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高三数学-2014-2015学年高三上学期10月月考数学试卷

时间:2018-03-07


2014-2015 学年高三(上)10 月月考数学试卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题纸上. 1.若集合 A={1,m﹣2},且 A∩B={2},则实数 m 的值为 .

2.已知 i 为虚数单位,若

=a+bi(a,b∈R) ,则 a+b 的值是



3.某校高一、高二、高三分别有学生 1600 名,1200 名,800 名.为了解该校高中学生的牙 齿健康状况 ,按各年级的学生数进行分层抽样,若高三抽取 20 名学生,则高一、高二共需抽取的学生 数为 . 4. 从 1, 2, 3, 4, 5 这 5 个数中一次随机取两个数, 则这两个数的和为 5 的概率为 5.右图是一个算法的流程图,最后输出的 k= . .

6.已知 sinθ=﹣ ,则 cos(π+2θ)的值等于



7.已知公差不为 0 的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a5=3a2,若 S6=λa7,则λ = . 8.在棱长为 2 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E,F 分别是棱 AB,BC 中点,则三棱锥 B﹣B1EF 的体积为 .

9.在直角三角形 ABC 中,AB⊥AC,AB=AC=1,

,则

的值等于



1

10.直线 y=kx+1 与圆(x﹣3) +(y﹣2) =9 相交于 A、B 两点,若 AB>4,则 k 的取值范 围是 . 11.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x +2x,若 f(2﹣a )>f(a) , 则实数 a 的取值范围是 .
* 2 2

2

2

12.已知数列{an}的通项公式为 an=n 范围为 .

,若对任意的 n∈N ,都有 an≥a3,则实数 k 的取值

13.已知函数 f(x)= 取值范围是 .

,若方程|f(x)|=a 有三个零点,则实数 a 的

14.在△ABC 中,若

的最大值为



二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算 步骤,请把答案写在答题卡的指定区域内. 15.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 b=4, (1)求 a +c 的值; (2)求函数 f(B)=
2 2 2

?

=8.

sinBcosB+cos B 的值域.

16.如图,在三棱锥 P﹣ABC 中,平面 PAC⊥平面 ABC,∠BAC=60°,E,F 分别是 AP,AC 的 中点,点 D 在棱 AB 上,且 AD=AC.求证: (1)EF∥平面 PBC; (2)平面 DEF⊥平面 PAC.

17.某园林公司计划在一块以 O 为圆心,R(R 为常数,单位为米)为半径的半圆形(如图) 地上种植花草树木,其中弓形 CMDC 区域用于观赏样板地,△OCD 区域用于种植花木出售, 其余区域用于种植草皮出售. 已知观赏样板地的成本是每平方米 2 元, 花木的利润是每平方 米 8 元,草皮的利润是每平方米 3 元.

2

(1)设∠COD=θ(单位:弧度) ,用θ表示弓形 CMDC 的面积 S 弓=f(θ) ; (2)园林公司应该怎样规划这块土地,才能使总利润最大?并求相对应的θ. (参考公式:扇形面积公式 ,l 表示扇形的弧长)

18.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆

+

=1(a>b>0)的离心率为 ,过椭圆右

焦点 F 作两条互相垂直的弦 AB 与 CD.当直线 AB 斜率为 0 时,AB+CD=7. (1)求椭圆的方程; (2)求 AB+CD 的取值范围.

19.已知等比数列{an}的公比 q>1,前 n 项和为 Sn,S3=7,a1+3,3a2,a3+4 成等差数列,数 * 列{bn}的前 n 项和为 Tn,6Tn=(3n+1)bn+2,其中 n∈N . (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{bn}的通项公式; (3)设 A={a1,a2,…,a10},B={b1,b2,…,b40},C=A∪B,求集合 C 中所有元素之和. 20.已知函数 f(x)=(x﹣a) e 在 x=2 时取得极小值. (1)求实数 a 的值; (2)是否存在区间[m,n],使得 f(x)在该区间上的值域为[e m,e n]?若存在,求出 m, n 的值;若不存在,说明理由.
4 4 2 x

