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1.2平行线等分线段定理

时间:2015-08-29


L1

L2

做一做:
(1)在横格纸上画直线L1,使得L1与横线垂 直 , 观察L1被各条横线分成的线段是否相等。 (2)再画一条直线L2,那么L2被各条横线分成 的线段有何关系?



论:

如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等, 那么在其他直线上截得的线

段也相等.

如何来证明?

平行线等分线段定理: 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等, 那么在其 他直线上截得的线段也相等.

已知:如图,直线 l1∥l2∥l3 AB=BC
求证: A1B1=B1C1 证明:过B1作EF∥AC,分别交l1、l3于 点E、F
l1 l2 l3

A B

A1 B1
3 1 2 4

E

C

∵ l1∥l2∥l3 ∴得到□ ABB1E和□ BCFB1 ∴EB1 =AB ,B1F=BC ∵AB=BC ∴EB1=B1F 又∠1=∠2,∠3=∠4 ∴△A1B1E≌△C1B1F ∴A1B1=B1C1

F

C1

平行线等分线段定理: 如果一组平行线在一条直线上截得 的线段 相等 ,那么在其他直线上截得 的线段也 相等
l1 l2

A B C

A1
?B1 ?C1

符号语言 ∵直线l1∥l2∥l3 ,AB=BC ∴ A1B1=B1C1

l3

A B

D E

L1 B

A (D) E

L1
L2 2

L2 1
F L3 C F

C

L3

D

A

L1 L2 3 F

D B (E)

A

L1
L2 4

B C

E

C L3

F

L3

推论1: 经过梯形一腰的中点与底平行的直线,必平 分另一腰。
A E D ? F ?

B

C

符号语言:

∵在梯形ABCD,AD∥EF∥BC,AE=EB
∴DF=FC

推论2: 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线, 必平分第三边。
A E F

B

C

符号语言 ∵△ABC中,EF∥BC,AE=EB ∴AF=FC

平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段 相等,那么在其他直线上截得的线段也相等
A E D ? F ? B C B E A ?F ? C

推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的 推论2

经过三角形一边的中点与另一

直线,必平分另一腰。
符号语言:

边平行的直线,必平分第三边。
符号语言 ∵△ABC中,EF∥BC,AE=EB ∴AF=FC

∵在梯形ABCD,AD∥EF∥BC,AE=EB
∴DF=FC

例题讲解:
已知:线段AB 求作:线段AB的五等分点。 作法:1)作射线AC。 M D A N E





HC

I J K





2)在射线AC上顺次截取 AD=DE=EF=FG=GH。 3)连结HB。 4)过点G、F、E、D分别作HB的平行线GL、FK、 EJ、DI,分别交AB于点L、K、J、I。 L、K、J、I就是所求的五等分点

判断题: 若AB∥CD∥EF, AC=CE, 则 BD=DF=AC=CE. A

(

×)
B D F

C E

填空题:

已知AD∥EF∥BC, E是AB的中点,
则DG= F是 BG H是 AC 的中点,

CD 的中点

.
E

A G H

D

F C

B

填空题:

已知AD∥EF∥BC, 且AE=BE, 那么DF=
A E F D

CF

.

C

B

已知AB∥CD∥EF, AF交BE于O,且AO=OD=DF, 若BE=60厘米,那么BO= 20 厘米.
A O B D F C E

已知△ABC中,AB=AC, AD⊥BC, M是AD的中点, CM交AB于P, DN∥CM交AB于N, 如果AB=6厘米,

A

P

则PN=

2

厘米. B

N

.
D

M



C

已知△ABC中,CD平分∠ACB, AE⊥CD交BC于E, DF∥CB交AB于F, F D AF=4厘米, 则AB= 8 厘米.
B E

A

C

证明题

中点, 1.已知:□ABCD中,E、F分别是AB、DC的 CE、AF 分别交BD于M、N, A
求证:BM=MN=NC. 分析:需证明EC∥AF. 证明:

D

E B

.
M

N

.F
C

∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB=DC,AB∥DC; ∵E、F分别是AB、DC的中点,∴AE=FC, ∴四边形AECF是平行四边形, ∴EC∥AF, ∴BM=MN, MN=ND, 即BM=MN=ND.

讨论题
一、如图:有块三角形菜地,分配给三家农民耕 种,边 AB紧靠水渠,P处是三家合用的肥料仓库,问 怎样分地才能使得每家的耕地面积都相等且都临水渠 和仓库,以便于运输和浇水 。
P

A

B

一、如图:有块三角形菜地,分配给张、王、李三家农民耕种, 已知张、王、李三家人口分别为2人、4人、6人,菜地分配方法 按人口比例,并要求每户土地均有一部分紧靠水渠AB,P处是三 家合用的肥料仓库,所以点P 必须是三家地的交界地
要求:用尺规在图中作出各家菜地的分界线 (保留作图痕迹,不写作法、标出户名)
P



A

E



李 F

B

小结 平行线等分线段定理
A E D
? F ? B
图4

如果一组平行线在一条直线 上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等

A
E C ?F ? B
图5

C

推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的 推论2
直线,必平分另一腰。
符号语言: ∵在梯形ABCD,AD∥EF∥BC,AE=EB ∴DF=FC

经过三角形一边的中点与另一

边平行的直线,必平分第三边。
符号语言 ∵△ABC中,EF∥BC,AE=EB ∴AF=FC

小结
辅助线点滴: 有线段中点时,常过 该点作平行线,构造 平行线等分线段定理 及推论的基本图形。

1、平行线等分线段定理和两个推论 2、定理和推论的应用
(1)把线段n等分 (2)证明在同一直线上的线 段相等 E B A ? F ?

A
E

D ?

C

B

F ?

C




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