B.(-6,6)

A.(-6,0]



C.(4,+∞) [解析] 如图:

D.(-4,4)

4 由题知,若 f(x)= 与 g(x)=x3+t 的交点位于 y=x 两侧, x
?23+t>2, ? 则有? 解得-6<t<6. 3 ? ??-2? +t<-2,

[例 3] (2014· 新课标全国卷Ⅱ)设点 M(x0,1),若在圆 O:x2+y2=1 上存在点 N,使得∠ OMN=45° ,则 x0 的取值范围是________.

[解析] 由题意可知,M 在直线 y=1 上运动,设直线 y=1 与圆 x2+y2=1 相切于点 P(0,1).如图所示,当 x0=0 即点 M 与点 P 重合时,显然圆上存在点 N(± 1,0)符合要求;当 x0≠0 时,过 M 作圆的切线,切点之一为点 P,此时对于圆上任意一点 N,都有∠OMN≤∠ OMP,故要存在∠OMN=45° ,只需∠OMP≥45° .特别地,当∠OMP=45° 时,有 x0=± 1.结 合图形可知,符合条件的 x0 的取值范围为[-1,1]. x2 y2 (1)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的右焦点为 F,若过点 F 且倾斜角为 60° 的直线与双 a b 曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是( A.(1,2] C.[2,+∞) B.(1,2) D.(2,+∞) )

b [解析] ∵渐近线 y= x 与过焦点 F 的直线 l 平行,或渐近线从该位置绕原点按逆时针 a



b 旋转时,与双曲线只有一个交点,直线 l 与双曲线的右支有一个交点,∴ ≥ 3,即 c2=a2 a +b2≥4a2,∴e≥2. x≥0, ? ? (2)(2014· 兰州、张掖高三联合诊断)已知 x,y 满足约束条件?3x+4y≥4, ? ?y≥0, 最小值是________. [解析] 画出不等式组表示的平面区域如图所示,x2+y2 表示平面区域内的点到坐标原 点的距离的平方.由题意知,当以原点为圆心的圆与直线 3x+4y-4=0 相切时,x2+y2 取 得最小值,即 x2+y2= |-4| 4 16 = ,所以(x2+y2)min= . 5 5 25

则 x2+y2 的




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