三.附加题 21.变换 T1 是逆时针旋转 是 . 的旋转变换,对应的变换矩阵是 M1;变换 T2 对应用的变换矩阵

3

(Ⅰ)求点 P(2,1)在 T1 作用下的点 P′的坐标; 2 (Ⅱ)求函数 y=x 的图象依次在 T1,T2 变换的作用下所得曲线的方程. 22.[选做题]已知圆 C 的极坐标方程是ρ=4cosθ,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴

为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程是

(t 是参数) .若

直线 l 与圆 C 相切,求实数 m 的值. 23.如图,在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=4,AD=2,AA1=2,F 是棱 BC 的中点,点 E 在棱 C1D1 上,且 D1E=λEC1(λ为实数) . (1)当λ= 时,求直线 EF 与平面 D1AC 所成角的正弦值的大小; (2)试问:直线 EF 与直线 EA 能否垂直?请说明理由.

24. (2011 秋? 扬州期末)已知 p(p≥2)是给定的某个正整数,数列{an}满足:a1=1, (k+1) ak+1=p(k﹣p)ak,其中 k=1,2,3,…,p﹣1. (Ⅰ)设 p=4,求 a2,a3,a4; (Ⅱ)求 a1+a2+a3+…+ap.

4

2014-2015 学年高三(上)10 月月考数学试卷
参考答案与试题解析

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题纸上. 1.若集合 A={1,m﹣2},且 A∩B={2},则实数 m 的值为 4 . 考点: 集合关系中的参数取值问题. 专题: 计算题. 分析: 根据集合 A={1,m﹣2},且 A∩B={2},可得 m﹣2=2,由此解得 m 的值. 解答: 解:∵集合 A={1,m﹣2},且 A∩B={2},∴m﹣2=2,解得 m=4, 故答案为 4. 点评: 本题主要考查集合关系中参数的取值范围问题,两个集合的交集的定义,属于基础 题.

2.已知 i 为虚数单位,若

=a+bi(a,b∈R) ,则 a+b 的值是 ﹣2 .

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 直接利用复数的乘除运算以及复数相等的充要条件求出 a,b 即可. 解答: 解: 所以 a+bi= =a+bi, = ,解得 a=﹣ ,b= ,

所以 a+b=﹣2 故答案为:﹣2 点评: 本题考查复数的基本运算,复数相等的充要条件的应用,考查计算能力. 3.某校高一、高二、高三分别有学生 1600 名,1200 名,800 名.为了解该校高中学生的牙 齿健康状况 ,按各年级的学生数进行分层抽样,若高三抽取 20 名学生,则高一、高二共需抽取的学生 数为 70 . 考点: 分层抽样方法. 专题: 概率与统计. 分析: 根据分层抽样的定义,建立比例关系,即可得到结论. 解答: 解:∵高一、高二、高三分别有学生 1600 名,1200 名,800 名, ∴若高三抽取 20 名学生,设共需抽取的学生数为 x, 则 ,解得 x=90,

则高一、高二共需抽取的学生数为 90﹣20=70, 故答案为:70.

5

点评: 本题主要考查分层抽样的应用,比较基础.

4.从 1,2,3,4,5 这 5 个数中一次随机取两个数,则这两个数的和为 5 的概率为



考点: 等可能事件的概率. 专题: 计算题. 分析: 根据题意,列举从 5 个数中一次随机取两个数的情况,可得其情况数目与取出两个 数的和为 5 的情况数目,由等可能事件的概率公式,计算可得答案. 解答: 解:根据题意,从 5 个数中一次随机取两个数, 其情况有 1、2,1、3,1、4,1、5,2、3,2、4,2、5,3、4,3、5,4、5,共 10 种情况, 其中这两个数的和为 5 的有 1、4,2、3,共 2 种; 则取出两个数的和为 5 的概率 P= 故答案为 . 点评: 本题考查等可能事件的概率计算,关键是用列举法得到全部的情况数目和符合题干 要求的情况数目. 5.右图是一个算法的流程图,最后输出的 k= 11 . = ;

