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江苏省扬州市2015-2016学年高一上学期期末考试数学试题


扬州市 2015—2016 学年度第一学期期末调研测试试题
高 一 数 学
2016.1 (全卷满分 160 分,考试时间 120 分钟) 注意事项: 1. 答卷前,请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方. 2.试题答案均写在答题卷相应位置,答在其它地方无效. 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写

在答题卷相应的位 置上) 1.已知集合 A ? {0,1} , B ? {?1,1} ,则 A ? B ? 2.幂函数 f ( x) 的图象过点 ( 4,2) ,则 f (2) ? 3.函数 f ? x ? ? tan(2 x ? 4.已知扇形的圆心角为 ▲ ▲ ▲ . . .

?
4

) 的最小正周期为

? ,半径为 2 ,则该扇形的面积为_____▲____. 3 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 5.已知点 P 在线段 AB 上,且 | AB |? 4 | AP | ,设 AP ? ? PB ,则实数 ? ?
6.函数 f ( x) ?





x 的定义域为 x ?1
2





7.求值: (lg5) ? lg 2 ? lg50 ?





8.角 ? 的终边经过点 P(?3, y ) ,且 sin ? ?

4 ,则 y ? 5





9.方程

1+ 2x 1 = 的解为 x ? - x 1+ 2 4





10.若 | a |? 1,| b |? 2 ,且 a ? (a ? b ) ,则向量 a 与 b 的夹角为

?

?

?

? ?

?

?





2 11.若关于 x 的方程 cos x ? sin x ? a ? 0 在 [0, ? ] 内有解,则实数 a 的取值范围





. ▲ .

12.下列说法中,所有正确说法的序号是 ①终边落在 y 轴上的角的集合是 {? | ? ?

k? , k ? Z}; 2 ? 3? ,0 ) ; ②函数 y ? 2 cos( x ? ) 图象的一个对称中心是 ( 4 4
③函数 y ? tan x 在第一象限是增函数;

数学试题第 1 页(共 8 页)

④为了得到函数 y ? sin(2 x ? 单位长度.

? ? )的图象,只需把函数 y ? sin 2 x 的图象向右平移 个 3 6

13.若函数 f ( x) ? loga (? x2 ? ax ?1)(a ? 0 且 a ? 1) 有最大值,则实数 a 的取值范围 是 ▲ .
2 ? ?x , x ? 0 , 若对任意的 x ? 1 有 f ( x ? 2m) ? mf ( x) ? 0 恒成立, 则实数 m 2 ? x , x ? 0 ? ?

14. 已知 f ( x) ? ?

的取值范围是 ▲ . 二、解答题(本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题纸 指定区域内 作答,解答时应写出文 ... ..... 字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本小题 14 分) 已知集合 A ? {x | a ? 1 ? x ? a ? 1} , B ? {x | 0 ? x ? 3} . ⑴若 a ? 0 ,求 A ? B ; ⑵若 A ? B ,求实数 a 的取值范围.

16. (本小题 14 分) 如图,在矩形 ABCD 中,点 E 是 BC 边上的中点,点 F 在边 CD 上. ⑴若点 F 是 CD 上靠近 C 的三等分点,设 EF ? ? AB ? ? AD ,求 ? ? ? 的值; ⑵若 AB ? 3, BC ? 2 ,当 AE ? BF ? 1 时,求 DF 的长.

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

数学试题第 2 页(共 8 页)

17. (本小题 15 分) 已知向量 a ? (sin ? ,cos? ? 2sin ? ), b ? (1, 2) ,其中 0 ? ? ? ? . ⑴若 a // b ,求 sin ? ? cos ? 的值; ⑵若 | a |?| b | ,求 ? 的值.

?

?

?

?

18. (本小题 15 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(?x ? ⑴求 A 和 ? 的值;

?
3

)( A ? 0, ? ? 0) 的部分图象如图所示.

⑵求函数 y ? f ? x ? 在 [0, ? ] 的单调增区间; ⑶若函数 g ( x) ? f ( x) ?1 在区间 ( a, b) 上恰有 10 个零点,求 b ? a 的最大值.

数学试题第 3 页(共 8 页)

19. (本小题 16 分) 扬州瘦西湖隧道长 3600 米,设汽车通过隧道的速度为 x 米/秒 (0 ? x ? 17) .根据安全和车 流的需要 ,当 0 ? x ? 6 时,相邻两车之间的安全距离 d 为 ( x ? b) 米;当 6 ? x ? 17 时,相 邻两车之间的安全距离 d 为 (

a 2 x x ? ? 2) 米(其中 a , b 是常数) .当 x ? 6 时, d ? 10 ,当 6 3

x ? 16 时, d ? 50 .
⑴求 a , b 的值; ⑵一列由 13 辆汽车组成的车队匀速通过该隧道(第一辆汽车车身长为 6 米,其余汽车车身 长为 5 米,每辆汽车速度均相同) .记从第一辆汽车车头进入隧道,至第 13 辆汽车车尾离开 隧道所用的时间为 y 秒. ①将 y 表示为 x 的函数; ②要使车队通过隧道的时间 y 不超过 280 秒,求汽车速度 x 的范围.

