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2015浙大夏令营原子物理


2015 浙大暑期夏令营讲义 原子物理
厉守清
一、原子结构 1、汤姆逊的枣糕模型 1897 年物理学家汤姆生(J.J. Thomson,1856-1940) 汤姆生通过对阴极射线的分析研究发现了 电子,由此认识到原子也应该具有内部结构,而不是不可分的。提出了一个原子结构模型,人们把 它叫做"枣糕"模型。 正电荷均匀分布在整个原子球体中(球

直径的数量级是 10 这些电子分布在对称的位置上。 2、卢瑟福的核式结构模型模型 (1) ? 粒子散射实验 1909 年,卢瑟福和他的同事以α粒子轰击重金属箔,即α粒子的散射实验,发现绝大多数α 粒子穿过金箔后仍沿原来的方向前进,但有少数发生偏转,并且有极少数偏转角超过了 90 °,有 的甚至被弹回,偏转几乎达到 180 °。 (2)核式结构模型模型 在原子的中心有一个很小的核,叫原子核,原子的全部正电荷和几乎全部质量都集中在原子 核里,带负电的电子在核外的空间里软核旋转。根据α粒子散射的实验数据可估计出原子核的大小 应在 10
?15 ?10

m ),带负电的电子散布在原子中,

? 10 ?14 m 。

(3) 库仑散射偏转角公式

a ? b ? ctg 2 2
(4)卢瑟福散射公式

z1 z 2e 2 a? 4?? 0 E

若单位时间有 N 0 个粒子垂直入射到薄箔上,这单位时间内在 ? 方向且在 d? 立体角内测得粒子为:

dN ? n

ds 1 2 z z e2 d? N 0ts ? ( ) nN 0t ( 1 2 ) 2 ? s 4?? 0 4E sin 4 2

微分散射截面公式:

d? (? ) dN 1 2 z1 z 2e 2 2 d? ? ?( ) ( ) ? d? nN 0td? 4?? 0 4E sin 4 2
物理意义为:单位面积内垂直入射一个粒子(n=1)时,被这个面积内一个靶原子( N 0 t ? 1 )散射到

? 角附近单位立体角内的概率。
3、波尔模型 (1)核式结构模型和经典电磁理论及实验事实矛盾

①原子的稳定性问题 ②原子光谱的连续性问题 (2)波尔理论 ①定态假设:原子只能处于一条列不连续的能量状态中,在这些状态中原子是稳定的,电子虽做 加速运动,但并不向外辐射能量,这些状态叫定态。 ②频率假设:原子从一种定态(设能量为 E 2 )跃迁到另一种定态(设能量为 E 1 )时,它辐射或 吸收一定频率的光子,光子的能量由这种定态的能量差决定,即 h? =E 2-E 1 ③轨道量子化假设:氢原子中电子轨道量子优化条件:氢原子中,电子运动轨道的圆半径 r 和运 动初速率 v 需满足下述关系:

mvr ? n

h , n=1 、 2 …… 2?

n2h2 , n=1 , 2 …… 4? 2 kme 2 ? 2? 2 mk 2 e 4 对应的量子化能量: En ? , n=1 , 2 …… n2h2 h2 n=1 对应基态,基态轨道半径为 r1 ? ? 0.529 ?10 ?10 m 4? 2 kme 2 ? 2? 2 mk 2 e 4 基态能量为 E1 ? ? ?13.6ev h2 E1 2 对激发态,有: rn ? n r1 , En ? 2 , n=1 , 2 … n
氢原子轨道半径: rn ? ( 3 )局限性 玻尔原子理论很好地解释了氢原子和类氢原子的光谱;从理论上算出了里德伯恒量;但是也 有一些缺陷。对于解释具有两个以上电子的比较复杂的原子光谱时却遇到了困难,理论推导出来的 结论与实验事实出入很大。此外,对谱线的强度、宽度也无能为力;也不能说明原子是如何组成分 子、 构成液体个固体的。 玻尔理论还存在逻辑上的缺点, 他把微观粒子看成是遵守经典力学的质点, 同时,又给予它们量子化的观念,失败之处在于偶保留了过多的经典物理理论。到本世纪 20 年代, 薛定谔等物理学家在量子观念的基础上建立了量子力学。彻底摒弃了轨道概念,而代之以几率和电 子云概念 4 、氢原子光谱 1896 年,瑞典的里德伯把氢原子光谱的所有谱线的波长用一个普遍的经验公式表示出来,即

1

?