考点: 循环结构. 专题: 图表型. 分析: 题目首先给循环变量和累加变量赋值,判断 S 与 20 的关系,若 S<20,执行用 S+k 替换 S,用 k+2 替换 k,若 S≥20,算法结束,输出 k. 解答: 解:首先给循环变量 k 和累加变量 S 赋值 1 和 0, 判断 0<20,执行 S=0+1=1,k=1+2=3; 判断 1<20,执行 S=1+3=4,k=3+2=5; 判断 4<20,执行 S=4+5=9,k=5+2=7; 判断 9<20,执行 S=9+7=16,K=7+2=9; 判断 16<20,执行 S=16+9=25,k=9+2=11;

6

判断 25>20,输出 k 的值为 11,算法结束. 故答案为 11. 点评: 本题主要考查了循环结构,是当型循环,当满足条件,执行循环,属于基础题.

6.已知 sinθ=﹣ ,则 cos(π+2θ)的值等于 ﹣



考点: 二倍角的余弦;同角三角函数间的基本关系;两角和与差的余弦函数. 专题: 三角函数的求值. 分析: 利用诱导公式,二倍角的余弦公式,即可求得结论. 解答: 解:∵sinθ=﹣ , ∴cos(π+2θ)=﹣cos2θ=2sin θ﹣1= 故答案为:﹣ . 点评: 本题考查诱导公式,二倍角的余弦公式,考查学生的计算能力,属于基础题.
2

=﹣ .

7.已知公差不为 0 的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a5=3a2,若 S6=λa7,则λ=



考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 利用 a5=3a2,可得 d=2a1,再利用 S6=λa7,求出λ的值. 解答: 解:设公差为 d,则 a1+4d=3(a1+d) , ∴d=2a1, ∵S6=λa7, ∴6a1+15d=λ(a1+6d) , ∴6a1+30a1=λ(a1+12a1) , ∴λ= . .

故答案为:

点评: 本题考查等差数列的通项与求和,考查学生的计算能力,比较基础. 8.在棱长为 2 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E,F 分别是棱 AB,BC 中点,则三棱锥 B﹣B1EF 的体积为 .

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: = ,由此利用等积法能求出三棱锥 B﹣B1EF 的体积.

解答: 解:∵棱长为 2 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,
7

E,F 分别是棱 AB,BC 中点, ∴B1B⊥平面 BEF,B1B=2, S△BEF= ∴ = = = . = , =

故答案为: .

点评: 本题考查三棱锥的体积的求法,是基础题,解题时要注意等积法的合理运用.

9.在直角三角形 ABC 中,AB⊥AC,AB=AC=1,

,则

的值等于



考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: 先建立直角坐标系,由 可求 D 的坐标,代入可求 , ,然后代入向量

的 数量积的坐标表示即可求解 解答: 解:建立如图所示的直角坐标系则 A(0,0) ,B(0,1) ,C(1,0) , 设 D(x,y) ∴ ∵ ∴x= ∴x= ,y= 则 =( ) ?( , )= = ,y﹣1= =(x,y﹣1) , =(1﹣x,﹣y)

故答案为:

8

点评: 本题主要考查了向量的数量积的坐标表示,解题的关键是合理的建立直角坐标系. 10.直线 y=kx+1 与圆(x﹣3) +(y﹣2) =9 相交于 A、B 两点,若 AB>4,则 k 的取值范 围是 .
2 2

考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: 由弦长公式得,当圆心到直线的距离等于 d 时,弦长等于 AB=2 大于 4 时,则得 d <5,解此不等式求出 k 的取值范围. 2 2 解答: 解:由于圆(x﹣3) +(y﹣2) =9 则圆心(3,2) ,半径为 3 设圆心(3,2)到直线 y=kx+1 的距离为 d,由弦长公式得,AB=2 >4,故 d <5,
2 2

,故当弦长



,化简得 (k﹣2) (2k+1)≤0,∴﹣ <k<2,

故答案为:



点评: 本题主要考查点到直线的距离公式,以及弦长公式的应用,属于中档题. 11.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x +2x,若 f(2﹣a )>f(a) , 则实数 a 的取值范围是 (﹣2,1) . 考点: 函数奇偶性的性质;函数单调性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 题意可先判断出 f(x)=x +2x=(x+1) ﹣1 在(0,+∞)上单调递增,根据奇函数 2 的对称区间上的单调性可知,f(x)在(﹣∞,0)上单调递增,从而可比较 2﹣a 与 a 的 大小,解不等式可求 a 的范围. 解答: 解:∵f(x)=x +2x=(x+1) ﹣1 在(0,+∞)上单调递增, 又∵f(x)是定义在 R 上的奇函数,
2 2 2 2 2 2

9

根据奇函数的对称区间上的单调性可知,f(x)在(﹣∞,0)上单调递增, ∴f(x)在 R 上单调递增. ∵f(2﹣a )>f(a) , 2 ∴2﹣a >a, 解不等式可得,﹣2<a<1, 故答案为: (﹣2,1) . 点评: 本题主要考查了奇函数在对称区间上的单调性相同(偶函数对称区间上的单调性相 反)的性质的应用, 一元二次不等式的求解,属于基础试题.
* 2

12.已知数列{an}的通项公式为 an=n 范围为 6≤k≤12 . 考点: 数列的函数特性. 专题: 等差数列与等比数列.

,若对任意的 n∈N ,都有 an≥a3,则实数 k 的取值

分析: 根据对所有 n∈N 不等式 an≥a3 恒成立,可得 可. 解答: 解:由题意可得 k>0, ∵对所有 n∈N 不等式 an≥a3 恒成立,
*

*

,可解得 6≤k≤12,验证即



,∴

,∴6≤k≤12

经验证,数列在(1,2)上递减, (3,+∞)上递增, 或在(1,3)上递减, (4,+∞)上递增,符合题意, 故答案为:6≤k≤12 点评: 本题考查数列中的恒成立问题,考查学生的计算能力,属基础题.

13.已知函数 f(x)= 取值范围是 (0,3) .

,若方程|f(x)|=a 有三个零点,则实数 a 的

考点: 函数零点的判定定理. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由题意可知 a≥0,分类讨论方程|f(x)|=a 的根即可. 解答: 解:∵方程|f(x)|=a 有三个根, ∴a≥0, 若 a=0,则方程|f(x)|=a 只有一个根,故不成立; 若 a>0, ∵当 x<1 时,f(x)=3 ∈(0,3)
x

10

当 x≥1 时,f(x)=3﹣log3x≤3,且单调, 则若方程|f(x)|=a 有三个根,则在 x<1 有一个, 在 x≥1 时有两个, 则实数 a 的取值范围是(0,3) . 故答案为(0,3) . 点评: 本题考查了方程的根与函数的零点之间的关系,属于基础题.

14.在△ABC 中,若

的最大值为



考点: 余弦定理;同角三角函数间的基本关系. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由 A 和 B 为三角形的内角,得到 sinA 和 sinB 都大于 0,进而确定出 C 为钝角,利 用诱导公式及三角形的内角和定理化简已知等式的左边,得到 sinB=﹣2sinAcosC,再由 sinB=sin(A+C) ,利用两角和与差的正弦函数公式化简,再利用同角三角函数间的基本关系 化简, 得到 tanC=﹣3tanA, 将 tanB 利用诱导公式及三角形的内角和定理化简为﹣tan (A+C) , 利用两角和与差的正切函数公式化简,将 tanC=﹣3tanA 代入,变形后利用基本不等式求出 tanB 的范围,即可得到 tanB 的最大值. 解答: 解:∵sinA>0,sinB>0, ∴ =2cos(A+B)=﹣2cosC>0,即 cosC<0,

∴C 为钝角,sinB=﹣2sinAcosC, 又 sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC, ∴sinAcosC+cosAsinC=﹣2sinAcosC,即 cosAsinC=﹣3sinAcosC, ∴tanC=﹣3tanA, ∴tanB=﹣tan(A+C)=﹣ =﹣ = ≤ = ,

当且仅当

=3tanA,即 tanA= .

