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汕头市金山中学2011-2012学年高二3月月考(文数)

时间:2013-04-16


汕头金山中学高二文科数学月考试卷(2012.3)
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1. y ? f ( x ) 的导数 y ? f '( x ) 的图象如图所示,则使 函数 y ? f ( x ) 取得极大值的 x 的值是( A. x 1 C. x 3 B. x 2 x1 D. x 4 x2 O x3 x4 x )
y ? f '( x )

y

2. 若复数 z ? ( m ? 3 m ? 4 ) ? ( m ? 5 m ? 6 ) i 为纯虚数,则实数 m 的值(
2 2



A . 5

B. 6

C. ? 1

D. 4 )

3. 函数 f ( x ) ? x ? ln x 的单调递减区间为( A. ? ? ,1) ( C. (0,1) 4. 设双曲线 ( )
x a
2 2

B. (1, ? ? ) D. (1,e)
y b
2 2

?

? 1 (a>0,b>0)的虚轴长为 2, 焦距为 2

3 , 则双曲线的渐近线方程为

A. y=± 2 x
2 2

B.y=±2x
1 2

C.y=±
1 3

x

D.y=±

x

5. 函数 y ? A. a ? 0

x

3

? ax 在区间[0,1]上是增函数,则 a 的取值范围为(

)

B. a ? 0

C. a ? 0

D. a ? 0

6. 若 a ? 0 , b ? 0 , 且函数 f ( x ) ? 4 x ? ax
3

2

? 2 bx ? 2 在 x ? 1 处有极值,则 ab 的最

大值等于( A. 2

) B. 3
2

C. 6
f (x) g (x)

D. 9 ( )

7. 已知 f '( x ) g ( x ) ? f ( x ) g '( x ) ? x (1 ? x ) ,则函数 A. 有极大值点 1,极小值点 0 C. 有极大值点 1,无极小值点 8. 若函数 f ( x ) ? ( )
1

B. 有极大值点 0,极小值点 1 D. 有极小值点 0,无极大值点

1 3

x

3

?

1 2

x

2

? 2 x ? a 在定义域内有三个零点,则实数 a 的取值范围是

A. ( ?

13 6

,?

2 3

)
2 2

B. [ ?
y a x b
2 2

13 6

,?

2 3

]

C. ( ?

10 3

,

7 6

)

D. [ ?

10 3

,

7 6

]

9. F 1 、 F 2 是椭圆

?

? 1 ( a ? b ? 0 ) 的左、右焦点, B 是该椭圆短轴的一个端点,

直线 B F1 与椭圆 C 交于点 A ,若 A B , F1 F2 , A F2 成等差数列,则该椭圆的离心率为 ( A . )
3 4

B.

3 2

C.

1 2

D.

2 2

10.函数 f ( x ) 的定义域为 R, f ( ? 1 ) ? 2 ,对任意 x ? R , f '( x ) ? 2 ,则 f ( x ) ? 2 x ? 4 的 解集为( ) A. (-1,1)

B. (-1,+∞)

C. (-∞,-1)

D. (-∞,+∞)

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。请把答案填写答题纸相应位置上。 11.双曲线
x
2

?

y

2

? 1 的离心率为

.

8

4
x

12.曲线 C: f ( x ) ? e ? sin x ? 1 在 x ? 0 处的切线方程为_________. 13.若 f ( x ) ? x ? 3 a x ? 3 ( a ? 2 ) x ? 1 在其定义域内没有极值, a 的取值范围是 则
3 2

.

14.若函数 f ( x ) ? ax

3

? 3 x ? 1 ( x ? R ) ,若对于 x ? ? ? 1 ,1 ? 都有 f ( x ) ? 0 ,则实数 a 的值

为_______. 三.解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 15.已知曲线 f ( x ) ? x ? 3 x .
3

(Ⅰ)求曲线在点 P(1,-2)处的切线方程; (Ⅱ)求过点 Q(2,-6)的曲线 y ? f ( x ) 的切线方程.

