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高中数学专题训练(教师版)—几何概型


高中数学专题训练—几何概型
一、选择题 1.

如图为一半径为 2 的扇形(其中扇形中心角为 90° ),在其内部随机地撒一粒 黄豆,则它落在阴影部分的概率为( ) 2 1 1 2 A.π B.π C.2 D.1-π x y 2.在集合{(x,y)|0≤x≤5,0≤y≤4}内任取一个元素,能使不等式5+2-1≤0 成 立的概率为( ) 1 3 1 2

A.4 B.4 C.3 D.3 3.

(2011· 青岛)如右图,在一个长为 π,宽为 2 的矩形 OABC 内,曲线 y= sinx(0≤x≤π)与 x 轴围成的如图所示的阴影部分, 向矩形 OABC 内随机投一点(该 点落在矩形 OABC 内任何一点是等可能 ),则所投的点落在阴影部分的概率是 ( ) 1 2 3 π A.π B.π C.π D.4 4.已知函数 f(x)=x2 +bx+c,其中 0≤b≤4,0≤c≤4,记函数 f(x)满足条件 {f?2?≤12?f?-2?≤4 为事件 A,则事件 A 发生的概率为( ) 1 5 1 3 A.4 B.8 C.2 D.8

5.已知实数 a 满足-3<a<4,函数 f(x)=lg(x2+ax+1)的值域为 R 的概率为 P1, 定义域为 R 的概率为 P2,则( ) A.P1>P2 B.P1=P2 C.P1<P2 D.P1 与 P2 的大小不确定

二、填空题 6. 函数 f(x)=x2-x-2, x∈[-5,5], 那么任取一点 x0 使 f(x0)≤0 的概率为________. x2 y2 3 7.在区间(0,2)内任取两数 m,n(m≠n),则椭圆m2+n2=1 的离心率大于 2 的概 率为________. 8.已知菱形 ABCD 的边长为 2,∠A=30° ,则该菱形内的点到菱形的顶点 A,B 的距离均不小于 1 的概率是________. 9.在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 内任取一点 P,则点 P 到点 A 的距离 小于等于 a 的概率为________. 10.(2011· 深圳)利用计算机在区间(0,1)上产生两个随机数 a 和 b,则方程 x=- ab 2a- x 有实根的概率为________. 11.周长为定值的扇形 OAB,当其面积最大时,向其内任意掷一点,则点落在 △OAB 内的概率是__________.

三、解答题 12.甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头,它们在一昼夜 内任何时刻到达是等可能的. (1)如果甲船和乙船的停泊的时间都是 4 小时 ,求它们中的任何一条船不需 要等待码头空出的概率; (2)如果甲船的停泊时间为 4 小时,乙船的停泊时间为 2 小时,求它们中的 任何一条船不需要等待码头空出的概率.

13.(2011· 广东深圳)已知复数 z=x+yi(x,y∈R)在复平面上对应的点为 M. (1)设集合 P={-4,-3,-2,0},Q={0,1,2},从集合 P 中随机抽取一个数 作为 x,从集合 Q 中随机抽取一个数作为 y,求复数 z 为纯虚数的概率; (2)设 x∈[0,3],y∈[0,4],求点 M 落在不等式组:

?x+2y-3≤0, ?x≥0, ?y≥0

所表示的平面区域内的概率.

14.(2011· 衡水调研)已知关于 x 的一元二次函数 f(x)=ax2-4bx+1. (1)设集合 P={1,2,3}和 Q={-1,1,2,3,4},分别从集合 P 和 Q 中随机取一个 数作为 a 和 b,求函数 y=f(x)在区间[1,+∞)上是增函数的概率; x>0,? y>0 内随机点,求函数 y=f(x) (2)设点(a,b)是区域{x+y-8≤0,? 在区间[1,+∞)上是增函数的概率

1.平面上有一组平行线,且相邻平行线间的距离为 3 cm,把一枚半径为 1 cm 的硬币任意平掷在这个平面上,则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是( ) 1 1 1 2 A.4 B.3 C.2 D.3 2.将长为 l 的棒随机折成 3 段,求 3 段构成的三角形的概率. 3.在区间[0,2]内任取两个数 a,b,那么函数 f(x)=x2+ax+b2 无零点的概率为 ________.

