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2011年全国高中数学联赛安徽省预赛试题及答案

时间:2012-05-23


feimath

2011 年全国高中数学联赛安徽省预赛 年全国高中数学联赛安徽省 安徽省预赛
安徽省预赛的命题工作是由安徽省数学会负责,预赛试题所涉及的知识范围,完全 参考了《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学内容和要求,但在方法的 要求上有所提高,主要考查学生对所学的基本知识和基本技能的掌握情况,以及灵活运 用知识的综合能力. 试题包

括 8 道填空题,4 道解答题,满分 150 分,考试时间为 2 小时. 印制试卷严格按照联赛的要求,秘密印卷,采用大包 30 份,小包 10 份的包装,通 过保密渠道,在 9 月 9 日左右寄达各市教研室. 各市教研员在收到试题后派专人保管, 并在考前 5 分钟拆封.
安徽省预赛于 2011 年 9 月 10 日举行,在这个值得庆贺日子“教师节” ,我省 17 各地市的高中 数学老师都在认真地监考. 共有 31078 名学生在各地、县中学参加考试. 初赛结束后,各地教研员 认真组织改卷、初评和复评工作,坚持公开、公正、公平的原则,最终复评后确定了 1130 人有参 加 10 月 16 日到中国科学技术大学参加全国高中数学复赛的资格.


一、填空题(每小题 8 分,共 64 分) 填空题(



1.以 X 表示集合 X 的元素个数. 若有限集合 A, B, C 满足 A U B = 20 , B U C = 30 ,

C U A = 40 ,则 A I B I C 的最大可能值为

.

2.设 a 是正实数. 若 f ( x) = x 2 ? 6ax + 10a 2 + x 2 + 2ax + 5a 2 ,x ∈ R 的最小值为 10,

则a =

.

3.已知实系数多项式 f ( x) = x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + d 满足 f (1) = 2 , f (2) = 4 , f (3) = 6 ,

则 f (0) + f (4) 的所有可能值集合为

.

4 .设展开式 (5 x + 1) n = a 0 + a1 x + L + a n x n,n ≥ 2011 . 若 a 2011 = max(a 0 , a1 , L , a n ) ,则

n=

.

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5.在如图所示的长方体 ABCD ? EFGH 中,设 P 是矩 形 EFGH 的中心,线段 AP 交平面 BDE 于点 Q . 若
AB = 3


AD = 2



AE = 1




第5题

PQ =

.

6.平面上一个半径 r 的动圆沿边长 a 的正三角形的外

侧滚动,其扫过区域的面积为

.
第6题

7 .设直角坐标平面上的点 ( x, y ) 与复数 x + y i 一一对

应. 若点 A, B 分别对应复数 z , z ?1 ( z ? R ) ,则直 线 AB 与 x 轴的交点对应复数 (用 z 表示).

8.设 n 是大于 4 的偶数. 随机选取正 n 边形的 4 个顶点构造四边形,得到矩形的概率



.

二、解答题(第 9—10 题每题 22 分,第 11—12 题每题 21 分,共 86 分) 解答题( 11—
9.已知数列 {a n } 满足 a1 = a 2 = 1 , a n = 1 ?

a1 + L + a n ? 2 (n ≥ 3) ,求 a n 的通项公式. 4
1 1 1 1 + +L+ < . a1 a 2 an 2

10.已知正整数 a1 , a 2 , L , a n 都是合数,并且两两互素,求证:

11.设 f ( x) = ax 3 + bx + c ( a, b, c 是实数) ,当 0 ≤ x ≤ 1 时, 0 ≤ f ( x) ≤ 1 . 求 b 的最大可

能值.

12. 设点 A(?1,0),B(1,0),C (2,0) ,D 在双曲线 x 2 ? y 2 = 1 的左支上,D ≠ A , 直线 CD 交
双曲线 x 2 ? y 2 = 1 的右支于点 E . 求证:直线 AD 与 BE 的交点 P 在直线 x =

1 上. 2

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解答
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 10. 2. {32}. 2413.
17 . 4
6ar + 4 π r 2 .

z+z . 1 + zz 3 . (n ? 1)(n ? 3)

9. an = 1 ?

a1 + L + an ? 2 a = an ?1 ? n ? 2 4 4
an ?1 1 ? a ? 1 = ? an ?1 ? n ? 2 ? = L = n ?1 2 2? 2 ? 2 n
2 n ?1 .

? an ?

? 2 n ?1 a n = 2 n ? 2 a n ?1 + 1 = L = n ? a n =

10.设 a k 的最小素因子 p k ,因为 a k 不是素数,所以 a k ≥ p k2 . 于是 .
n 1 1 ≤∑ 2 ∑ a k =1 p k =1 k k n

≤ ≤

1 n 1 +∑ 4 k = 2 (2k ? 1)2

1 n 1 +∑ 4 k = 2 (2k ? 1)2 ? 1 1 1 1 = ? < 2 4n 2

? f (0) = c ? ? 11.由 ? f (1) = a + b + c ? a b 1 ? f ( 3) = 3 3 + 3 +c ?

可知

2b = 3 3 f (

1 3

) ? f (1) ? (3 3 ? 1) f (0) ≤ 3 3

f ( x) =

3 3 2

( x ? x 3 ) 满足题设, b 的最大可能值为 3 2 3 .

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12.设 D( x1 , y1 ),E ( x 2 , y 2 ),P( x, y ) ,直线 CD 的方程 y = k ( x ? 2) ,则 x 2 ? k 2 ( x ? 2) 2 = 1 ,所以 x1 + x2 = ?4 k 2 1 + 4k 2 5 ,x1 x2 = ? = ?1 + ( x1 + x2 ) , ① 2 2 1? k 1? k 4

y1 y ( x + 1) = y = 2 ( x ? 1) , x1 + 1 x2 ? 1

所以
y2 y x2 ? 2 + 1 + x2 ? 1 x1 + 1 x2 ? 1 x= = y2 y x2 ? 2 ? 1 ? x2 ? 1 x1 + 1 x2 ? 1 x1 ? 2 x1 + 1 2 x1 x2 ? 3 x1 ? x2 = 。 x1 ? 2 3 x2 ? x1 ? 4 x1 + 1

把①代入上式,得 x =

1 . 2

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