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成都树德中学高2011级第三学期期中数学试题(理科)


成都树德中学高 2011 级第三学期期中数学试题(理科)
命题人:杨世卿 审题人:陈杰
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。每小题仅有一个正确答案。 1.以下角:①异面直线所成角;②直线和平面所成角;③二面角的平面角; ④空间中,两 向量的夹角,可能为钝角的有 ( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 2. 一种冰激凌

机的模型上 半部分是半球,下半部分是圆锥,其三视图 如图所示,则该型号蛋糕的表面积 S 是( ) A. 115? B. 110? C. 105? D. 100? 3. 一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为 45°,腰和上 底长均为 1 的等腰梯形,则这个平面图形的面积是( ) 1 2 2 A. + B.1+ C.1+ 2 D.2+ 2 2 2 2 4.已知两不同直线 m, n 与三不同平面 ? , ? , ? ,下列条件能推出 ? ∥ ? 的是 A. ? ? ? 且 ? ? ? ( )

10. 有一个长方体容器 ABCD? A1 B1C1 D1 ,装的水占恰好占其容积 的一半; ? 表示水平的桌面,容器一边 BC 紧贴桌面,沿 BC 将其翻 转使之略微倾斜,最后水面(阴影部分)与其各侧棱的交点 分别是 ....... ,设翻转后容器中的水形成的几何体是 M ,翻转过 EFGH (如图) 程中水和容器接触面积为 S ,则下列说法正确的是 ( ) .. A. M 是棱柱, S 逐渐增大 B. M 是棱柱, S 始终不变 C. M 是棱台, S 逐渐增大 D. M 是棱台, S 积始终不变 11. 如图,矩形 ABCD 的长 AB ? 2 ,宽 AD ? x ,若 PA ? 平面 ABCD , 矩形的边 CD 上至少有一个点 Q ,使得 PQ ? BQ ,则 x 的范围是( ) ..... A. 0 ? x ? 1 B. 0 ? x ? 2 C. 1 ? x ? 2 D. x ? 1
D Q C P

A

B

B. m ? ? , n ? ? , m // n C. m ? ? 且 m ? ? D. m ? ? , n ? ? , m // ? , n // ? 5.下面四个说法中,正确的个数为 ( ) ..... ①相交于同一点的三条直线在同一平面内; ② ?ABC 在平面 ? 外,其三边延长线分别和 ? 交于 P, Q, R ,则 P, Q, R 一定共线; ③一个角的两边所在直线分别平行于另一个角的两边所在直线,则这两角相等; ④在三维空间中,三个平面最多把空间分成八部分。 A.1 B.2 C.3 D.4 6. 在正三棱柱(底面是正三角形, 侧棱和底面垂直) ABC ? A1 B1C1 中,AB ? 线 AB1 与 C1 B 成角的大小为( ) A.60° B.90° C.105 D.75° 7. 如图,空间四边形 ABCD 四边相等,顺次连接各边中点 E , F , G, H ,则 四边形 EFGH 一定是( ) A.菱形 B.正方形 C.矩形
? ? ? ? ? ?

x y 12.我们知道,在平面直角坐标系中,方程 ? ? 1 表示的图形是一条直 a b 线,具有特定性质: “在 x 轴, y 轴上的截距分别为 a, b ” ;类比到空间直角坐标系中,方程 x y 设此图形为 m , m 与 zoy 平面所 若 ? ? z ? 1 表示的点集对应的图形也具有某特定性质, ? 3
成角正弦值为 2 5 ,则正数 ? 的值是( ..
5



A.

5 2

B.

2 15 15

C. 2 3
?

D. 3
? ? ?

二、填空题:本大题共四小题,每小题 4 分,共 16 分。请将最简结果填在横线上。 13.由空间向量基本定理可知,空间任意向量 p 可由三个不共面的向量 a , b , c 唯一确定地表示 为 p ? x a? y b? z c , 则称 ( x, y, z ) 为基底 ? a , b , c ? 下的广义坐标. 特别地, ? a , b , c ? 当
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

2BB1 ,则异面直
A H E D F

为单位正交基底时,( x, y, z ) 为直角坐标. i , j , k 分别为直角坐标 设 中 x, y, z 轴正方向上的单位向量,则空间直角坐标 (1,2,3) 在基底
G C

D.空间四边形
?
? ? ? ?