时取等号,

则 tanB 的最大值为

点评: 此题考查了同角三角函数间的基本关系,两角和与差的正弦、正切函数公式,以及 基本不等式的运用,熟练掌握基本关系及公式是解本题的关键. 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算 步骤,请把答案写在答题卡的指定区域内. 15.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 b=4, (1)求 a +c 的值; (2)求函数 f(B)=
2 2 2

?

=8.

sinBcosB+cos B 的值域.

考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 三角函数的求值.

11

分析: (1)利用平面向量的数量积运算法则化简
2 2

?

=8,再利用余弦定理列出关系式,

将化简结果及 b 的值代入计算即可求出 a +c 的值; (2)由基本不等式求出 ac 的范围,根据 accosB=8 表示出 cosB,由 ac 的范围求出 cosB 的 范围,进而利用余弦函数性质求出 B 的范围,f(B)解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公 式化简,整理为一个角的正弦函数,由 B 的范围求出这个角的范围,利用正弦函数的值域即 可确定出 f(B)的范围. 解答: 解: (1)∵
2 2 2

?

=8,∴accosB=8,
2 2

由余弦定理得 b =a +c ﹣2accosB=a +c ﹣16, ∵b=4, ∴a +c =32; 2 2 (2)∵a +c ≥2ac, ∴ac≤16, ∵accosB=8, ∴cosB= ≥ ,
2 2

∵B∈(0,π) , ∴0<B≤ ∵f(B)= ∵ <2B+ , sinBcosB+cos B= ≤ ,
2

sin2B+ (1+cos2B)=sin(2B+

)+ ,

∴sin(2B+

)∈[ ,1],

则 f(B)的值域为[1, ]. 点评: 此题考查了正弦、余弦定理,平面向量的数量积运算,二倍角的正弦、余弦函数公 式,以及正弦函数的值域,熟练掌握定理及公式是解本题的关键. 16.如图,在三棱锥 P﹣ABC 中,平面 PAC⊥平面 ABC,∠BAC=60°,E,F 分别是 AP,AC 的 中点,点 D 在棱 AB 上,且 AD=AC.求证: (1)EF∥平面 PBC; (2)平面 DEF⊥平面 PAC.

12

考点: 平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)利用三角形中位线定理推导出 EF∥PC,由此能证明 EF∥平面 PBC. (2)由已知条件推导出△ACD 为正三角形,DF⊥AC,从而得到 DF⊥平面 PAC,由此能证明 平面 DEF⊥平面 PAC. 解答: 证明: (1)在△PAC 中,因为 E,F 分别是 AP,AC 的中点, 所以 EF∥PC.…(2 分) 又因为 EF? 平面 PBC,PC? 平面 PBC, 所以 EF∥平面 PBC.…(5 分) (2)连结 CD.因为∠BAC=60°,AD=AC, 所以△ACD 为正三角形. 因为 F 是 AC 的中点,所以 DF⊥AC.…(7 分) 因为平面 PAC⊥平面 ABC,DF? 平面 ABC, 平面 PAC∩平面 ABC=AC, 所以 DF⊥平面 PAC. …(11 分) 因为 DF? 平面 DEF, 所以平面 DEF⊥平面 PAC.…(14 分) 点评: 本题考查直线与平面平行的证明,考查平面与平面垂直的证明,解题时要认真审题, 注意空间思维能力的培养. 17.某园林公司计划在一块以 O 为圆心,R(R 为常数,单位为米)为半径的半圆形(如图) 地上种植花草树木,其中弓形 CMDC 区域用于观赏样板地,△OCD 区域用于种植花木出售, 其余区域用于种植草皮出售. 已知观赏样板地的成本是每平方米 2 元, 花木的利润是每平方 米 8 元,草皮的利润是每平方米 3 元. (1)设∠COD=θ(单位:弧度) ,用θ表示弓形 CMDC 的面积 S 弓=f(θ) ; (2)园林公司应该怎样规划这块土地,才能使总利润最大?并求相对应的θ. (参考公式:扇形面积公式 ,l 表示扇形的弧长)

考点: 已知三角函数模型的应用问题. 专题: 应用题;综合题;转化思想. 分析: (1)设∠COD=θ(单位:弧度) ,利用扇形面积减去三角形的面积,即可求出弓形 CMDC 的面积 S 弓=f(θ) ; (2)设总利润为 y 元,草皮利润为 y1 元,花木地利润为 y2,观赏样板地成本为 y3,求出 y 的表达式,利用导数确定函数的最大值,得到结果.