20. (本小题 16 分) 已知 f (e ) ? ax ? x , a ? R .
x 2

⑴求 f ( x ) 的解析式; ⑵求 x ? (0,1] 时, f ( x ) 的值域; ⑶ 设 a ? 0 , 若 h( x) ? [ f ( x) ? 1 ? a] ? log x e 对 任 意 的 x1 , x2 ?[e?3 , e?1 ] , 总 有

1 h( x1 ) ? h( x2 ) ? a ? 恒成立,求实数 a 的取值范围. 3

数学试题第 4 页(共 8 页)

2015—2016 学年度第一学期高一数学期末试卷 参 考 答 案
2016.1 一、填空题 1. {?1, 0,1} 2. 2 5. 3.

2? 3 7. 1
4. 10.

? 2

1 3

6. {x | x ? 0 且 x ? 1} 9. ? 2 12. ②④

8. 4 11. [?1,1] 14. (?

? 4

13. (2, ??) 二、解答题

1 , ??) 4
……7 分

15⑴若 a ? 0 ,则 A ? {x | ?1 ? x ? 1} , A ∩ B ? {x | 0 ? x ? 1}

⑵?

?a ? 1 ? 0 ,则 1 ? a ? 2 ,所以实数 a 的取值范围是 1 ? a ? 2 a ? 1 ? 3 ?
??? ? ??? ? ??? ?

……14 分

16⑴ EF ? EC ? CF ,因为 E 是 BC 边的中点,点 F 是 CD 上靠近 C 的三等分点,

? 1 ??? ? 1 ??? BC ? CD , 2 3 ??? ? ? 1 ???? ??? ? ???? ??? ? ??? ? 1 ??? 在矩形 ABCD 中, BC ? AD, CD ? ? AB ,所以 EF ? ? AB ? AD , 3 2 1 1 1 1 1 即 ? ? ? , ? ? ,则 ? ? ? ? ? ? ? ; 3 2 3 2 6
所以 EF ? 所以 AE ? AB ?

??? ?

……7 分

⑵设 DF ? mDC (m ? 0) ,则 CF ? (m ? 1) DC ,

? ??? ? 1 ???? 1 ??? BC ? AB ? AD , 2 2 ??? ? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? BF ? CF ? BC ? (m ?1)DC ? BC ? (m ?1) AB ? AD ,又 AB ? AD ? 0 , ??? ? ??? ? ??? ? ???? 1 ???? AD) ? [(m ? 1) AB ? AD] 2 ??? ? 2 1 ???? 2 ? (m ? 1) AB ? AD = 3(m ? 1) ? 2 ? 1 2
……14 分

??? ?

??? ?

所以 AE ? BF ? ( AB ?

??? ?

解得 m ?

2 2 3 ,所以 DF 的长为 . 3 3

注:也可以建立平面直角坐标系,表示出 AE 与 BF 的坐标,阅卷根据情况酌情给分.

数学试题第 5 页(共 8 页)

17⑴因为 a // b ,所以 2sin ? ? cos ? ? 2sin ?

? ?

……3 分 ……5 分 ……8 分 ……11 分

1 . 4 sin ? ? cos ? tan ? 4 ? ? 所以 sin ? ? cos ? = 2 2 2 sin ? ? cos ? tan ? ? 1 17 ? ? 2 2 ⑵因为 | a |?| b | ,所以 sin ? ? (cos ? ? 2sin ? ) ? 5
显然 cos ? ? 0 ,所以 tan ? ? 所以 cos2 ? ? sin ? cos? ? 0 , cos ? ? 0 或 sin ? ? ? cos ? . 又 0 ? ? ? ? ,所以 ? ?

?
2

或? ?

3? . 4

……15 分

18⑴ A ? 2,

T ? ? 2? ? ? ? ,? ? 2 4 3 12 4?

所以 f ? x ? ? 2sin ? 2 x ? ⑵令 ?

? ?

??
? 3?
?

……4 分

?

2 3 2 5? ? ? k? ? x ? ? k? 得? 12 12
又因为 x ? [0, ? ] ,

? 2k? ? 2 x ?

?

?

? 2k? , k ? Z
……7 分

所以函数 y ? f ? x ? 在 [0, ? ] 的单调增区间为 [0, 注:区间端点可开可闭,都不扣分. ⑶ f ? x ? ? 2sin ? 2 x ? 得 x ? k? ?

?
12

] 和[

7? ,? ] 12

……9 分

? ?

??

? ? ?1 , 3?
……11 分 ……13 分 ……15 分

5? 3? (k ? Z ) 或 x ? k? ? 12 4

函数 f ( x ) 在每个周期上有两个零点,所以共有 5 个周期, 所以 b ? a 最大值为 5T ?

