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圆锥曲线的综合


圆锥曲线的综合应用

一、圆锥曲线中的最值与范围问题
【例 1】 已知抛物线 C: y =4x, 过点 A(-1,0) → =λAQ →. 的直线交抛物线 C 于 P、Q 两点,设AP (1)若点 P 关于 x 轴的对称点为 M,求证: 直线 MQ 经过抛物线 C 的焦点 F; (2)若
?1 1? ? ? λ∈?3,2?,求|PQ|的最

大值. ? ?
2

解析:(1)证明:设 P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x1,-y1). → → ∵AP=λAQ,∴x1+1=λ(x2+1),y1=λy2,
2 2 2 2 2 ∴y2 1=λ y2,y1=4x1,y2=4x2,x1=λ x2,

∴λ2x2+1=λ(x2+1),λx2(λ-1)=λ-1, 1 ∵λ≠1,∴x2=λ,x1=λ,又 F(1,0),
?1 ? → → ? ? ∴MF=(1-x1,y1)=(1-λ,λy2)=λ?λ -1,y2?=λFQ, ? ?

∴直线 MQ 经过抛物线 C 的焦点 F.

1 2 (2)由(1)知 x2=λ,x1=λ,得 x1x2=1,y2 · y 1 2=16x1x2=16, ∵y1y2>0,∴y1y2=4,则|PQ|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2
? ? 1? 1? ? ?2 ? 2 2 2 2 =x1+x2+y1+y2-2(x1x2+y1y2)=?λ+λ ? +4?λ+λ ? ?-12 ? ? ? ? ? ? ?1 1 1? 10? 1 ? ? ?2 ? ? ?5 =?λ+λ+2? -16,λ∈?3,2?,λ+λ∈?2, 3 ? ?, ? ? ? ? ? ?

1 10 1 112 4 7 2 当 λ+λ= 3 ,即 λ=3时,|PQ| 有最大值 9 ,|PQ|的最大值为 3 .

[2013· 课标全国Ⅱ] x2 y2 平面直角坐标系 xOy 中,过椭圆 M:a2+b2=1(a> b>0)右焦点的直线 x+y- 3=0 交 M 于 A, B 两点, 1 P 为 AB 的中点,且 OP 的斜率为2. (1)求 M 的方程; (2)C,D 为 M 上两点,若四边形 ACBD 的对角 线 CD⊥AB,求四边形 ACBD 面积的最大值.

【通关训练

1】

解析:(1)设 A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),
2 y2-y1 x2 y1 x2 y2 1 2 2 则 2+ 2=1, 2+ 2=1, =-1, a b a b x2-x1

b2?x2+x1? y2-y1 由此可得 2 =- =1. a ?y2+y1? x2-x1 y0 1 因为 x1+x2=2x0,y1+y2=2y0, = ,所以 a2=2b2. x0 2 又由题意知,M 的右焦点为( 3,0),故 a2-b2=3.
2 2 x y 因此 a2=6,b2=3.所以 M 的方程为 + =1. 6 3

?x+y- 3=0, ? (2)由?x2 y2 ? + =1, ?6 3

? 4 3 x = , ? 3 解得? ?y=- 3, 3 ?

? ?x=0, 或? ? ?y= 3.

-2n± 2?9-n2? 于是 x3,4= . 3 因为直线 CD 的斜率为 1,所以|CD|= 2|x4-x3|= 由已知,四边形 ACBD 的面积 1 8 6 8 6 S= |CD|· |AB|= 9-n2.当 n=0 时,S 取得最大值,最大值为 .所以四边形 2 9 3 ACBD 面积的最大值为 8 6 . 3 4 9-n2. 3

二、圆锥曲线中的定点与定值问题
【例 2】 已知椭圆 C 经过点
? 3? ? ? A?1,2?,两个焦 ? ?

点为(-1,0)、(1,0). (1)求椭圆 C 的方程; (2)E、F 是椭圆 C 上的两个动点,如果直 线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数, 证明直 线 EF 的斜率为定值,并求出这个定值.

x2 y2 解析:(1)由题意,c=1,可设椭圆方程为 +b2=1. 2 1+b 1 9 2 因为 A 在椭圆上,所以 + = 1 ,解得 b =3, 2 2 4 b 1+b 2 2 3 x y b2=-4(舍去),所以椭圆方程为 4 + 3 =1. 3 (2)证明:设直线 AE 的方程为 y=k(x-1)+2, x2 y2 代入 4 + 3 =1. ?3 ? ? 2 2 2 得(3+4k )x +4k(3-2k)x+4?2-k? ? -12=0. ? ? 设 E(xE,yE),F(xF,yF). ? 3? ? 因为点 A?1,2? ?在椭圆上, ? ?

所以 xE=

?3 ? 4?2-k?2-12 ? ?

3+4k

2



3 yE=kxE+ -k.又直线 AF 的斜率与 AE 的斜率互为相反 2 数,在上式中以-k 代替 k, ?3 ? 4?2+k?2-12 3 ? ? 可得 xF= , y =- kx + +k, F F 2 2 3+4k 所以直线 EF 的斜率 -k?xE+xF?+2k 1 kEF= = = , 2 xF-xE xF-xE 1 即直线 EF 的斜率为定值,其值为 . 2 yF-yE

【通关训练 2】 [2013· 陕西] 已知动圆过定点 A(4,0),且在 y 轴上截得弦 MN 的长为 8. (1)求动圆圆心的轨迹 C 的方程; (2)已知点 B(-1,0),设不垂直于 x 轴的直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 P,Q,若 x 轴是∠PBQ 的角平分线,证明直线 l 过定点.

解析:(1)如图,设动圆圆心 O1(x,y),由题意,|O1A|=|O1M|, 当 O1 不在 y 轴上时, 过 O1 作 O1H⊥MN 交 MN 于 H, 则 H 是 MN 的中点,∴|O1M|= x2+42, 又∵|O1A|= ?x-4?2+y2, ∴ ?x-4?2+y2= x2+42, (2)证明:设直线 l 的方程为 y=kx+b(k≠0),P(x1,y1),Q(x2,y2), 将 y=kx+b 代入 y2=8x 中,得 k2x2+(2bk-8)x+b2=0, 其中 Δ=-32kb+64>0.化简得 y2=8x(x≠0).

又当 O1 在 y 轴上时,O1 与 O 重合,点 O1 的坐标(0,0)也满足方程 y2=8x, ∴动圆圆心的轨迹 C 的方程为 y2=8x.

8-2bk b2 由求根公式得,x1+x2= k2 ,① x1x2=k2,② 因为 x 轴是∠PBQ 的角平分线, y1 y2 所以 =- ,即 y1(x2+1)+y2(x1+1)=0, x1+1 x2+1 (kx1+b)(x2+1)+(kx2+b)(x1+1)=0, 2kx1x2+(b+k)(x1+x2)+2b=0,③ 把①②代入③得 2kb2+(k+b)(8-2bk)+2k2b=0, ∴k=-b,此时 Δ>0, ∴直线 l 的方程为 y=k(x-1),即直线 l 过定点(1,0).

三、圆锥曲线中的探索性问题
【例 3】 已知中心在坐标原点 O 的椭圆 C 经过点 A(2,3),且点 F(2,0)为其右焦点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)是否存在平行于 OA 的直线 l,使得 直线 l 与椭圆 C 有公共点,且直线 OA 与 l 的距离等于 4?若存在,求出直线 l 的方程; 若不存在,说明理由.


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