2

16.设直线 y ? 2 x ? 4 与抛物线 y (Ⅰ)求 A , B 两点的坐标; (Ⅱ)若抛物线 y
2

2

? 4 x 交于 A , B 两点(点 A 在第一象限).

? 4 x 的焦点为 F ,求 cos ? AFB 的值.

17.设函数 f ( x ) ? 2 x ? 3 ax
3

2

? 3 bx ? 8 c 在 x ? 1 及 x ? 2 时取得极值.

(Ⅰ)求 a 、 b 的值; (Ⅱ)若对于任意的 x ? ?0 , 3 ? ,都有 f ( x ) ? c 成立,求 c 的取值范围.
2

18.某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量 y(单位:千克)与销售价格 x (单位:元/千克)满足关系式 y ?
a x ?3 ? 10 ( x ? 6 ) ,其中 3 ? x ? 6 , a 为常数.已知
2

销售价格为 5 元/千克时,每日可售出该商品 11 千克. (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)若该商品的成本为 3 元/千克,试确定销售价格 x 的值,使商场每日销售该商品 所获得的利润最大.

19.已知椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? 0 , b ? 0 ) 的离心率为

1 2

,两焦点之间的距离为 4.

(Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)过椭圆的右顶点作直线交抛物线 y ? 4 x 于 A、B 两点, (1)求证:OA⊥OB; (2)设 OA、OB 分别与椭圆相交于点 D、E,过原点 O 作直线 DE 的垂线 OM,垂足为 M, 证明|OM|为定值.
2

3

20.已知函数 f ( x ) ? ( x ? 2 ax ) e , g ( x ) ? c ln x ? b , 2 是函数 y ? f ( x ) 的极值点,其中 e 是自然对数的底数. (Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)直线 l 同时满足: ① l 是函数 y ? f ( x ) 的图象在点 ( 2 , f ( 2 )) 处的切线,
2 x
?1 ② l 与函数 y ? g ( x ) 的图象相切于点 P ( x 0 , y 0 ), x 0 ? [ e , e ] .

求实数 b 的取值范围.

4

参考答案
一.选择题(本大题共 10 道小题,每小题 5 分,满分 50 分) 题号 答案 1 C 2 D 3 C 4 C 5 C 6 D 7 C 8 C 9 A 10 B

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. )

11、

6 2



12、

2x ? y ? 2 ? 0



13、

?? 1, 2 ?

____;

14、

_4________;

三.解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 15. 分 则 f ' (1 ) ? 3 * 1 ? 3 ? 0 ……………………………………………………………3 分
2

解: (Ⅰ) f ' ( x ) ? 3 x ? 3 ………………………………………………………………2
2

故曲线在点 P 处的切线方程为 y ? 2 ? 0 * ( x ? 1 ) ,即 y ? ? 2 …………………4 分
3 (Ⅱ)设过点 Q 的切线与曲线 y ? f ( x ) 相切于点 R ( x 0 , x 0 ? 3 x 0 ) ……………5 分

2 由于曲线 y ? f ( x ) 在点 R 处切线斜率为 f ' ( x 0 ) ? 3 x 0 ? 3

由斜率公式可得

x0 ? 3 x0 ? (?6)
3

x0 ? 2

? 3 x 0 ? 3 ………………………………………7 分
2

整理可得 x 0 ? 0 或 x 0 ? 3 …………………………………………………………9 分 故切点 R 分别为 ( 0 , 0 ) 和 ( 3 ,18 ) …………………………………………………10 分 所以过点 Q 的切线方程有两条: y ? ? 3 x 和 y ? 24 x ? 54 ……………………12 分
?y
2

16. 解: (Ⅰ)由 ?

