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38东北师大附属中学高三第一轮复习导学案--平面的基本性质、空间两条直线教师版


东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 038A

平面的基本性质、空间两条直线(教案)A
一、 知识梳理: (必修 2 教材第 40 页-第 43 页) 1、 平面: (1) 、平面的两个特征: , 。 (2) 、画法:通常用 表示平面。 (3) 、平面的表示方法:用一个小写的希腊字母 等来表示平面,也可以用 平行四边形

的四个顶点的字母或两个相对的顶点的字母表示, 如 , 。 2、平面的基本性质: 公理 1:如果一条直线的 点在一个平面内,那么这条直线上的所有点 在 这个平面内。这时我们就说 或 。 作用: 公理 2:经过 同一直线的三点,有且只有 个平面。 也可以简单地说成: 的三点确定一个平面。 过不共线的三点 A、B、C 的平面,通常记作: 。 作用: 公理 2 推论:

1 0 经过一条直线和直线 2 0 经过两条

的一点,有且只有 个平面。 个平面。

个平面。

直线,有且只有 直线,有且只有

30 经过两条

公理 3:如果不重合的两个平面有 个公共点,那么它们有且只有 条过这个点 的公共直线。 如果两个平面有一条公共直线,则称这两个平面 。这条公共直线叫做着两个平 面的 作用: (1) 画两个相交平面时, 其中一个平面被另一个平面遮住的部分画成 线或 , 。 (2)证明三点共线 (3)证明三线共点 3、两条直线的位置关系 (1)共面与异面直线: 共面直线:空间中的几个点或几条直线,如果都在 ,我们就说它们共面。 共面的两条直线的位置关系有 和 两种。 异面直线: 的直线叫异面直线。 判断两条直线为异面直线的方法:与一平面相交于一点的直线与这个平面内

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的直线是异面直线。 (2)空间两条直线的位置关系分类: 两条异面直线所成的角: 两条异面直线的公垂线: 两条异面直线的距离: (3)公理 4(平行公理) : (4)等角定量: (5)符号语言: 点 A 在平面 ? 内,记作 ;点 A 不在平面 ? 内,记作 直线 l 在平面 ? 内,记作 ;直线 l 不在平面 ? 内,记作 平面 ? 与平面 ? 相交于直线 a , 记作 直线 l 和直线 m 相交于点 A,记作 基本性质 1 可以用集合语言描述为: 如果点 A
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. ,简记作: 点 ?, B 。 那么直线 AB ?,

?。

二、 题型 探究一:平面的基本性质 例 1: (1)一条直线和直线外三个点能确定的平面的个数是 ; (2)已知直线 a,b 是异面直线,在直线 a 上取三点,在直线 b 上取 5 个点能 确定的平面个数是 ;

例 2:在空间四边形 ABCD 的边 AB,BC,CD,DA 上分别取 E,F,G,H 四点,如果直 线 EF 与 GH 相交于 P,由点 P( ) (A)一定在直线 BD 上 (B)一定在直线 AC 上 (C)在直线 AC 或 BD 上 (D)不在直线 AC 上也不在直线 BD 上。 探究二:空间两条直线 例 3:下列命题正确命题的个数是() (1)若两条直线与第三条直线的夹角相等,则这两条直线平行; (2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形; (3)若 a 与 b 异面,b 与 c 异面,则 a 与 c 异面; (4)过平面外一点与平面内一点的直线,和平面内不经过该点的直线是异面直线 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 例 4:在正方体 A1B1C1D1—ABCD 中,若 AB=BC=2,A1A=1 ,求异面直线 B1D 与 BC1 所成角 的余弦值。

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例 5:已知 ABCD 是正四面体,E,F 分别是 AB 与 CD 的中点。求异面直线 EF 与 AD 所 成的角。 三、方法提升 1、空间两条直线的位置关系有:平行、相交 、异面,利用它们去判断命题时要注意 否定一种,另外两种都有成立的可能,如两条直线不相交,则两条直线平行或异面。 2、对于两直线垂直,要注意两直线可以相交垂直或异面垂直。 3、异面直线所成的角是立体几何中一个重要的概念,它的求法体现了立体几何将空 间转化为平面的基本思想,要掌握常用解法。 四、反思感悟