8.空间作用在同一点的三个力 F 1 , F 2 , F 3 两两夹角为 60 ,大小分别 B 为 | F 1 |? 1, | F 2 |? 2, | F 3 |? 3 ,设它们的合力为 F ? F 1 ? F 2 ? F 3 , 则( )
? ? 7 9 B. | F |? 25 ,且与 F1 夹角余弦为 10 10 ? ? ? ? 7 4 C. | F |? 5 ,且与 F1 夹角余弦为 D. | F |? 5 ,且与 F1 夹角余弦为 10 10 ? 9.异面直线 a, b 所成角为 ,直线 c ? a ,且 c 也与 b 异面,则直线 3 与 c 所成的角的范围为 ( ) b ? ? ? ? ? 2? ? ? A. [ , ] B. [ , ] C. [ , ] D. [ , ] 6 3 6 2 3 2 3 3

? i ? j , i ? j , k ? 下的广义坐标为___________. 14. 如图,平面直角坐标系中, A(1,2) , B(?1,?2) ,将其所在纸面沿 x
轴折成 60 的二面角,则折起后的 A, B 两点的距离是 . 15.球放在墙角(两墙面,地面分别两两垂直) ,紧靠墙面和底面,墙角顶点到球面上的点的最 远距离是 3 ? 1 ,则球的体积是 . (半径为 R 的球体积公式: V ? 4 ?R 3 )
3
o

?

? ?

? ?

A. | F |? 25 ,且与 F1 夹角余弦为

?

?

16.关于图中的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 ,下列说法正确的有: ___________________. ① P 点在线段 BD 上运动,棱锥 P ? AB1 D1 体积不变; ② P 点在线段 BD 上运动,二面角 P ? B1 D1 ? A 不变; ③一个平面 ? 截此正方体,如果截面是三角形,则必为锐角三角形; ④一个平面 ? 截此正方体,如果截面是四边形,则必为平行四边形; ⑤平面 ? 截正方体得到一个六边形(如图所示) ,则截面 ? 在平面 AB1 D1 与平面 BDC1 间平行移动时此六边形周长先增大,后减小。
A1 G J D H A I B C D1 F E B1 C1

2012-11

高二数中(理)

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班级: 姓名: 考号: 座位号: ????????????????密????????????????封???????????线???????????????

树德中学高 2011 级第三学期期中数学试题(理科)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。请将最简结果填在横线上。

19.(12 分)如图, AB 是⊙ O 的直径, PA 垂直于⊙ O 所在的平面,

C 是圆周上不同于 A, B 的一动点.
(1)证明: ?PBC 是直角三角形;

13.

14.

15.

16.

(2)若 PA ? AB ? 2 ,且当二面角 P ? BC ? A 的正切值为 2 时, 直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明或演算步骤。 17. 长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 ,其左视图沿 AB 方向投影,左视图如图. (1)证明: AC1 ? B1C ; (2)当 AC1 长为 6 时,求多面体 B1 ? ABC1 D1 的体积.

D1 A1 D A B1

C1

C B
20.(12 分)点 O 是边长为 4 的正方形 ABCD 的中心,点 E , F 分别是 AD , BC 的中点.沿 对角线 AC 把正方形 ABCD 折成直二面角 D ? AC ? B . (1)求 ?EOF 的大小; (2)求二面角 E ? OF ? A 的余弦值.

18.(12 分)两个边长均为 3 的正方形 ABCD 和 ABEF 所在平面垂直相交于 AB , M ? AC, (2) N ? FB ,且 AM ? FN .(1)证明:MN // 平面 BCE ; 当 AM ? FN ? 2 时,求 MN 的长度.

