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2015年步步高二轮复习-专题三 第2讲 三角变换与解三角形


第2讲
考情解读

三角变换与解三角形

1.高考中常考查三角恒等变换有关公式的变形使用,常和同角三角函数的关系、

诱导公式结合.2.利用正弦定理或余弦定理解三角形或判断三角形的形状、求值等,经常和三 角恒等变换结合进行综合考查.

1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±

β)=sin αcos β± cos αsin β. (2)cos(α± β)=cos αcos β?sin αsin β. tan α± tan β (3)tan(α± β)= . 1?tan αtan β 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α=2sin αcos α. (2)cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α. 2tan α (3)tan 2α= . 1-tan2α 3.三角恒等式的证明方法 (1)从等式的一边推导变形到另一边,一般是化繁为简. (2)等式的两边同时变形为同一个式子. (3)将式子变形后再证明. 4.正弦定理 a b c = = =2R(2R 为△ABC 外接圆的直径). sin A sin B sin C 变形:a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C. a b c sin A= ,sin B= ,sin C= . 2R 2R 2R a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C. 5.余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B, c2=a2+b2-2abcos C. b2+c2-a2 a2+c2-b2 a2+b2-c2 推论:cos A= ,cos B= ,cos C= . 2bc 2ac 2ab 变形:b2+c2-a2=2bccos A,a2+c2-b2=2accos B,

a2+b2-c2=2abcos C. 6.面积公式 1 1 1 S△ABC= bcsin A= acsin B= absin C. 2 2 2 7.解三角形 (1)已知两角及一边,利用正弦定理求解. (2)已知两边及一边的对角,利用正弦定理或余弦定理求解,解的情况可能不唯一. (3)已知两边及其夹角,利用余弦定理求解. (4)已知三边,利用余弦定理求解.

热点一 三角变换 例1 π 4 3 π 2π (1)已知 sin(α+ )+sin α=- ,- <α<0,则 cos(α+ )等于( 3 5 2 3 3 B.- 5 3 D. 5 ) )

4 A.- 5 4 C. 5

1+sin β π π (2)(2014· 课标全国Ⅰ)设 α∈(0, ),β∈(0, ),且 tan α= ,则( 2 2 cos β π A.3α-β= 2 π C.3α+β= 2 π B.2α-β= 2 π D.2α+β= 2

2 思维启迪 (1)利用和角公式化简已知式子,和 cos(α+ π)进行比较. 3 (2)先对已知式子进行变形,得三角函数值的式子,再利用范围探求角的关系. 答案 (1)C (2)B π 4 3 π 解析 (1)∵sin(α+ )+sin α=- ,- <α<0, 3 5 2 3 3 4 3 ∴ sin α+ cos α=- , 2 2 5 ∴ 3 1 4 sin α+ cos α=- , 2 2 5

2π 2π 2π ∴cos(α+ )=cos αcos -sin αsin 3 3 3 1 3 4 =- cos α- sin α= . 2 2 5

1+sin β sin α 1+sin β (2)由 tan α= 得 = , cos β cos α cos β 即 sin αcos β=cos α+cos αsin β, π ∴sin(α-β)=cos α=sin( -α). 2 π π ∵α∈(0, ),β∈(0, ), 2 2 π π π π ∴α-β∈(- , ), -α∈(0, ), 2 2 2 2 π π ∴由 sin(α-β)=sin( -α),得 α-β= -α, 2 2 π ∴2α-β= . 2 思维升华 (1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角公式,三 角恒等变换公式的熟记和灵活应用,要善于观察各个角之间的联系,发现题目所给条件与恒 等变换公式的联系,公式的使用过程要注意正确性,要特别注意公式中的符号和函数名的变 换,防止出现张冠李戴的情况.(2)求角问题要注意角的范围,要根据已知条件将所求角的范 围尽量缩小,避免产生增解. π 设函数 f(x)=cos(2x+ )+sin2x. 3 (1)求函数 f(x)的最小正周期和最大值; θ cos 2θ (2)若 θ 是第二象限角,且 f( )=0,求 的值. 2 1+cos 2θ-sin 2θ π π π 1-cos 2x 1 3 解 (1)f(x)=cos(2x+ )+sin2x=cos 2xcos -sin 2xsin + = - sin 2x. 3 3 3 2 2 2 所以 f(x)的最小正周期为 T= θ (2)因为 f( )=0, 2 1 3 3 所以 - sin θ=0,即 sin θ= , 2 2 3 又 θ 是第二象限角, 所以 cos θ=- 1-sin2θ=- 6 . 3 1+ 3 2π =π,最大值为 . 2 2