13

解答: 解: (1)







(2)设总利润为 y 元,草皮利润为 y1 元,花木地利润为 y2,观赏样板地成本为 y3 ∴ .= , , ,

设 g(θ)=5θ﹣10sinθθ∈(0,π) .g′(θ)=5﹣10cosθ 上为减函数; 上为增函数. 当 时,g(θ)取到最小值,此时总利润最大. 时,总利润最大.

答:所以当园林公司把扇形的圆心角设计成

点评: 本题是中档题,考查三角函数的应用题中的应用,三角函数的化简求值,导数的应 用,考查计算能力,转化思想的应用.

18.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆

+

=1(a>b>0)的离心率为 ,过椭圆右

焦点 F 作两条互相垂直的弦 AB 与 CD.当直线 AB 斜率为 0 时,AB+CD=7. (1)求椭圆的方程; (2)求 AB+CD 的取值范围.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (1)由题意知, ,CD=7﹣2a,再由点 在椭圆上,能求出椭

圆的方程. (2)当两条弦中一条斜率为 0 时,另一条弦的斜率不存在时,AB+CD=7;当两弦斜率均存在 且不为 0 时,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,设直线 AB 的方程为 y=k(x﹣1) ,直线 CD 的方程
14



.由此能求出

,从而能求出 AB+CD 的取 值范围. 解答: 解: (1)由题意知, 所以 a =4c ,b =3c ,…2 分 因为点 在椭圆上,
2 2 2 2

,CD=7﹣2a,

即 解得 c=1. 所以椭圆的方程为



.…6 分

(2)①当两条弦中一条斜率为 0 时,另一条弦的斜率不存在, 由题意知 AB+CD=7;…7 分 ②当两弦斜率均存在且不为 0 时,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 且设直线 AB 的方程为 y=k(x﹣1) , 则直线 CD 的方程为 将直线 AB 的方程代入椭圆方程中, 并整理得(3+4k )x ﹣8k x+4k ﹣12=0, 所以 , ,
2 2 2 2



所以

.…10 分

同理,



所以 令 t=k +1,则 t>1,3+4k =4t﹣1,3k +4=3t+1, 设
2 2 2

,…12 分



15

因为 t>1,所以 所以 所以 ,



. . …16 分.

综合①与②可知,AB+CD 的取值范围是

点评: 本题考查椭圆的方程的求法,考查两条线段和的取值范围的求法,解题时要认真审 题,注意分类讨论思想的合理运用. 19.已知等比数列{an}的公比 q>1,前 n 项和为 Sn,S3=7,a1+3,3a2,a3+4 成等差数列,数 * 列{bn}的前 n 项和为 Tn,6Tn=(3n+1)bn+2,其中 n∈N . (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{bn}的通项公式; (3)设 A={a1,a2,…,a10},B={b1,b2,…,b40},C=A∪B,求集合 C 中所有元素之和. 考点: 等比数列的通项公式;集合的相等;并集及其运算;等差数列的通项公式;等比数 列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)利用等差数列和等比数列的通项公式和前 n 项和公式即可得出; (2)利用“n=1 时 b1=T1;n≥2 时,bn=Tn﹣Tn﹣1”和“累乘求积”即可得出. (3)利用等差数列和等比数列的前 n 项和公式可得 S10,T10,又 A 与 B 的公共元素为 1,4, 16,64,其和为 85.即可得出集合 C 中所有元素之和. 解答: 解: (1)∵S3=7,∴a1+a2+a3=7, ∵a1+3,3a2,a3+4 成等差数列,∴6a2=a1+3+a3+4, 联立可得 ,解得 .




*

(2)∵6Tn=(3n+1)bn+2,其中 n∈N .当 n≥2 时,6Tn﹣1=(3n﹣2)bn﹣1+2,b1=1. ∴6bn=(3n+1)bn﹣(3n﹣2)bn﹣1, 化为 .