? R(

1 1 ? 2) 2 n1 n2

n1 ? 1.2.3..... n2 ? n1 ? 1, n1 ? 2, n1 ? 3,......

上式称为里德伯公式。对每一个 n1 ,上是可构成一个谱线系:

n1 ? 1 , n2 ? 2 , 3 , 4 … n1 ? 2 , n 2 ? 3 , 4 , 5 … n 1 ? 3 , n2 ? 4 , 5 , 6 … n1 ? 4 , n 2 ? 5 , 6 , 7 … n1 ? 5 , n2 ? 6 , 7 , 8 …

莱曼系(紫外区) 巴耳末系(可见光区) 帕邢系(红外区) 布拉开系(远红外区)

普丰德系(远红外区) 以上是氢原子光谱的规律,通过进一步的研究,里德伯等人又证明在其他元素的原子光谱中,

光谱线也具有如氢原子光谱相类似的规律性。这种规律性为原子结构理论的建立提供了条件。 二、原子核物理 1、 天然放射现象与半衰期 (1) 天然放射现象:第一次发现原子核具有复杂的结构 天然放射性元素的原子核, 能自发地放出射线的现象, 叫天然放射现象。 天然放射现象中有三种射线, 它们是:α射线(氦原子核) ;β射线(高速电子流) ;γ射线(高能电磁波)

m
α衰变: z (2)半衰期

X ?

m?4

4 Y ? He z?2 2

m
β衰变: z

X ?

0 Y? e z ?1 ?1

m

衰变后剩余原子核数目随时间变化的关系为: N ? N 0 ( ) T 2、人工转变 1919 年,卢瑟福用α粒子轰击氮原子核而发现了质子:

1 2

t

14

4 17 1 N ? He ? O ? H 7 2 8 1

1932 年,查德威克用α粒子轰击铍原子核而发现了中子:

9

4 12 1 Be ? He ? C ? n 4 2 6 0

通过以上实验事实,从而确定了原子核是由质子和中子组成的,质子和中子统称为核子。某种 元素一个原子的原子核中质子与中子的数量关系为: 质子数=核电荷数=原子序数 中子数=核质量数-质子数 3、核能 (1)核力:使核子结合成原子核的力叫核力,核力是短程力,属于强相互作用 (2)结合能:使原子核分裂成核子,所需要的最小能量。 (3)平均结合能:使原子核分裂成核子,时平均每个核子所需要的能量,平均结合能越高,标明 原子核越稳定。 (4)平均核子质量:平均每个核子的质量。实际上,结合成原子核后的核子平均质量,比核子单 独存在时质量小。说明核子结合成原子核时有质量亏损。平均核子质量越小,原子核越稳定。 4、质能方程 爱因斯坦从相对论得出物体的能量跟它的质量存在正比关系,即

E ? mc 2 ?E ? ?m ? c 2
5、常见核反应 (1)弹性散射:这种过程,出射粒子就是入射粒子,同时在碰撞过程中动能保持不变,例如将中 子与许多原子核碰撞会发生弹性散射。 (2)非弹性散射:这种过程中出射粒子也是原来的入射粒子,但在碰撞过程中粒子动能有了变化, 即粒子和靶原子核发生能量转移现象。例如能量较高的中子轰击原子核使核激发的过程。 (3)产生新粒子:这时碰撞的结果不仅能量有变化,而且出射粒子与入射粒子不相同,对能量较 大的入射粒子,核反应后可能出现两个以上的出射粒子,如合成 101 号新元素的过程。

253

4 256 1 Es ? He ? Md ? n 99 2 101 0

(4)裂变和聚变:在碰撞过程中,使原子核分裂成两个以上的元素原子核,称为裂变,如铀核裂



253

1 139 95 1 U ? n? Xe ? S ? 2 n 92 0 54 88 r 0

裂变过程中,质量亏损 0.2u,产生巨大能量,这就是原子弹中的核反应。 引起原子核聚合的反应称为聚变反应,如

1 3 95 H ? H ? He ? S ? ? 1 1 2 88 r
氢弹就是利用氘、氘化锂等物质产生聚变后释放出巨大能量发生爆炸的。 核反应中电荷守恒, 即反应生成物电荷的代数和等于反应物电荷的代数和。 核反应中质量守恒, 即反应生成物总质量等于反应物总质量。这里的质量指相对论质量,相对论质量 m 与相对论能量 E 之间的关系是