高中数学专题训练—几何概型
一、选择题 1.DAACC 1. D 1 1 S 扇形=4πR2=π,S△=2×2×2=2,S 阴影=S 扇形-S△=π-2.由几何概型 6. 0.3 7. 1 2

解析

π-2 2 概率公式得黄豆落在阴影部分的概率 P= π =1-π. 2. A 解析 集合{(x, y)|0≤x≤5,0≤y≤4}在直角坐标系中表示的区域是一个由直 x y 线 x=0, x=5, y=0, y=4 所围成的长为 5、 宽为 4 的矩形, 而不等式5+2-1≤0 和集合{(x,y)|0≤x≤5,0≤y≤4}表示区域的公共部分是以 5 为底、2 为高的一个 1 2×5×2 1 直角三角形,由几何概型公式可以求得概率为 =4. 5×4 3. A

S 矩形 OABC=2π,S 阴影=?πsinxdx=2, ?0 2 1 由几何概型概率公式得 P=2π=π. 4. C 解析

解析

?0≤c≤4 由题意知,事件 A 所对应的线性约束条件为? 4+2b+c≤12 ?4-2b+c≤14
0≤b≤4 S△OAD S正方形OABC

,其

对应的可行域如图中阴影部分所示,所以事件 A 的概率 P(A)= C.

1 =2,选

5. C 解析 若 f(x)的值域为 R,则 Δ1=a2-4≥0,得 a≤-2 或 a≥2. -2-?-3? 4-2 3 故 P1= + =7. 4-?-3? 4-?-3? 若 f(x)的定义域为 R,则 Δ2=a2-4<0,得-2<a<2 4 故 P2= .∴P1<P2. 7 二、填空题 6. 0.3 解析 如图,在[-5,5]上函数的图象与 x 轴交于两点(-1,0),(2,0),而 x0∈ [-1,2],那么 f(x0)≤0.

所以 P= 7. 解析 1 2

区间[-1,2]的长度 3 = =0.3. 区间[-5,5]的长度 10

如图,m,n 的取值在边长为 2 的正方形中.

当 m>n 时,椭圆离心率 e= 3 由 e> 2 ,得 m>2n. 同理,当 m<n 时,n>2m.

m2-n2 m =

n 1-?m?2,

故满足条件的 m,n 为图中阴影部分.所求概率 P= 8.解析

1 2×2×2×1 22

1 =2.

如图所示,只有当点位于图中的空白区域时,其到 A,B 的距离才均不小于 1,菱形的面积为 2×2×sin30° =2,两个阴影部分的扇形面积之和恰好是一个半 π 2-2 4-π π π 径为 1 的半圆, 其面积为2, 故空白区域的面积为 2-2, 所求的概率是 2 = 4 π =1-4. 1 4 3 8×3πa 1 9. 解析 满足条件的点在半径为 a 的8球内, 所以所求概率为 p= a3 = π 6. 1 10. 4

ab 方程 x=-2a- x 即 x2+2ax+ab=0 若方程有实根,则有 Δ=4a2- 4ab≥0,即 b≤a,其所求概率可转化为几何概率,如图,其概率等于阴影面积 1 与正方形面积之比.∴P=2. 1 11. 2sin2 1 1 解析 设扇形周长为 m, 半径为 r, 则弧长 l=m-2r, 扇形的面积是2rl=2r(m 1 2r+m-2r 2 m2 m m -2r)≤4· ( ) =16,当且仅当 r= 4 时等号成立,此时扇形的弧长为 2 , 2 12 2r sin2 1 l 故此时扇形的圆心角为r=2 弧度,点落在△OAB 内的概率是1 =2sin2. ×2×r2 2 三、解答题 12.解析 解析

(1)设甲、乙两船到达时间分别为 x、y,则 0≤x<24,0≤y<24 且 y-x>4 或 y -x<-4. 作出区域

?0≤x<24, ?0≤y<24, ?y-x<4或y-x<-4
设“两船无需等待码头空出”为事件 A, 1 2×2×20×20 25 则 P(A)= =36. 24×24 (2)当甲船的停泊时间为 4 小时,两船不需等待码头空出,则满足 x-y>2 或 y-x>4,

设在上述条件时“两船不需等待码头空出”为事件 B,画出区域

?0≤x<24, ?0≤y<24, ?y-x>4或x-y>2

.