cos2θ-sin2θ ?cos θ+sin θ??cos θ-sin θ? cos θ+sin θ cos 2θ 所以 = = = 2cos θ 1+cos 2θ-sin 2θ 2cos2θ-2sin θcos θ 2cos θ?cos θ-sin θ? 6 3 + 3 3 6- 3 2- 2 = = = . 4 6 2 6 2×?- ? 3 -

热点二 解三角形 例2 0. (1)求边 c 的大小; (2)求△ABC 面积的最大值. cos B 2a b 思维启迪 (1)将 + + =0 中的边化成角,然后利用和差公式求 cos C,进而求 c.(2) cos C c c a2+b2-c2 只需求 ab 的最大值,可利用 cos C= 和基本不等式求解. 2ab 解 (1)∵ cos B 2a b + + =0, cos C c c cos B 2a b 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,满足 a=2sin A, + + = cos C c c

∴ccos B+2acos C+bcos C=0, ∴sin Ccos B+sin Bcos C+2sin Acos C=0, ∴sin A+2sin Acos C=0, ∵sin A≠0, 1 ∴cos C=- ,∵C∈(0,π) 2 2π a ∴C= ,∴c= · sin C= 3. 3 sin A
2 2 1 a +b -3 (2)∵cos C=- = , 2 2ab

∴a2+b2+ab=3,∴3ab≤3,即 ab≤1. 1 3 ∴S△ABC= absin C≤ . 2 4 ∴△ABC 的面积最大值为 3 . 4

思维升华 三角形问题的求解一般是从两个角度,即从“角”或从“边”进行转化突破,实 现“边”或“角”的统一,问题便可突破. 几种常见变形: (1)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C; (2)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,其中 R 为△ABC 外接圆的半径; (3)sin(A+B)=sin C,cos(A+B)=-cos C. (1)△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,asin Asin B+bcos2A b = 2a,则 等于( a A. 2 C. 3 ) B.2 2 D.2 3

π (2)(2014· 江西)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.若 c2=(a-b)2+6,C= , 3 则△ABC 的面积是( A.3 3 3 C. 2 答案 (1)A (2)C 解析 (1)因为 asin Asin B+bcos2A= 2a, 由正弦定理得 sin2Asin B+sin Bcos2A= 2sin A, 即 sin B= 2sin A, 即 sin B b sin B = 2, = = 2. sin A a sin A ) 9 3 B. 2 D.3 3

(2)∵c2=(a-b)2+6,∴c2=a2+b2-2ab+6.① π π ∵C= ,∴c2=a2+b2-2abcos =a2+b2-ab.② 3 3 由①②得 ab=6. 1 1 3 3 3 ∴S△ABC= absin C= ×6× = . 2 2 2 2 热点三 正、余弦定理的实际应用 例3 (2013· 江苏)如图, 游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两

种路径.一种是从 A 沿直线步行到 C,另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B,然后从 B 沿直线步行到 C.现有甲、乙两位游客从 A 处下山,甲沿 AC 匀速步行,速度为 50 m/min.在甲出发 2 min 后,乙从 A 乘缆车到 B,在 B 处停留 1 min 后,再从 B 匀速步行到 12 C.假设缆车匀速直线运动的速度为 130 m/min,山路 AC 长为 1 260 m,经测量 cos A= , 13 3 cos C= . 5 (1)求索道 AB 的长; (2)问:乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短? (3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟, 乙步行的速度应控制在什么范围内? 思维启迪 (1)直接求 sin B,利用正弦定理求 AB.(2)利用余弦定理和函数思想,将甲乙距离表 示为乙出发后时间 t 的函数. 12 3 解 (1)在△ABC 中,因为 cos A= ,cos C= , 13 5 5 4 所以 sin A= ,sin C= . 13 5 从而 sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C) =sin Acos C+cos Asin C