2

E ? mc 2
因 此 质 量 守 恒 也 意 味 着 能 量 守 恒 。 核 反 应 中 质 量 常 采 用 原 子 质 量 单 位 , 记 为 u.lu 相 当 于 931.5MeV。 核反应中相对论质量守恒,但静质量可以不守恒。一般来说,反应生成物总的静质量少于反应 物总的静质量,或者说反应物总的静质量有亏损。亏损的静质量记为△m,反应后它将以能量形式 释放出来,称之为反应能,记为△E,有

?E ? ?mc 2
需要注意的是反应物若有动能,其相对论质量可大于静质量,但在算反应能时只计静质量。反 应能可以以光子形式向外辐射,也可以部分转化为生成物的动能,但生成物的动能中还可以包含反 应物原有的动能。

【经典示例】
【例 1】卢瑟福 ? 粒子的动能为 7.68 ? 10 eV ,金箔的原子系数 Z 等于 79,求散射角等于 150 时所对应 的瞄准距离为多少。
6 0

【例 2】? 粒子的速度为 1.579 ? 10 m/s, 正面垂直射入厚度为 10 m 的密度为 1.932 ?10 4 kg / m3 的金箔。 求散射角在 ? ? 90 的 ? 粒子占全部入射粒子的百分比。
0

7

?7

【例 3】考虑一个原子系数为 Z 的经典原子模型,忽略电子间的相互作用。设原子中某一个电子 e1 在离核

r0 处做平面匀速圆周运动。突然由于某个过程,外面的某一个电子被俘获进原子核。假定这一俘获过程进
行得如此之快以至于电子 e1 的速度未收到任何影响,而仍然留在原子系统中,试把描述电子 e1 在这种情况 下运动的量(即能量、轨道参数、周期,用 r0 、电子质量 m 、电子电荷绝对值 e 、原子系数 Z 表达出来) , 并与原来的运动做比较。

【例 4】 假设对氦原子基态采用玻尔模型,认为每个电子都在以氦核为中心的圆周上运动,半径相同,角 动量为 ? , ? ?

h ,其中 h 是普朗克常数。 2?

(1).如果忽略电子间的相互作用, 氦原子的一级电离能是多少 eV ? 一级电离能是指把把其中的一个电子 移到无限远所需要的能量。 (2)实验测得的氦原子的一级电离能是 24.4eV,若在上述玻尔模型的基础上来考虑电子之间的相互作用, 进一步假设:两个电子总通过氦核的一条直径的两端。试用此模型和假设,求出电子运动轨道的半径 r0 , 基态能量 E0 以及一级电离能 E ? 。并与实验测得的氦原子的一级电离能相比较。 已知电子质量 m ? 0.511MeV

c2

,c 是光速,组合常数 ?c ? 197.3MeVfm ? 197.3MeVnm ,

ke 2 ? 1.44 MeVfm ? 1.44 MeVnm ,k 是静电力常量,e 是基本电荷。

【例 5】原子核基态静止质量 m,激发态的能量比基态高 E。
(1)一个静止的激发态原子核发射一个光子跃迁回基态,求发光的波长 (2)由于热运动,原子核一般不处于静止状态,仅考虑相对观察点沿连线方向运动的原子核,其速率 最大为 v,求发光的最大波长与最小波长之差。 真空光速记为 c,普朗克常数 h

【例 6】已知钠原子从激发态(记作 P3/2)跃迁到基态(记作 S1/2),发出的光谱线的波长 λ0=588.9965nm。 现有一团钠原子气,其中的钠原子作无规则的热运动(钠原子的运动不必考虑相对论效应) ,被一束沿 z 轴负方向传播的波长为 588.0080nm 的激光照射。以 θ 表示钠原子的运动方向与 z 轴正向之间的夹角(如 图所示) 。 问在 30o<θ<45o 的角度区间内的钠原子中速率 u 在什么范围内能产生共振吸收, 从 S(1/2)态激发 到 P(3/2)?并求共振吸收前后钠原子速度(矢量)变化的大小。 (已知钠原子质量为 M=3.79×10-26kg,普朗 克常量 h=6.626069×10-34J·s,真空中的光速 c=2.997925×108m·s-1)