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21.(12 分)随着环保理念的深入,用建筑钢材余料创作城市雕塑逐渐流行.下图是其中一个抽 象派雕塑的设计图。图中 ? 表示水平地面,线段 AB 表示的钢管固定在 ? 上;为了美感, 需在焊接时保证:线段 AC 表示的钢管垂直于 ? , BD ? AB ,且保持 BD 与 AC 异面。 (1)若收集到的余料长度如下: AC ? BD ? 24 (单位长度) AB ? 7 , CD ? 25 ,按现在 , 手中的材料,求 BD 与 ? 应成的角; (2)设计师想在 AB , CD 中点 M , N 处再焊接一根连接管,然后挂一个与 AC , BD 同时平 行的平面板装饰物。但他担心此设计不一定能实现。请你替他打消疑虑:无论 AB , CD 多 长,焊接角度怎样,一定存在一个过 MN 的平面与 AC , BD 同时平行(即证明向量 MN .. 与 AC , BD 共面,写出证明过程) ; (3) 如果事先能收集确定的材料只有 AC ? BD ? 24 ,请替设计师打消另一个疑虑:即 MN 要准备多长不用视 AB ,CD 长度而定, 只与 ? 有关( ? 为设计的 BD 与 ? 所成 的角) ,写出 MN 与 ? 的关系式,并帮他算出无论如何设计 MN 都一定够用的长度.
?
?
?

22. (14 分)一块边长为 10 的正方形纸片,按如图所示将阴影部分裁下,然后将余下的四 个全等的等腰三角形作为侧面制作一个正四棱锥 S ? ABCD (底面是正方形,顶点 在底面的射影是底面中心的四棱锥) . (1)过此棱锥的高以及一底边中点 F 作棱锥的截面(如图) ,设截面三角形面积为 y , 求 y 的最大值及 y 取最大值时的 x 的值; (2)空间一动点 P 满足 SP ? a SA ? b SB ? c SC (a ? b ? c ? 1) ,在第(1)问的条件
?

?

?

?

?

下,求 | SP | 的最小值,并求取得最小值时 a, b, c 的值; (3)在第(1)问的条件下,设 F 是 CD 的中点,问是否存在这样的动点 Q ,它在此棱 锥的表面(包含底面 ABCD. )运动,且 FQ ? AC ?如果存在,计算其运动轨迹的 .. 长度,如果不存在,说明理由.
S

A O E B C F

D

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树德中学高 2011 级第三学期期中数学试题(理科)参考答案
一、选择题。 1-5 B A D C B 二、填空题。 13. ? 6-10 B C C A B 11-12 A D

18. (1)证明:法一:如图一,作 MP⊥BC,NQ⊥BE, P、Q 为垂 足,连接 PQ,则 MP∥AB,NQ∥AB. 所以 MP∥NQ,又 AM=NF,AC=BF,所以 MC=NB. 又∠MCP=∠NBQ=45° ,所以 Rt△MCP≌Rt△NBQ, 所以 MP=NQ.故四边形 MPQN 为平行四边形. 所以 MN∥PQ. …..4 分

?3 1 ? ,? ,3 ? ?2 2 ?

14. 2 2

15.

4 ? 3

16. ①②③

因为 PQ∥平面 BCE,MN∥平面 BCE,所以 MN∥平面 BCE…..6 分 法二:如图二,过 M 作 MH⊥AB 于 H,则 MH∥BC.

小题部分可参考课本(如下表) : 题号 5 7 P46,例 2 及探究 《选修》 P99 2 10 P4 6 3 12 思 路 类 似 P137 探究 15 《必 2》 第 2 章各节都出 现 的 构 造 长 (正)方体模型 的思想。 6 《选 2-1》 P117 3,4 8 P105 例 1, P107 例3 三、解答题: 17. (1)证明:由长方体性质知, AB ? 平面BB1C1C ? AB ? B1C 又?由左视图知 B1C ? BC1 , ? B1C ? 平面ABC1 , 而? AC1 ? 平面ABC1 ,? AC1 ? B1C .…..6 分(直接用三垂线定理也给分) (2)由 AC1 ? 6 ? 1 ? 1 ? AB ? AB ? 2 ,
2 2 2

16 综合 P57 例 2, P78 4,P79 2

AM AH FN AH 所以 = .连接 NH,由 BF=AC,FN=AM 得 = , AC AB FB AB 所以 NH∥AF∥BE. …..2 分

《必 2》 P46 定 理 P52 习题 7, P53 习 题 2,

…..4 分 因为 MN∥平面 MNH,所以 MN∥平面 BCE. …..6 分 (2)如上问图二,由比例关系易得: 在 Rt?ABC 中, MH ? 1, NH ? 2 ,? MN ?