5 3 12 4 63 AB AC = × + × = .由正弦定理 = ,得 13 5 13 5 65 sin C sin B AC 1 260 4 AB= ×sin C= × =1 040(m). sin B 63 5 65 所以索道 AB 的长为 1 040 m. (2)假设乙出发 t 分钟后,甲、乙两游客距离为 d,此时,甲行走了(100+50t)m,乙距离 A 处 130t m, 所以由余弦定理得 12 d2=(100+50t)2+(130t)2-2×130t×(100+50t)× 13 1 040 =200(37t2-70t+50),由于 0≤t≤ ,即 0≤t≤8, 130 35 故当 t= min 时,甲、乙两游客距离最短. 37 BC AC (3)由正弦定理 = , sin A sin B AC 1 260 5 得 BC= ×sin A= × =500(m). sin B 63 13 65 乙从 B 出发时,甲已走了 50×(2+8+1)=550(m),还需走 710 m 才能到达 C. 500 710 1 250 625 设乙步行的速度为 v m/min,由题意得-3≤ v - ≤3,解得 ≤v≤ , 50 43 14 1 250 625? 所以为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 min, 乙步行的速度应控制在? ? 43 , 14 ? (单位:m/min)范围内. 思维升华 求解三角形的实际问题,首先要准确理解题意,分清已知与所求,关注应用题中 的有关专业名词、术语,如方位角、俯角等;其次根据题意画出其示意图,示意图起着关键 的作用;再次将要求解的问题归结到一个或几个三角形中,通过合理运用正、余弦定理等有 关知识建立数学模型,从而正确求解,演算过程要简练,计算要准确;最后作答. 如图,中国渔民在中国南海黄岩岛附近捕鱼作业,中国海监船在 A 地侦察发现, 在南偏东 60° 方向的 B 地, 有一艘某国军舰正以每小时 13 海里的速度向正西方向的 C 地行驶, 企图抓捕正在 C 地捕鱼的中国渔民.此时,C 地位于中国海监船的南偏东 45° 方向的 10 海里 处, 中国海监船以每小时 30 海里的速度赶往 C 地救援我国渔民, 能不能及时赶到?( 2≈1.41, 3≈1.73, 6≈2.45)

解 过点 A 作 AD⊥BC,交 BC 的延长线于点 D. 因为∠CAD=45° ,AC=10 海里, 所以△ACD 是等腰直角三角形. 所以 AD=CD= 2 2 AC= ×10=5 2(海里). 2 2

在 Rt△ABD 中,因为∠DAB=60° , 所以 BD=AD×tan 60° =5 2× 3=5 6(海里). 所以 BC=BD-CD=(5 6-5 2)(海里). 因为中国海监船以每小时 30 海里的速度航行,某国军舰正以每小时 13 海里的速度航行, AC 10 1 所以中国海监船到达 C 点所用的时间 t1= = = (小时),某国军舰到达 C 点所用的时间 30 30 3 BC 5×? 6- 2? 5×?2.45-1.41? t2= = ≈ =0.4(小时). 13 13 13 1 因为 <0.4,所以中国海监船能及时赶到. 3

1.求解恒等变换问题的基本思路 一角二名三结构,即用化归转化思想“去异求同”的过程,具体分析如下: (1)首先观察角与角之间的关系,注意角的一些常用变换形式,角的变换是三角函数变换的核 心. (2)其次看函数名称之间的关系,通常“切化弦”. (3)再次观察代数式的结构特点. 2.解三角形的两个关键点 (1)正、余弦定理是实现三角形中边角互化的依据,注意定理的灵活变形,如 a=2Rsin A,sin a A= (其中 2R 为三角形外接圆的直径), a2+b2-c2=2abcos C 等, 灵活根据条件求解三角形 2R 中的边与角. (2)三角形的有关性质在解三角形问题中起着重要的作用,如利用“三角形的内角和等于 π” 和诱导公式可得到 sin(A+B)=sin C,sin 三角形中的增解问题等. 3.利用正弦定理、余弦定理解决实际问题的关键是如何将实际问题转化为数学问题,抽象出 三角形模型. A+B C =cos 等,利用“大边对大角”可以解决解 2 2

真题感悟 1.(2013· 浙江)已知 α∈R,sin α+2cos α= 4 3 3 4 A. B. C.- D.- 3 4 4 3 答案 C 解析 ∵sin α+2cos α= 10 , 2 10 ,则 tan 2α 等于( 2 )