【例 7】朱棣文等三位科学家因成功实现中性原子的磁光俘获而获得了 1997 年诺贝尔物理学奖。对以下问 题的研究有助于理解磁光俘获的机理(注意:本问题所涉及的原子的物理特性参数,实际上都是在对大量 原子或同一原子的多次同类过程进行平均的意义上加以理解的) 。 (1)已知处于基态的某静止原子对频率为 ν0 的光子发生共振吸收,并跃迁到它的第一激发态,如图 28 决—8(a)所示。然而,由于热运动,原子都处于运动中。假设某原子一速度 v0 运动,现用一束激光迎 头射向该原子,问恰能使该原子发生共振吸收的激光频率 ν 为多少?经过共振吸收,该原子的速率改变了 多少?(hν0<<mc2,m 是原子质量,h=6.63×10-34J?s) (2)原子的共振吸收是瞬时的,但跃迁到激发态的原子一般不会立即回到基态,而会在激发态滞留一段 时间,这段时间称为该能级的平均寿命。已知所考察原子的第一激发态的平均寿命为 τ.若该原子能对迎头 射来的激光接连发生共振吸收,且原子一旦回到基态,便立即发生共振吸收,如此不断重复,试求该原子 在接连两次刚要发生共振吸收时刻之间的平均加速度。注意:原子从激发态回到基态向各个方向发射光子 的机会均等,由于碰撞频率极高,因而由此而引起原子动量改变的平均效果为零。 (3)设所考察的原子以初速度 v0 沿 z 轴正向运动,一激光束沿 z 轴负向迎头射向该原子,使它发生共振 吸收。在激光频率保持不变的条件下,为了使该原子能通过一次接着一次的共振吸收而减速至零,为此可 让该原子通过一非均匀磁场 B(z),实现原子的磁光俘获,如图 28 决—8(c)所示。由于处于磁场中的原 子与该磁场会发生相互作用,从而改变原子的激发态能量,如图 28 决—8(b)所示。当磁感应强度为 B 时,原来能量为 E 的能级将变为 E+ΔE,其中 ΔE=μB,μ 是已知常量。试求磁感应强度 B 随 z 变化的关系 式。 (4) 设质量为 m=1.0×10-26kg 的锂原子初速度 v0=1.2×103m?s-1, 静止时的共振吸收频率为 ν0=4.5×1014Hz, 第一激发态的平均寿命 τ=5.3×10-8s.为使所考察的原子按(3)中所描述的过程减速为零,原子通过的磁场 区域应有多长?
第一激发态

线圈 ΔE h v0 激光

ν0

ν0+

基态

B=0 (a)

B≠0 (b) 图 28 决—8

L (c)

z

【例 8】1951 年,物理学家发现了“电子偶数”,所谓“电子偶数”就是由一个负电子和一个正电子绕它们的
质量中心旋转形成的相对稳定的系统.已知正、负电子的质量均为 me,普朗克常数为 h,静电力常量为 k, 假设“电子偶数”中正、负电子绕它们质量中心做匀速圆周运动的轨道半径 r、运动速度 v 及电子的质量满 足量子化理论: 2mevnrn=nh/2π, n=1,2……, “电子偶数”的能量为正负电子运动的动能和系统的电势能之和, 已知两正负电子相距为 L 时的电势能为 Ep=-k

e2 ,试求 n=1 时“电子偶数”的能量. L

【例 9】1995 年,美国费米国家实验室 CDF 实验组和 DO 实验组在质子反质子对撞机 TEVATRON 的实验 中,观察到了顶夸克,测得它的静止质量 m ? = 1.75× 1011 eV/ c 2 = 3.1× 10 ?25 kg,寿命τ= 0.4× 10 ?24 s,这是 近十几年来粒子物理研究最重要的实验进展之一。 1、正反顶夸克之间的强相互作用势能可写为 V(r)= - K
4a s ,式中 r 是正反顶夸克之间的距离, a s = 3r

0.12 是强相互作用耦合常数,K 是与单位制有关的常数,在国际单位制中 K = 0.319× 10 ?25 J·m。为估算 正反顶夸克能否构成一个处在束缚状态的系统,可把束缚状态设想为正反顶夸克在彼此间的吸引力作用于 下绕它们连线的中点做匀速圆周运动。如能构成束缚态,试用玻尔理论确定系统处于基态中正反顶夸克之 间的距离 r0 。已知处于束缚状态的正反夸克粒子满足量子化条件 2mv ? 0 ? = n , n = 1, 2, 3, … 2 2?
? ? ?r ?
h

式中 mv ? 0 ? 为一个粒子的动量 mv 与其轨道半径 ? 0 ? 的乘积,n 为量子数。h = 6.63× 10 ?34 J·s 为普朗克 2 2
? ? ? ?