13 P9 8 11

14 模型来自

7 《选修》

5 。…..12 分

P106, 2, P99 2 例 P107,2

(此题模型来自《选修 2-1》P113,B 组第 2 题) .

? C在在圆O上 ? BC ? AC ? (1)证明: ? ? BC ? 平面PAC ? ? PA ? 平面ABC ? BC ? PA? 19. ? PC ? PAC ? ? BC ? PC ? ?BPC是直角三角形。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?6分 ??
(2)如图,过 A 作 AH ? PC于H ,? BC ? 平面PAC ? BC ? AH ,

? AH ? 平面PBC ,则 ?ABH 即是要求的角。…..8 分
?已证BC ? 平面PAC ? BC ? PC, BC ? AC ,? ?PCA 二面角 P ? BC ? A 的平面角…..9 分

?矩形 ABC1 D1 的面积 S ? 2 ? 12 ? 12 ? 2 2 ,
又上问已证? B1C ? 平面ABC1 , B1 到 ABC1 D1 的距离即

12 ? 12 2 ? , 2 2

tan ?PCA ?

PA ? 2 , 又 PC ? 2 ? AC ? 2 …..10 分 ? 在 Rt?PAC 中 , AC

?要求的体积是 V ? ? 2 2 ?

1 3

2 2 ? .…..12 分(用切割前后体积比求亦给分) 2 3

AH ?

(此题综合《必修 2》第 2 章各节都出现的长方体模型)

2 3 2 3 ? 3 ,…..11 分?在 Rt?ABH 中, sin ?ABH ? 3 , ? 2 3 PA 2 ? AC 2 3
PA ? AC

即 AC 与平面 PBC 所成角正弦值为

3 。..…...12 分(建直角坐标系或向量法亦给分) 3

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(此题模型来自《必修 2》P69,例 3 及探究) 20.解法一: (1)如图,过点 E 作 EG⊥AC,垂足为 G,过点 F 作 FH⊥AC,垂足为 H,则
EG ? FH ? 2 , GH ? 2 2 .
D H E M O G A B A F E M G O B H F C C D

?1 ? y ? 2 z ? 0, ? 解得 y ? 0, ? ? 2 y ? 0, ?

z??

?? 2 2 .所以, n1 ? (1, 0, ? ) .…..9 分 2 2

又因为平面 AOF 的法向量为 n2 ? (0, 0,1) ,…..10 分

?? ?

?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 3 ? ? cos ? n1 , n2 ?? ??? ?? ? .…..11 分 | n1 || n2 | 3
且根据方向判断,二面角 E ? OF ? A 的大小为余弦为 (此题改编自《选修 2-1》P118,12) 21.解:(1) 解法一:设 D 在 ? 上的射影为 H

3 .…..12 分 3

因为二面角 D-AC-B 为直二面角,? EF 2 ? GH 2 ? EG2 ? FH 2 ? 2EG ? FH cos90?

? AC ? ? , DH ? ? ? AC // DH ,? AC, DH 共面,?过 D 作 DK ? AC 于 K ,
则 AHDK 为矩形,设 DH ? h ,则 ( AC ? h) ? AH ? CD ,①
2 2 2

? (2 2) ? ( 2) ? ( 2) ? 0 ? 12.
2 2 2

又在 ?EOF 中, OE ? OF ? 2 ,

? cos ?EOF ?