∴bn=



=

?

? …?

=3n﹣2.

(3)





16

∵A 与 B 的公共元素为 1,4,16,64,其和为 85. ∴C=A∪B,集合 C 中所有元素之和为 1023+2380﹣85=3318. 点评: 本题考查了等差数列和等比数列的通项公式和前 n 项和公式、利用“n=1 时 b1=T1; n≥2 时,bn=Tn﹣Tn﹣1” 、 “累乘求积” 、集合运算等基础知识与基本技能方法,属于难题. 20.已知函数 f(x)=(x﹣a) e 在 x=2 时取得极小值. (1)求实数 a 的值; (2)是否存在区间[m,n],使得 f(x)在该区间上的值域为[e m,e n]?若存在,求出 m, n 的值;若不存在,说明理由. 考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)通过求导直接得出, (2)构造出新函数通过求导得出方程组,解得即可. 解答: 解: (1)f'(x)=e (x﹣a) (x﹣a+2) , 由题意知 f'(2)=0,解得 a=2 或 a=4. 当 a=2 时,f'(x)=e x(x﹣2) , 易知 f(x)在(0,2)上为减函数,在(2,+∞)上为增函数,符合题意; 当 a=4 时,f'(x)=e (x﹣2) (x﹣4) , 易知 f(x)在(0,2)上为增函数,在(2,4) , (4,+∞)上为减函数,不符合题意. 所以,满足条件的 a=2. (2)因为 f(x)≥0,所以 m≥0. ①若 m=0,则 n≥2,因为 f(0)=4<e n,所以(n﹣2) e =e n. 设 ,则 ,
4 2 n 4 x x x 4 4 2 x

所以 g(x)在[2,+∞)上为增函数. 由于 g(4)=e ,即方程(n﹣2) e =e n 有唯一解为 n=4. ②若 m>0,则 2? [m,n],即 n>m>2 或 0<m<n<2. (Ⅰ)n>m>2 时,
4 2 n 4



由①可知不存在满足条件的 m,n. (Ⅱ)0<m<n<2 时,



两式相除得 m(m﹣2) e =n(n﹣2) e . 2 x 设 h(x)=x(x﹣2) e (0<x<2) , 3 2 x 则 h'(x)=(x ﹣x ﹣4x+4)e x =(x+2) (x﹣1) (x﹣2)e , h(x)在(0,1)递增,在(1,2)递减,

2 m

2 n

17

由 h(m)=h(n)得 0<m<1,1<n<2, 此时(m﹣2) e <4e<e n,矛盾. 综上所述,满足条件的 m,n 值只有一组,且 m=0,n=4. 点评: 本题考察了求导函数,函数的单调性,解题中用到了分类讨论思想,是一道较难的 问题. 三.附加题 21.变换 T1 是逆时针旋转 是 . 的旋转变换,对应的变换矩阵是 M1;变换 T2 对应用的变换矩阵
2 m 4

(Ⅰ)求点 P(2,1)在 T1 作用下的点 P′的坐标; 2 (Ⅱ)求函数 y=x 的图象依次在 T1,T2 变换的作用下所得曲线的方程. 考点: 逆变换与逆矩阵;逆矩阵的简单性质(唯一性等) . 专题: 计算题. 分析: (Ⅰ)先写出时针旋转 标; (Ⅱ) 先求 M=M2M1,再求点的变换,从而利用函数 y=x 求出变换的作用下所得曲线的方程 解答: 解: (Ⅰ) ,
2

的旋转变换矩阵 M1,再利用矩阵的乘法,求出点 P'的坐

所以点 P(2,1)在 T1 作用下的点 P'的坐标是 P'(﹣1,2) .…(5 分) (Ⅱ) ,



是变换后图象上任一点,与之对应的变换前的点是







也就是{,

,即
2



所以,所求曲线的方程是 y﹣x=y 点评: 本题以变换为载体,考查矩阵的乘法,考查点在变换下点的坐标的求法,属于中档 题 22.[选做题]已知圆 C 的极坐标方程是ρ=4cosθ,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴

为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程是

(t 是参数) .若

直线 l 与圆 C 相切,求实数 m 的值.