?r ?

?r ?

常量。 2、试求正反顶夸克在上述设想的基态中作匀速圆周运动的周期 T。你认为正反顶夸克的这种束缚态能存在 吗?

【例 10】为了估算水库中水的体积,可取一瓶无毒的放射性同位素的水溶液,测得瓶内溶液每分钟衰变
6×10 次,已知这种同位素的半衰期为 2 天。现将这瓶溶液倒入水库,8 天后可以认为溶液已均匀分布在 3 水库中,这时取 1.0m 水库中的水样,测得水样每分钟衰变 20 次。由此可知水库中水的体积约为 3 ________________m 。
7

【例 11】?子在相对自身静止的惯性参考系中的平均寿命 ? 0 ? 2.0 ? 10 ?6 s .宇宙射线与大气在高空某处发 生核反应产生一批?子,以 v = 0.99c 的速度(c 为真空中的光速)向下运动并衰变.根据放射性衰变定律, 相对给定惯性参考系,若 t = 0 时刻的粒子数为 N(0), t 时刻剩余的粒子数为 N(t),则有 N ?t ? ? N ?0 ?e ?t ? , 式中?为相对该惯性系粒子的平均寿命. 若能到达地面的?子数为原来的 5%, 试估算?子产生处相对于地面 的高度 h.不考虑重力和地磁场对?子运动的影响.

【例 12】当质量为 m,速度为 v0 的微粒与静止的氢核碰撞,被氢核捕获(完全非弹性碰撞)后,速 度变为 vH ;当这个质量为 m,速度为 v0 的微粒与静止的碳核做对心完全弹性碰撞时,碰撞后碳核 速度为 vc ,今测出

v0 4 m ? ,已知, c ? 12 ,求此微粒质量 m 与氢核质量 mH 之比为多少? vH 13 mH

【例 13】已知基态 He+的电离能为 E=54.4eV。 (1)为使处于基态的 He+进入激发态,入射光子所需的最小能量应为多少? (2) He+从上述最低激发态跃迁返回基态时,如考虑到该离子的反冲,则与不考虑反冲相比,它所发射的光 子波长的百分变化有多大?(离子 He+的能级 En 与 n 的关系和氢原子能级公式类似。 电子电荷取 1.60×10-19C, -27 质子和中子质量均取 1.67×10 kg。在计算中,可采用合理的近似。)

【例 14】(1)试证明当质子和静止的中子发生弹性碰撞时,碰后质子和中子的运动方向之间的夹角为 900; (2)初动能为 EK=7MeV 的快中子在氢中减速,设碰撞是弹性的。平均和碰撞前的方向偏转 ? =450,试求中 子的能量减少到 T=300K 相应的平均热能的碰撞次数。

【例 15】在高能物理中,实验证明,在实验室参考系中,一个运动的质子与一个静止的质子相碰时,碰后 可能在产生一个质子和一个反质子,即总共存在三个质子和一个反质子。试求发生这一情况时,碰前那个 运动的质子的能量(相对于实验室参考系)的最小值(即阀值)是多少。已知质子和反质子的静止质量都 是 m0 ? 1.67 ? 10
?27

kg 。不考虑粒子间的静电作用。

【例 16】已知太阳每秒辐射出 3.8×1026J 的能量,问: (1)太阳每秒钟损失多少吨质量? (2)假设太阳放射出的能量是由于“燃烧氢”的核反应, 4 1 H ? 2 He ? 2e ? 2? 提供,这一核反应放出 28MeV 的能量。 式中 e 为电子,? 为中微子, 中微子是一种质量远小于电子质量、 穿透力极强的中性粒子。 试计算地球上与太阳光垂直的每平方米面积上每秒钟有多少中微子( ? )到达。 (3)假设原始的太阳全部由 1 H 和电子组成,且仅有 10%的 1 H 可供“燃烧” ,试估算太阳的寿命。 已知: 太阳质量为 M 日=2.0×1030kg, 日地距离 R=1.5×1011m, 电子电量 e=1.6×10-19C, 质子质量 mp=1.7 -27 ×10 kg。
1 1
1 4