? 4x

?y ? 2x ? 4

消y得

x

2

? 5 x ? 4 ? 0 ………………………………3 分

解出 x 1 ? 1 , x 2 ? 4 ,于是, y 1 ? ? 2 , y 2 ? 4

5

因点 A 在第一象限,所以 A , B 两点坐标分别为 A ( 4 , 4 ) , B (1, ? 2 ) ……………6 分 (Ⅱ)解一:抛物线 y
2

? 4 x 的焦点为 F (1, 0 ) …………………………………8 分

由(Ⅰ)知, A ( 4 , 4 ) , B (1, ? 2 ) , FA ? ( 3 , 4 ) , FB ? ( 0 , ? 2 ) ………………10 分
FA ? FB | FA | ? | FB | (3,4 ) ? ( 0 ,? 2 ) 5? 2 4 5

于是,cos ? AFB ?

?

? ?

………………………14 分

解二:抛物线 y

2

? 4 x 的焦点为 F (1, 0 )

………………………………8 分

由两点间的距离公式可得 AB ? 3 5 , FA ? 5 , FB ? 2 ……………………11 分
FA
2

由余弦定理可得 cos ? AFB ?

? FB

2

? AB

2

?

25 ? 4 ? 45 2*5*2

? ?

4 5

…14 分

2 FA * FB

2 17. 解: (Ⅰ) f ? ( x ) ? 6 x ? 6 a x ? 3 b ,……………………………………………………2 分

因为函数 f ( x ) 在 x ? 1 及 x ? 2 取得极值,则有 f ? (1) ? 0 , f ? ( 2 ) ? 0 . 即?
? 6 ? 6 a ? 3 b ? 0, ? 2 4 ? 1 2 a ? 3 b ? 0. ………………………………………………………………4 分

解得 a ? ? 3 , b ? 4 .………………………………………………………………6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知, f ( x ) ? 2 x ? 9 x ? 1 2 x ? 8 c ,
3 2

f ? ( x ) ? 6 x ? 1 8 x ? 1 2 ? 6 ( x ? 1)( x ? 2 ) . ………………………………………7 分
2

当 x ? ( 0, 时, f ? ( x ) ? 0 ;当 x ? (1, ) 时, f ? ( x ) ? 0 ; 1) 2 当 x ? ( 2,) 时, f ? ( x ) ? 0 .………………………………………………………9 分 3 所以, x ? 1 时,f ( x ) 取得极大值 f (1) ? 5 ? 8 c , f 0 8 ? c ,f (3 ) ? 9 ? 8 c . 当 又 ( 则 ) 当 x ? ? 0,? 时, ……………………………………………………………………11 分 3
f ( x ) 的最大值为 f (3 ) ? 9 ? 8 c .因为对于任意的 x ? ? 0,? ,有 f ( x ) ? c 恒成立, 3
2

所以 解得

9 ? 8 c ? c , ………………………………………………………………12 分
2

? ? c ? ? 1 或 c ? 9 ,因此 c 的取值范围为 ( ? ? , 1) ? (9, ? ) .…………14 分

18. 解: (Ⅰ)因为 x ? 5 时, y ? 11 ,所以

a 2

? 10 ? 11 , a ? 2 .

……………………3 分

6

(Ⅱ)由(1)可知,该商品每日的销售量 y=

2 2 +10(x-6) , ………………4 分 x-3

所以商场每日销售该商品所获得的利润 2 2 2 f(x)=(x-3)[ +10(x-6) ]=2+10(x-3)(x-6) , x<6 ………………6 分 3< x-3 2 从而,f′(x)=10[(x-6) +2(x-3)(x-6)]=30(x-4)(x-6)………………8 分 于是,当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x (3,4) 4 (4,6) f′(x) + 0 - f(x) 单调递增 极大值 42 单调递减 由上表可得,x=4 是函数 f(x)在区间(3,6)内的极大值点,也是最大值点 …12 分 所以,当 x=4 时,函数 f(x)取得最大值,且最大值等于 42. ………………13 分 答:当销售价格为 4 元/千克时,每日销售该商品所获得的利润最大. ……14 分
?2c ? 4, ?a ? 4 ? 2 19. 解: (Ⅰ)由 ? c ,故 b ? 12 . ………………………………………3 分 1 得? ?c ? 2 ? ? , 2 ?a
x
2