18

考点: 简单曲线的极坐标方程;直线与圆的位置关系;直线的参数方程. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 将圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程,直线的参数方程化为普通方程,再根据直 线 l 与圆 C 相切,利用圆心到直线的距离等于半径,即可求实数 m 的值 解答: 解:由ρ=4cosθ,得ρ =4ρcosθ, 2 2 ∴x +y =4x, 2 2 即圆 C 的方程为(x﹣2) +y =4, ∴圆的圆心坐标为(2,0) ,半径为 2
2

又由

消 t,得 x﹣y﹣m=0,

∵直线 l 与圆 C 相切, ∴圆心到直线的距离等于半径 ∴ ,

解得 . 点评: 本题重点考查方程的互化,考查直线与圆的位置关系,解题的关键是利用圆心到直 线的距离等于半径,研究直线与圆相切. 23.如图,在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=4,AD=2,AA1=2,F 是棱 BC 的中点,点 E 在棱 C1D1 上,且 D1E=λEC1(λ为实数) . (1)当λ= 时,求直线 EF 与平面 D1AC 所成角的正弦值的大小; (2)试问:直线 EF 与直线 EA 能否垂直?请说明理由.

考点: 直线与平面所成的角. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)分别以 DA,DC,DD1 为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系 D﹣xyz,利用向量法 能求出直线 EF 与平面 D1AC 所成角的正弦值. (2)假设 EF⊥EA,则 =0,由此推导出 3λ ﹣2λ+3=0,△=4﹣36<0,假设不成立,
2

从而得到直线 EF 不可能与直线 EA 垂直. 解答: 解: (1)分别以 DA,DC,DD1 为 x,y,z 轴, 建立如图所示的空间直角坐标系 D﹣xyz, 则 A(2,0,0) ,C(0,4,0) ,D1(0,0,2) ,
19

E(0, ∴ 当

,2) ,F(1,4,0) , , 时,E(0,1,2) , =(1,3,﹣2) , , ,

设平面 D1AC 的一个法向量为



,取 y=1,则 =(2,1,2) ,

cos< ∵

>= >0,∴<

, >是锐角, . , (4﹣ )+4=0,

∴直线 EF 与平面 D1AC 所成角的正弦值为 (2)假设 EF⊥EA,则 =(1,4﹣
2

=0,∵

,﹣2) ,∴2﹣

化简,得 3λ ﹣2λ+3=0, ∵△=4﹣36<0,∴该方程无解,∴假设不成立, 即直线 EF 不可能与直线 EA 垂直.

点评: 本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法,考查直线与直线是否存在的判断与求 法,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用. 24. (2011 秋? 扬州期末)已知 p(p≥2)是给定的某个正整数,数列{an}满足:a1=1, (k+1) ak+1=p(k﹣p)ak,其中 k=1,2,3,…,p﹣1. (Ⅰ)设 p=4,求 a2,a3,a4; (Ⅱ)求 a1+a2+a3+…+ap. 考点: 数列递推式;数列的求和. 专题: 计算题;综合题. 分析: (I)设 p=4,利用(k+1)ak+1=p(k﹣p)ak,求出 3 求 a2,a3,a4;
20

,通过 k=1,2,

(II)利用

列出

的表达式通过连乘求出 ak,然后通过

二项式定理求解求 a1+a2+a3+…+ap. 解答: 解: (Ⅰ)由(k+1)ak+1=p(k﹣p)ak 得 ,k=1,2,3,…,p﹣1



,a2=﹣6a1=﹣6;

,a3=16,

,a4=﹣16; (3 分) (Ⅱ)由(k+1)ak+1=p(k﹣p)ak 得: ,k=1,2,3,…,p﹣1





,…,



以上各式相乘得 分) ∴

(5

= = ∴a1+a2+a3+… +ap= (10 分) 点评: 本题考查数列的应用,数列的项的求法,通项公式的求法,二项式定理的应用,考 查转化思想计算能力. = ,k=1,2,3,…,p (7 分)

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