【例 17】在一定的条件下,光子可以衰变为电子+正电子对: ? ? e? ? e? 。 (1)证明这个过程不能在真空中发生,也就是说,不和其它的粒子或场作用就不能产生这个过程; (2)假定上述过程发生在无限重的粒子附近,试求出光子的最低频率,光子频率再低时就根本不能产生 电子+正电子对。

2 【例 18】为确定爱因斯坦质能联系方程 ?E ? ?mc 的正确性,设计了如下实验:用动能为 E 1 ? 0.6 MeV 的

质子去轰击静止的锂核 3 Li ,生成两个 α 粒子,测得这两个 α 粒子的动能之和为 E=19.9MeV。 (1)写出该核反应方程; (2)计算核反应过程中释放出的能量△E; (3)通过计算说明 ?E ? ?mc 的正确性。 (计算中质子、α 粒子和锂核 3 Li 的质量分别取:
7
2

7

m p ? 1.0073u,m a ? 4.0015u,m Li ? 7.0160u



【例 19】质子数与中子数互换的核互为镜像核,例如 He 是 3 H 的镜像核,同样 3 H 是 He 的镜像核。已 知 3 H 和 He 原 子 的 质 量 分 别 是 m3H ? 3.016050u 和 m3He ? 3.016029u , 中 子 和 质 子 质 量 分 别 是
3

3

3

1u ? mn ? 1.008665u 和 m p ? 1.007825u ,
式中 e 为电子的电荷量。
3

931.5 1.44 MeV , 式中 c 为光速, 静电力常量 k ? 2 MeV ? fm , 2 c e

1、试计算 3 H 和 He 的结合能之差为多少 MeV。 2、已知核子间相互作用的“核力”与电荷几乎没有关系,又知质子和中子的半径近似相等,试说明上面所求 的结合能差主要是由什么原因造成的。并由此结合能之差来估计核子半径 rN。 3、实验表明,核子可以被近似地看成是半径 rN 恒定的球体;核子数 A 较大的原子核可以近似地被看成是 半径为 R 的球体。根据这两点,试用一个简单模型找出 R 与 A 的关系式;利用本题第 2 问所求得的 rN 的 估计值求出此关系式中的系数;用所求得的关系式计算
208

Pb 核的半径 R pb 。

【例 20】今年是我国著名物理学家、曾任浙江大学物理系主任的王淦昌先生诞生一百周年。王先生早在 1941 年就发表论文,提出了一种探测中微子的方案: Be 原子核可以俘获原子的 K 层电子而成为 Li 的激 发态 ( 7 Li ) * ,并放出中微子(当时写作η)
7 7

Be ? e ?( 7 Li ) * ? ? 7 而 ( 7 Li ) * 又可以放出光子 ? 而回到基态 Li ( 7 Li ) * ? 7 Li ? ?
由于中微子本身很难直接观测,能过对上述过程相关物理量的测量,就可以确定中微子的存在,1942 年起,美国物理学家艾伦(R.Davis)等人根据王淦昌方案先后进行了实验,初步证实了中微子的存在。 1953 年美国人莱因斯(F.Reines)在实验中首次发现了中微子,莱因斯与发现轻子的美国物理学家佩尔 (M.L.Perl)分享了 1995 年诺贝尔物理学奖。 现用王淦昌的方案来估算中微子的质量和动量。若实验中测得锂核( Li )反冲能量(即 Li 的动能) 的 最大 值 E R ? 56.6ev , ? 光 子 的能 量 h? ? 0.48Mev 。 已知 有关 原子 核和 电子 静止 能量 的数 据为
7 7

7

m Li c 2 ? 6533.84 Mev ; m Be c 2 ? 6534.19 Mev ; me c 2 ? 0.51Mev 。设在第一个过程中, 7 Be 核是静止

的,K 层电子的动能也可忽略不计。试由以上数据,算出的中微子的动能 P ? 和静止质量 m? 各为多少?