五、课时作业 一、选择题 1. 一条直线与两条平行线中的一条是异面直线,那么它与另一条的位置关系是 ( ) A.相交. B.异面 C.平行. D.相交或异面. 2. a、b 是两条异画直线,c、d 小也是两条异面直线. ,则 a、c 的位置关系是 ( ) A.相交、平行或异面. B.相交或平行. C.异面 D.平行或异面. 3. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,各侧面对角线所在的直线中与 Bl D 成异面直线的条 数是 ( ) A.3. B.4. C.5. D.6. 4. 异面直线 a、b 分别在平面 ? 和 ? 内,若 ? ? ? ? l 则直线 l 必定 ( ) A.分别与 a、b 相交. B.与 a、b 都不相交. C.至多与 a、b 中的一条相交. D.至少与 a、b 中的一条相交. 5. 空间四边形 ABCD 中 AB=CD, AB 与 CD 成 60°角,E,F 分别为 AC,BD 的中点, 且 则 EF 与 AB 所成角的度数为 ( ) A.30° B.45° C.60° D.30° 60° 或 二、填空题 6.在空间中, ①若四点不共面,则这四点中任何三点都不共线. ②若两条直线没有 共点,则这两条直线是异面直线. 以上两个命题中,逆命题为真命题的 是 . (把符合要求的命题序号都填上)

7. 异面直线 a,b 所成角为 80?,过空间一点作与直线 a,b 所成角都为 θ 的直线只可以 作 2 条,则 θ 的取值范围为 .

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8. 如果把两条异面直线看成“一对” ,那么在正方体的十二条棱所在的直线中,共有 * *对异面直线。 9. 正四棱锥 V ? ABCD 的侧棱长与底面边长相等,E 是 VA 中点,O 是底面中心,异 面直线 EO 与 BC 所成的角是 . 10. 已知 a、b 为不垂直的异面直线,α 是一个平面,则 a、b 在α 上的射影有可能是 ①两条平行直线 ②两条互相垂直的直线③同一条直线 外一点在一面结论中,正确结论的编号是 编号) . 三、解答题 11. 已知直线 a 和 b 是异面直线,直线 c∥a,直线 b 与 c 不相交,求证 b 和 c 是异面 直线. ④一条直线及其 (写出所有正确结论的

12. 已知:E、F 、G、H 依次是空间四边形 ABCD 各边的中点. (1)求证四边形 EFGH 是平行西边形; (2)若对角线 BD=2,AC=4 ,求 EG2+HF2.

13. 设 A 是 △BCD 所在平面外的一点,M、N 分别是△ABC 和△ACD 的重心,求 证:MN∥BD.

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14. 如图,A、B、C、D 是异面直线 AB、CD 上的点,线段 AB=CD=4,M 为 AC 的中点, N 为 BD 的中点,MN=3,求异面直线 AB、CO、所成角的余弦值.

15. 如图,在空间四边形 ABCD 中,AB=BC=CD=DA=AC=BD=a,M、N 分别是 BC 和 AD 的中点,求异面直线 AM 和 CN 所成角的余弦值.

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【课时 35 答案】 1.D 2.A 3.D 6. ② 7. 40?<θ<50?

4.D

5.D 8. 24. 9.

10. 对于命题① ,经过两条平行直线分别作两个平面垂直于平面 ? ,则在这两个平面 内可以作出两条不垂直的异面直线.所以①为真. 对于命题② ,过平面 ? 内两条互相垂直的直线分别作两个垂直于平面 ? 的平面, 则在这两个平面内也可以作出两条异面但不垂直的直线,即②亦真. 对于命题③ ,当射影为同一条直线时,两条直线同在过这条直线并与平面口垂直 的平面內,即共面.故③为假. 同样可推知④ 为真. 【标准答案】①②④ 11. 〖证明〗假设 b 和 c 不是异面直线,则 b 和 c 共面,∵直线 b 与 c 不相交,∴b∥c. 又直线 c∥a ∴b∥a.这与已知直线 a 和 b 是异面直线与矛盾.故 b 和 c 是异面直线. 12.〖解〗

π 3

13. 〖证明〗

14. 〖解〗

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15. 〖解〗

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