5 ∴sin2α+4sin α· cos α+4cos2α= . 2 用降幂公式化简得:4sin 2α=-3cos 2α, sin 2α 3 ∴tan 2α= =- .故选 C. cos 2α 4 2.(2014· 江苏)若△ABC 的内角满足 sin A+ 2sin B=2sin C,则 cos C 的最小值是________. 答案 6- 2 4

解析 由 sin A+ 2sin B=2sin C,结合正弦定理得 a+ 2b=2c. a2+b2-c2 由余弦定理得 cos C= 2ab ?a+ 2b?2 3 2 1 2 2ab a2+b2- a+ b- 4 4 2 2 = = 2ab 2ab 2 ≥ 故

?3a2??1b2?- 2ab ?4 ??2 ? 2
2ab



6- 2 , 4

6- 2 ≤cos C<1,且 3a2=2b2 时取“=”. 4 6- 2 . 4

故 cos C 的最小值为 押题精练

1.在△ABC 中,已知 tan ①

A+B =sin C,给出以下四个结论: 2

tan A =1;②1<sin A+sin B≤ 2;③sin2A+cos2B=1;④cos2A+cos2B=sin2C. tan B )

其中一定正确的是(

A.①③ B.②③ C.①④ D.②④ 答案 D

A+B 解析 依题意,tan = 2

A+B A+B A+B 2sin cos 2 2 2 = A+B A+B cos 2cos2 2 2 sin



sin?A+B? sin C = =sin C. 1+cos?A+B? 1+cos?A+B?

∵sin C≠0,∴1+cos(A+B)=1,cos(A+B)=0. π ∵0<A+B<π,∴A+B= ,即△ABC 是以角 C 为直角的直角三角形. 2 tan A 对于①,由 =1,得 tan A=tan B,即 A=B,不一定成立,故①不正确; tan B π π 对于②,∵A+B= ,∴sin A+sin B=sin A+cos A= 2sin(A+ ), 2 4 ∴1<sin A+sin B≤ 2,故②正确; π 对于③,∵A+B= ,∴sin2A+cos2B=sin2A+sin2A=2sin2A, 2 其值不确定,故③不正确; π 对于④,∵A+B= ,∴cos2A+cos2B=cos2A+sin2A=1=sin2C,故④正确. 2 2. 在△ABC 中,角 A,B, C 所对的边分别为 a,b,c,q=(2a,1), p=(2b-c,cos C),且 q∥p. (1)求 sin A 的值; -2cos 2C (2)求三角函数式 +1 的取值范围. 1+tan C 解 (1)∵q=(2a,1),p=(2b-c,cos C)且 q∥p,∴2b-c=2acos C, 由正弦定理得 2sin Acos C=2sin B-sin C, 又 sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C, 1 ∴ sin C=cos Asin C. 2 1 π ∵sin C≠0,∴cos A= ,又∵0<A<π,∴A= , 2 3 ∴sin A= 3 . 2

-2cos 2C 2?cos2C-sin2C? (2)原式= +1=1- =1-2cos2C+2sin Ccos C=sin 2C-cos 2C sin C 1+tan C 1+ cos C π = 2sin(2C- ), 4 2 π π 13 ∵0<C< π,∴- <2C- < π, 3 4 4 12 ∴- 2 π <sin(2C- )≤1, 2 4

π ∴-1< 2sin(2C- )≤ 2, 4 -2cos 2C 即三角函数式 +1 的取值范围为(-1, 2]. 1+tan C

(推荐时间:60 分钟) 一、选择题 1. (2014· 浙江)为了得到函数 y=sin 3x+cos 3x 的图象, 可以将函数 y= 2cos 3x 的图象( π A.向右平移 个单位 4 π C.向右平移 个单位 12 答案 C π 解析 因为 y=sin 3x+cos 3x= 2sin(3x+ ) 4 π π = 2sin[3(x+ )],又 y= 2cos 3x= 2sin(3x+ ) 12 2 π π = 2sin[3(x+ )],所以应由 y= 2cos 3x 的图象向右平移 个单位得到. 6 12 π π 3 2.已知 α∈( ,π),sin(α+ )= ,则 cos α 等于( 2 4 5 A.- C.- 2 10 2 7 2 或 10 10 7 2 B. 10 7 2 D.- 10 ) π B.向左平移 个单位 4 π D.向左平移 个单位 12 )