OE 2 ? OF 2 ? EF 2 22 ? 22 ? (2 3) 2 1 ? ? ? . ??EOF ? 120? .…..6 分 2OE ? OF 2? 2? 2 2

由三垂线定理易知

(2)过点 G 作 GM 垂直于 FO 的延长线于点 M,连 EM. ∵二面角 D-AC-B 为直二面角,∴平面 DAC⊥平面 BAC,交线为 AC, 又∵EG⊥AC,∴EG⊥平面 BAC.∵GM⊥OF,由三垂线定理,得 EM⊥OF. ∴ ?EMG 就是二面角 E ? OF ? A 的平面角.…..9 分 在 Rt ? EGM 中, ?EGM ? 90 , EG ?
?

BH ? AB ? AH 2 ? AB 2 ? BH 2 ? AB 2 ? ( BD 2 ? h 2 ) ②
将②代入①,得: (24 ? h) ? 7 ? (24 ? h ) ? 25 ,解得 h ? 12 ,
2 2 2 2 2

1 2 , GM ? OE ? 1 , 2
z D E O A x B F

于是 sin ?DBH ?

1 ? ? ,? ?DBH ? 30 ,即 BD 与 ? 所成的是 30 。 2

解法二:按教师教学用书 P102 的建坐标系方法(如图) 。得到

∴ tan ?EMG ?

3 EG ? 2 ,? COS?EMG ? 3 GM

A(0,0,0), B(0,7,0), C (0,0,24) ,,设 D( x, y, z )
由 BD? AB ? ( x, y ? 7, z ) ? (0,7,0) ? 0 ? y ? 7 , C y
? ?

所以,二面角 E ? OF ? A 的余弦值为

3 。…..12 分 3

解法二: (1)建立如图所示的直角坐标系 O-xyz,

? x 2 ? z 2 ? 24 由 BD ? 24, CD ? 25 ? ? 2 2 2 ? x ? 7 ? ( z ? 24) ? 25 ,
? ?

??? ? ??? ? 则 OE ? (1, ?1, 2) , OF ? (0, 2, 0) .

? x ? 12 3, z ? 12
? D(12 3,7,12) ,? BD ? (12 3 ,0,12 ) ? cos? ?
?
?

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? OE ? OF 1 ? ? ? cos ? OE , OF ?? ???? ??? ? ? .??EOF ? 120? .…..6 分 2 | OE || OF |
(2)设平面 OEF 的法向量为 n1 ? (1, y, z ) . 由 n1 ? OE ? 0, n1 ? OF ? 0, 得

BD? AC BD ? AC
? ?

?

?

?

? ? 1 ? ? BD? AC ?? 60 ? , 2

??

且 CA 是 ? 的一个法向量,?根据图中方向可知, BD 与 ? 应成角为 30 。
?

?? ??? ?

?? ??? ?

解法三:向量法(理科)

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? CD ? CA? AB? BD ?? CD ? CA? AB? BD ? (CA? AB? BD) ?(CA? AB? BD)
? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? ?

?

?

?

?

?

2

?

?

?

2

?

?

?

?

?

?

(2) 由 SP ? a SA ? b SB ? c SC ,且 a ? b ? c ? 1 ,得 ?a ? b ? c ? SP ? a SA ? b SB ? c SC ,

?

?

?

?

?

?

?

?

? a ( SP? SA) ? b( SP? SB) ? c( SP? SC) ? 0 , ? a PA ? ?b PB ? c PC ,
即 (此处直接用结论酌情给分) ? PA, PB, PC 共面,? P, A, B, C 共面, P ? 平面ABC 。
? ?
? ? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

? CA ? AB ? BD ? 2(CA? AB? AB? BD? BD? CA)
即 25 2 ? 24 2 ? 7 2 ? 24 2 ? 2(0 ? 0 ? 24 ? 24 ? cos ? BD, CA ?) 解得: cos ? BD, CA ?? ?
? ?
? ?

1 , 2

? BD, CA 夹角为 120 ? ,且 CA 是 ? 的一个法向量,?根据图中方向可知: BD 与 ? 所成的角
为 30 ? (第(1)问 4 分) (2)解:由向量加法的三角形法则

?