1 1 2×20×20+2×22×22 P(B)= 24×24 442 221 =576=288. 13.解析 (1)记“复数 z 为纯虚数”为事件 A. ∵组成复数 z 的所有情况共有 12 个:-4,-4+i,-4+2i,-3,-3+i, -3+2i,-2,-2+i,.-2+2i,0,i,2i, 且每种情况出现的可能性相等,属于古典概型, 其中事件 A 包含的基本事件共 2 个:i,2i, 2 1 ∴所求事件的概率为 P(A)=12=6. ≤y≤4 }内, (2)依条件可知, M 均匀地分布在平面区域{(x, {0≤x≤3?0 点 y)| 属于几何概型.该平面区域的图形为右图中矩形 OABC 围成的区域,面积为 S =3×4=12.

而所求事件构成的平面区域为

?x+2y-3≤0, {(x,y)|?x≥0, ?y≥0

},其图形如图中的三角形 OAD(阴影部分).

3 又直线 x+2y-3=0 与 x 轴、y 轴的交点分别为 A(3,0)、D(0, ), 2 1 3 9 ∴三角形 OAD 的面积为 S1=2×3×2=4. 9 S1 4 3 ∴所求事件的概率为 P= S =12=16. 2b 14.解析 (1)∵函数 f(x)=ax2-4bx+1 的图象的对称轴为 x= a 要使 f(x)=ax2-4bx+1 在区间[1,+∞)上为增函数, 2b 当且仅当 a>0 且 a ≤1,即 2b≤a. 若 a=1,则 b=-1, 若 a=2,则 b=-1,1, 若 a=3,则 b=-1,1 ∴事件包含基本事件的个数是 1+2+2=5. 5 1 ∴所求事件的概率为15=3. (2)由(1)知当且仅当 2b≤a 且 a>0 时,函数 f(x)=ax2-4bx+1 在区间[1,+ ∞)上为增函数, 依条件事知试验的全部结果所构成的区域为 ?a+b-8≤0 {(a,b)|? } b>0 ?a>0? 构成所求事件的区域为三角形部分. ?a+b-8=0, ? 16 8 由? a 得交点坐标为( 3 ,3). ?b=2, ? 1 8 ×8×3 2 1 ∴所求事件的概率为 P=1 =3. 2×8×8

1.

B

解析

如图所示,这是长度型几何概型问题,当硬币中心落在阴影区域时,硬币不 1 与任何一条平行线相碰,故所求概率为 P=3. 2.解析 设 A=“3 段构成三角形”x,y 分别表示其中两段的长度,则第 3 段的长度为 l-x-y. 则试验的全部结果可构成集合 Ω={(x,y)|0<x<l,0<y<l,0<x+y<l}, 要使 3 段构成三角形,当且仅当任意两段之和大于第 3 段,

l 即 x+y>l-x-y?x+y>2, l x+l-x-y>y?y<2, l y+l-x-y>x?x<2. 故所求结果构成的集合 l l l A={(x,y)|x+y>2,y<2,x<2}. 由图可知,所求概率为 1 l 2 ·? ? A的面积 2 2 1 P(A)= = l2 =4. Ω的面积 2 3 3. 4 解析 依题意,方程 x2+ax+b2=0 无零点,则有 Δ=a2-4b2<0,即(a+2b)(a- ?0≤a≤2 2b)<0. 在 平 面 直 角 坐 标 系 aOb 内 画 出 不 等 式 组 ? ?0≤b≤2 ①与

?0≤a≤2 ?0≤b≤2 ??a+2b??a-2b?<0
3 概率为4.

②表示的平面区域,注意到不等式组①表示的平面区域

1 的面积是 4,不等式组②表示的平面区域的面积是 22-2×2×1=3,因此所求的

3 4.


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