答案 A π π 3 5 解析 ∵α∈( ,α).∴α+ ∈( π, π). 2 4 4 4 π 3 ∵sin(α+ )= , 4 5 π 4 ∴cos(α+ )=- , 4 5 π π π π 4 2 3 2 2 ∴cos α=cos(α+ )cos +sin(α+ )sin( )=- × + × =- . 4 4 4 4 5 2 5 2 10 sin C 5 3.在△ABC 中,若 =3,b2-a2= ac,则 cos B 的值为( sin A 2 1 A. 3 1 B. 2 )

1 C. 5 答案 D

1 D. 4

c sin C 解析 由正弦定理: = =3, a sin A 5 c2- ac 2 a2+c2-b2 1 c 5 3 5 1 由余弦定理:cos B= = = × - = - = . 2ac 2ac 2 a 4 2 4 4 4.(2013· 陕西)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 bcos C+ccos B= asin A,则△ABC 的形状为( A.锐角三角形 C.钝角三角形 答案 B 解析 由 bcos C+ccos B=asin A,得 sin Bcos C+sin Ccos B=sin2A,即 sin(B+C)=sin2A, π 所以 sin A=1,由 0<A<π,得 A= ,所以△ABC 为直角三角形. 2 4 5 5.已知 tan β= ,sin(α+β)= ,其中 α,β∈(0,π),则 sin α 的值为( 3 13 63 A. 65 13 C. 65 答案 A 4 3 5 π 解析 依题意得 sin β= ,cos β= .注意到 sin(α+β)= <sin β,因此有 α+β> (否则,若 α 5 5 13 2 π π +β≤ ,则有 0<β<α+β≤ ,0<sin β<sin(α+β),这与“sin(α+β)<sin β”矛盾),则 cos(α+β) 2 2 12 63 =- ,sin α=sin[(α+β)-β]=sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β= . 13 65 2- 3 → → 1 6.已知△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,且 tan B= 2 2 2,BC· BA= , 2 a -b +c 则 tan B 等于( A. 3 2 ) B. 3-1 D.2- 3 33 B. 65 63 33 D. 或 65 65 ) ) B.直角三角形 D.不确定

C.2 答案 D

→ → → → 解析 由题意得,BC· BA=|BC|· |BA|cos B 1 1 =accos B= ,即 cos B= , 2 2ac

由余弦定理, a2+c2-b2 1 得 cos B= = ?a2+c2-b2=1, 2ac 2ac 2- 3 所以 tan B= 2 =2- 3,故选 D. a -b2+c2 二、填空题 π? 1 2sin α+sin 2α π 7.已知 tan? =________. ?α+4?=2,且-2<α<0,则 π α- ? cos? ? 4? 2 5 答案 - 5 π? tan α+1 1 1 解析 由 tan? ?α+4?=1-tan α=2, 得 tan α=-3. π 10 又- <α<0,可得 sin α=- . 2 10 故 2sin2α+sin 2α 2sin α?sin α+cos α? = π 2 α- ? cos? ?sin α+cos α? ? 4? 2
2

2 5 =2 2sin α=- . 5 8.在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c,已知 a2-c2=2b,且 sin Acos C= 3cos Asin C,则 b=________. 答案 4 解析 由 sin Acos C=3cos Asin C 得:
2 2 2 b2+c2-a2 c a a +b -c · =3· · , 2R 2ab 2bc 2R

b2 ∴a2+b2-c2=3(b2+c2-a2),a2-c2= , 2 a -c =2b ? ? 解方程组:? 2 2 b2 ,∴b=4. ?a -c = 2 ? π π 1 4 π 9.已知 0<α< <β<π,cos(β- )= ,sin(α+β)= ,则 cos(α+ )=________. 2 4 3 5 4 答案 8 2-3 15
2 2

π 解析 因为 0<α< <β<π, 2 π π 3π π 3π 所以 <β- < , <α+β< . 4 4 4 2 2 π 所以 sin(β- )>0,cos(α+β)<0. 4