2? 17? ? . 3 3

数学试题第 6 页(共 8 页)

19⑴当 x ? 6 时, d ? x ? b ? 6 ? b ? 10 ,则 b ? 4 , 当 x ? 16 时, d ? 所以 a ? 1, b ? 4 . ⑵①当 0 ? x ? 6 时, y ?

a 2 x a 16 x ? ? 2 ? ? 162 ? ? 2 ? 50 ,则 a ? 1 ; 6 3 6 3
……4 分

6 ? 5 ?12 ? 12( x ? 4) ? 3600 3714 ? 12 x ? , x x 1 x 6 ? 5 ?12 ? 12( x 2 ? ? 2) ? 3600 2 x 2 ? 4 x ? 3690 6 3 当 6 ? x ? 17 时, y ? ? x x

? 3714 ? 12 x ,0 ? x ? 6 ? ? x 所以 y ? ? 2 ? 2 x ? 4 x ? 3690 , 6 ? x ? 17 ? x ?
②当 0 ? x ? 6 时, ymin ? 当 6 ? x ? 17 时, y ?

……10 分

3714 ? 12 ? 6 ? 280 ,不符合题意, 6

2 x 2 ? 4 x ? 3690 ? 280 x
……16 分

解得 15 ? x ? 123 ,所以 15 ? x ? 17 答⑴ a ? 1, b ? 4 .

? 3714 ? 12 x ,0 ? x ? 6 ? ? x ⑵① y ? ? 2 ? 2 x ? 4 x ? 3690 , 6 ? x ? 17 ? x ?
②汽车速度 x 的范围为 15 ? x ? 17 . 注:不答扣一分

x 2 20⑴设 e ? t ,则 x ? ln t ? 0 ,所以 f (t ) ? a(ln t ) ? ln t

所以 f ( x) ? a(ln x) ? ln x( x ? 0) ;
2

……3 分
2

⑵设 ln x ? m(m ? 0) ,则 f ( x) ? g (m) ? am ? m 当 a ? 0 时, f ( x) ? g (m) ? ?m , g ( m) 的值域为 [0, ??)
2 当 a ? 0 时, f ( x) ? g (m) ? am ? m ? a(m ?

1 2 1 ) ? (m ? 0) 2a 4a

数学试题第 7 页(共 8 页)

1 ? 0 , g ( m) 的值域为 [0, ??) 2a 1 1 1 ? 0 , g ( m) 在 ( ??, ] 上单调递增,在 [ , 0] 上单调递减, 若a ? 0, 2a 2a 2a 1 ……7 分 g ( m) 的值域为 ( ??, ? ] 4a
若a ? 0, 综上,当 a ? 0 时 f ( x ) 的值域为 [0, ??) 当 a ? 0 时 f ( x ) 的值域为 ( ??, ? ⑶因为 h( x) ? a ln x ? 1 ?

(1 ? a) 1 对任意 x1 , x2 ?[e?3 , e?1 ] 总有 h( x1 ) ? h( x2 ) ? a ? ln x 3 1 ?3 ?1 所以 h( x) 在 [e , e ] 满足 h( x) max ? h( x) min ? a ? ……10 分 3 1? a ? 1 , s ?[?3, ?1] 设 ln x ? s(s ?[?3, ?1]) ,则 h( x) ? r ( s ) ? as ? s
当 1 ? a ? 0 即 a ? 1 时 r ( s) 在区间 [?3, ?1] 单调递增 所以 r (?1) ? r (?3) ? a ?

1 ]; 4a

……8 分

1 8 4 1 3 ,即 ?2 ? ( ? a ? ) ? a ? ,所以 a ? (舍) 3 3 3 3 5
……12 分

当 a ? 1 时, r ( s) ? s ? 1,不符合题意 当 0 ? a ? 1 时, 若

1 1? a ? 1 即 ? a ? 1 时, r ( s) 在区间 [?3, ?1] 单调递增 2 a

所以 r (?1) ? r (?3) ? a ? 若1 ?

1 1 3 ,则 ? a ? 3 2 5

1 1 1? a 1? a 1? a ? 3 即 ? a ? 时 r ( s) 在 [?3, ? ] 递增,在 [? , ?1] 递减 10 2 a a a

? 1? a 1 ) ? r (?3) ? a ? ?r (? 1 1 a 3 ? ?a? 所以 ? ,得 10 2 ?r (? 1 ? a ) ? r (?1) ? a ? 1 ? a 3 ?


1 1? a ? 3 即 0 ? a ? 时 r ( s) 在区间 [?3, ?1] 单调递减 10 a

所以 r (?3) ? r (?1) ? a ? 综上所述:

1 8 4 1 1 1 ,即 ? a ? ? 2 ? a ? ,得 ? a ? 3 3 3 3 11 10

……15 分 ……16 分

1 3 ?a? . 11 5

数学试题第 8 页(共 8 页)


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