【例 21】惰性气体分子为单原子分子,在自由原子情形下,其电子电荷分布是球对称的。负电荷中心与原 子核重合。但如两个原子接近,则彼此能因静电作用产生极化(正负电荷中心不重合) ,从而导致有相互 作用力,这称为范德瓦尔斯相互作用。下面我们采用一种简化模型来研究此问题。 当负电中心与原子核不重合时,若以 x 表示负电中心相对正电荷(原子核)的位移,当 x 为正时,负 电中心在正电荷的右侧,当 x 为负时,负电中心在正电荷的左侧,如图 1 所示。这时,原子核的正电荷对 荷外负电荷的作用力 f 相当于一个劲度系数为 k 的弹簧的弹性力,即 f=-kx,力的方向指向原子核,核外 负电荷的质量全部集中在负电中心,此原子可用一弹簧振子来模拟。 今有两个相同的惰性气体原子,它们的原子核固定,相距为 R,原子核正电荷的电荷量为 q,核外负 电荷的质量为 m。因原子间的静电相互作用,负电中心相对各自原子核的位移分别为 x1 和 x2,且|x1|和|x2| 都远小于 R,如图 2 所示。此时每个原子的负电荷除受到自己核的正电荷作用外,还受到另一原子的正、 负电荷的作用。 众所周知,孤立谐振子的能量 E=mv2/2+kx2/2 是守恒的,式中 v 为质量 m 的振子运动的速度,x 为振子相对 平衡位置的位移。量子力学证明,在绝对零度时,谐振子的能量为 hω/2,称为零点振动能, ? ? h / 2? , h 为普朗克常量,? ?

k / m 为振子的固有角频率。试计算在绝对零度时上述两个有范德瓦尔斯相互作用

的惰性气体原子构成的体系的能量,与两个相距足够远的(可视为孤立的、没有范德瓦尔斯相互作用的) 惰性气体原子的能量差,并从结果判定范德瓦尔斯相互作用是吸引还是排斥。可利用当|x|<<1 时的近似式 (1+x)1/2≈1+x/2-x2/8,(1+x)-1≈1-x+x2。http://hfwq

【例 22】1.在经典的氢原子模型中,电子围绕原子核做圆周运动,电子的向心力来自于核电场的作用。可 是, 经典的电磁理论表明电子做加速运动会发射电磁波, 其发射功率可表示为 (拉莫尔公式) : P?

e2 a 2 , 6? c 3? 0

其中 a 为电子的加速度,c 为真空光速, ? 0 ?

1 4? k

=8.854?10-12 F?m-1,电子电荷量绝对值 e=1.602?10-19C。

若不考虑相对论效应,试估计在经典模型中氢原子的寿命? 。 (实验测得氢原子的结合能是 EH ? 13.6eV , 电子的静止质量 m0 ? 9.109 ?10
?31

kg )

2.带点粒子加速后发射的电磁波也有重要的应用价值。当代科学研究中应用广泛的同步辐射即是由以接近 光速运动的电子在磁场中作曲线运动改变运动方向时所产生的电磁辐射,电子存储环是同步辐射光源装置 的核心,存储环中的电子束团通过偏转磁铁等装置产生高性能的同步辐射光。上海光源是近年来建成的第 三代同步辐射光源,它的部分工作参数如下:环内电子能量 E ? 3.50GeV ,电子束团流强 I ? 300mA ,周 长 L=432m,单元数(装有偏转磁铁的弯道数量)N =20,偏转磁铁磁场的磁感应强度 B=1.27T。使计算该设 备平均每个光口的辐射总功率 P0 。 (在电子接近光速时,若动量不变,牛顿第二定律仍然成立,但拉莫尔公式不再适用,相应的公式变化为

P?

E e2 a 2 2 ,E 为电子总能量, m0 c 为电子的静止能量。 ) ? ? 4 ,其中 ? ? 2 3 m c 6? c ? 0 0

3.由于存储环内的电子的速度接近光速,所以同步辐射是一个沿电子轨道的切线方向的光锥,光锥的半顶 角为 1

? ,由此可见电子的能量越高,方向性越好。试计算:上述设备在辐射方向上某点接受到的单个

电子产生的辐射持续时间 ?T 。 (本题结果均请以三位有效数字表示。 )


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