π 1 4 因为 cos(β- )= ,sin(α+β)= , 4 3 5 π 2 2 3 所以 sin(β- )= ,cos(α+β)=- . 4 3 5 π π 所以 cos(α+ )=cos[(α+β)-(β- )] 4 4 π π =cos(α+β)cos(β- )+sin(α+β)sin(β- ) 4 4 3 1 4 2 2 8 2-3 =- × + × = . 5 3 5 3 15 10. 如图, 嵩山上原有一条笔直的山路 BC, 现在又新架设了一条索道 AC, 小李在山脚 B 处看索道 AC,发现张角∠ABC=120° ;从 B 处攀登 400 米 到达 D 处,回头看索道 AC,发现张角∠ADC=150° ;从 D 处再攀登 800 米方到达 C 处,则索道 AC 的长为________米. 答案 400 13 解析 如题图,在△ABD 中,BD=400 米,∠ABD=120° .因为∠ADC=150° ,所以∠ADB= 30° .所以∠DAB=180° -120° -30° =30° . BD AD 由正弦定理,可得 = . sin∠DAB sin∠ABD 400 AD 所以 = ,得 AD=400 3(米). sin 30° sin 120° 在△ADC 中,DC=800 米,∠ADC=150° ,由余弦定理,可得 AC2=AD2+CD2-2×AD×CD×cos∠ADC =(400 3)2+8002-2×400 3×800×cos 150° =4002×13,解得 AC=400 13(米). 故索道 AC 的长为 400 13米. 三、解答题 11.(2014· 安徽)设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别是 a,b,c,且 b=3,c=1,A= 2B . (1)求 a 的值; π? (2)求 sin? ?A+4?的值. 解 (1)因为 A=2B,所以 sin A=sin 2B=2sin Bcos B. a2+c2-b2 由正、余弦定理得 a=2b· . 2ac 因为 b=3,c=1,所以 a2=12,a=2 3. b2+c2-a2 9+1-12 1 (2)由余弦定理得 cos A= = =- . 2bc 6 3 由于 0<A<π,

所以 sin A= 1-cos2A=

1 2 2 1- = . 9 3

π? π π 2 2 2 ? 1? 2 4- 2 故 sin? ?A+4?=sin Acos 4+cos Asin4= 3 × 2 +?-3?× 2 = 6 . π 12.已知函数 f(x)=4cos ωx· sin(ωx- )+1(ω>0)的最小正周期是 π. 6 (1)求 f(x)的单调递增区间; π 3π (2)求 f(x)在[ , ]上的最大值和最小值. 8 8 π 解 (1)f(x)=4cos ωx· sin(ωx- )+1 6 =2 3sin ωxcos ωx-2cos2ωx+1 π = 3sin 2ωx-cos 2ωx=2sin(2ωx- ). 6 2π 最小正周期是 =π,所以,ω=1, 2ω π 从而 f(x)=2sin(2x- ). 6 π π π 令- +2kπ≤2x- ≤ +2kπ,k∈Z. 2 6 2 π π 解得- +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z. 6 3 π π 所以函数 f(x)的单调递增区间为[- +kπ, +kπ](k∈Z). 6 3 π 3π π π 7π (2)当 x∈[ , ]时,2x- ∈[ , ], 8 8 6 12 12 6- 2 π f(x)=2sin(2x- )∈[ ,2], 6 2 6- 2 π 3π 所以 f(x)在[ , ]上的最大值和最小值分别为 2, . 8 8 2 A-B 5 13.已知角 A、B、C 是△ABC 的三个内角,若向量 m=(1-cos(A+B),cos ),n=( , 2 8 A-B 9 cos ),且 m· n= . 2 8 (1)求 tan Atan B 的值; (2)求 absin C 的最大值. a2+b2-c2

A-B 5 5 解 (1)m· n= - cos(A+B)+cos2 8 8 2 9 1 9 9 = - cos Acos B+ sin Asin B= , 8 8 8 8

1 ∴cos Acos B=9sin Asin B 得 tan Atan B= . 9 tan A+tan B 9 9 3 (2)tan(A+B)= = (tan A+tan B)≥ · 2 tan Atan B= . 8 8 4 1-tan Atan B 1 (∵tan Atan B= >0, 9 ∴A,B 均是锐角,即其正切值均为正) absin C sin C 1 = = tan C a2+b2-c2 2cos C 2 1 3 =- tan(A+B)≤- , 2 8 3 所求最大值为- . 8


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