5 2 ? x? 。..7 分 ? | SP | min 即是 S 到平面 ABC 的距离 SO ,在上问条件下, SO ? 5 ? ? ? ? 2 ?2?
2

?

2

? 1 ? ? 1 ? 1 ? 1 1 ( SA? SC) ? SA? 0 ? SB? SC ,即 a ? , b ? 0, c ? 。..9 分 2 2 2 2 2 (3)存在这样的点的轨迹,下面说明:取 BC 的中点 G , SC 中点 T ,连接

此时 SP ? SO ?

?

?

S

FG, GT , TF , 易 证 明 AC ? 平 面 G F T 。( 可 由 AC ? 平面SBD, 且
? ?

MN ? MA ? AC ? CN , MN ? MB ? BD? DN ,
两式相加即得 MN ?
?

?

?

?

?

?

?

平面TGF // 平面SBD, 也可证 AC ? GT , AC ? FT 等,均给分),此
时,只要 Q 在平面 GFT 与棱锥的表面的交线上运动,
A

T D
H

1 ? 1 ? AC ? BD 。 2 2
? ? ?

O F C B G

均有 FQ ? AC . 此时,由中位线性质可知,

则共面向量的判定定理得到 MN , AC , BD 共面。 从而一定存在一个过 MN 的平面与 AC , BD 同时平行。…..8 分 (注:此问 4 分,关键证出: MN ?
?

?GFT 的周长 l ?

1 ? 1 ? AC ? BD ,理科如果没有依照题意,而是用传统方 2 2

1 ( SB ? BD ? SD) ? 1 ( 5 2 ? ( x ) 2 ? 5 2 ? ( x ) 2 ? 2 x) 2 2 2 2

法证明,方法正确,或者直接使用这个向量结论,则得部分的分) (3)由第上一问的结果得:

x 2x 5 6 ? 10 ? 52 ? ( ) 2 ? ,在(1)的条件下, l ? …..14 分 2 2 2
(注一:找出来,并作图,给 2 分,说明 2 分,周长 1 分) (注二:作图顺序和方式可能不同,但目标只要是找过点 F 和直线 AC 垂直的平面,与棱锥 ...... ... ..... ... 的表面的交线,即给分,例如上面找平面 GFT 的过程亦可先连接 GF 与 AC 交于 H ,过 H ...... 作 HT // SC 于 T ,这样找到 T 的过程已经证明了平面 GFT 是 AC 的垂面) (此题改编自《必修 2》P37,4)

1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ? | MN | ?| AC ? BD | 2 ? | AC | 2 ? | BD | 2 ? AC? BD 2 2 4 4 2 ? ? ? ? 1 1 1 ? 1 1 ? | AC |2 ? | BD |2 ? ? | AC | ? | BD | cos( ? ? ) ? (24 2 ? 24 2 ) ? 24 2 sin? 4 4 2 2 4 2
2

?

? ? 288(1 ? sin? ) (单位长度)? | MN |? 288 (1 ? sin ? ) ? 14 2(1 ? sin ? ) …..10 分
由题意, ? ? (0,

?

?
2

) ,? | MN |? (14 2 ,28) ,即 MN 准备 28 (单位长度)就一定够用。

?

…..12 分 (此题模型来自《选修 2-1》P113,例 9,P111,练习 1)
2 22. (1)由题意, y ? 1 EF ? SO ? 1 ? x ? 5 2 ? ? x ? ? x 25 ? x , (0 ? x ? 10 ) , ? ? 2 2 2 4 ?2? 2

进一步化为: y ?
?y ?

x 100 ? x 2 , (0 ? x ? 10 ) (注:两个形式的结果都给分)….2 分 4

x 100 ? x 2 1 2 1 x 2 ? 100 ? x 2 25 。 ? x (100 ? x 2 ) ? ? ? 4 4 4 2 2
2 2

当且仅当 x ? 100 ? x (0 ? x ? 10) ,即 x ? 5 2 时取得最大值。…..4 分
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成都市“六校联考”高2012级第三学期期中试题(理数)纯word版

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四川省成都树德中学高12-13学年高二上学期期中考试 数学理

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