所以,所求椭圆的标准方程为

?

y

2

? 1 ………………………………4 分

16

12

(Ⅱ) (1)若直线的斜率存在,可设直线方程为 y ? k ( x ? 4 ) …………5 分 代入抛物线方程整理得 k x ? ( 8 k
2 2 2

? 4 ) x ? 16 k

2

? 0
2

设点 A( x 1 , y 1 )点 B( x 2 , y 2 ) ,则 x 1 ? x 2 ?

8k

? 4
2

k

, x 1 x 2 ? 16 …………7 分

0 A ? OB ? x 1 x 2 ? y 1 y 2 ? x 1 x 2 ? k ( x 1 ? 4 )( x 2 ? 4 ) ? 0
2

所以 OA ? OB ………………………………………………………………………9 分 若直线斜率不存在,则 A(4,4)B(4,-4) ,同样可得 OA ? OB ………………10 分(2)设 D ? x 3 , y 3 ? 、 E ? x 4 , y 4 ? ,直线 DE 的方程为 x ? ty ? ? ,代入 得
x
2

?

y

2

? 1,

16

12

?3 t

2

? 4 ?y

2

? 6 t ? y ? 3 ? ? 48 ? 0 .于是 y 3 ? y 4 ? ?
2

6 t? 3t
2

? 4

, y3 y4 ?

3 ? ? 48
2

3t

2

? 4



从而 x 3 x 4 ? ? ty 3 ? ? ?? ty 4 ? ? ? ?

4 ? ? 48 t
2

2

3t

2

? 4

? OD ? OE ,? x 3 x 4 ? y 3 y 4 ? 0 .

得 7 ? ? 48 ?t ? 1 ? .∴原点到直线 DE 的距离 d ?
2 2

?
1? t
2

?

4

21 7

为定值…14 分

20. 解: (Ⅰ) x ? 0 时 , f ( x ) ? ( x ? 2 ax ) e
2

x

7

? f ' ( x ) ? (2 x ? 2 a )e

x

? (x

2

? 2 ax ) e

x

? [x

2

? 2 (1 ? a ) x ? 2 a ] e ……………2 分
x

由已知, f ' ( 2 ) ? 0 ,
? [2 ? 2 2 (1 ? a ) ? 2 a ] e
2

2

? 0 ,? 2 ? 2
x

2 ? 2a ? 2
2

2 a ? 0 , 得 a =1 ………4 分
x 2

(Ⅱ)x ? 0 时, f ( x ) ? ( x ? 2 x ) e , ? f ' ( x ) ? ( x ? 2 ) e ? f ( 2 ) ? 0 , f ' ( 2 ) ? 2 e 函数 f ( x ) 的图象在点 ( 2 , f ( 2 )) 处的切线 l 的方程为: y ? 2 e ( x ? 2 ),
2

? 直线 l 与函数 g ( x ) 的图象相切于点 P ( x 0 , y 0 ), x 0 ? [ e
? y 0 ? c ln x 0 ? b

?1

, e] ,

又 g '(x) ?

c x

,所以切线 l 的斜率为 g ' ( x 0 ) ?
c x0 (x ? x0 )

c x0

,

故切线 l 的方程为 : y ? y 0 ? 即 l 的方程为: y ?
c x0

x ? c ? b ? c ln x 0

? c 2 2 ? 2e ? ? ?c ? 2e x0 ? ? 得? x0 2 ? b ? c ? c ln x 0 ? 4 e 2 ? ? ? ? c ? b ? c ln x 0 ? ? 4 e

………………………8 分

所以实数 b 的取值范围是 ?? 4 e , ? 2 e
2

2

? ……………………………………………12 分

8


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