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2014届景德镇市高三第一次质检数学试卷(理,含答案)


景德镇市 2014 届高三第一次质检试卷 数 学(理科)
命题人:江 宁(市一中) 张勋达 (市二中) 审校人:刘 倩 叶柔涌(昌江一中) 许 敏(乐平中学) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟.

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出

的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.

1. (

2 2 2 ? i ) =( 2 2


B.-1 C.i D.-i )

A.1 2.

函数 y ? f (2 x ? 1) 的定义域为 [0?,1] ,则 y ? f ( x) 的定义域为( ? A. [?1,1] ?? B. [ ?,1] ?
2

1 2

C. [0?,1] ?

D. [?1,?0] ? )

3.

若函数 f ( x) ? sin 2 x ? 2sin x ? sin 2 x ,则 f ( x) 是( A.最小正周期为 ? 的偶函数 C.最小正周期为 2 ? 的偶函数

B.最小正周期为 ? 的奇函数 D.最小正周期为

? 的奇函数 2

4.

一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图与左视图均 为半径是 2 的圆,则这个几何体的体积是( ) A. 8? C. 14? B. 12? D. 16?

5. 若 ( x ?

1 7 ) 的展开式中 x 项的系数为 280,则 a = ax 1 A. ?2 B. 2 C. ? 2

D.

1 2

6. 已知等比数列 {an } 公比为 q ,其前 n 项和为 S n ,若 S 3 、 S 9 、 S 6 错误!未找到引用源。 成等差数列,则 q 等于( A.错误!未找到引用源。
3

) B. 1 C.错误!未找到引用源。

或1 7.

D.错误!未找到引用源。 设 F ( x) ? 2 x ? 1 ,若 F ?( x) ? f ( x) ,则 A. 2 2 B. 2

?

2

0

f (2 x)?dx 的值为(



C. 2

D. 1

8.

甲、乙两名棋手比赛正在进行中,甲必须再胜 2 盘才最后获胜,乙必须再胜 3 盘才最后 获胜,若甲、乙两人每盘取胜的概率都是 A. 错误! 未找到引用源。

3 4

1 ,则甲最后获胜的概率是( 2 11 5 B. C. 8 16

) D.

9 16

9. 已知双曲线 C :

x2 y2 ? ? 1 ,若存在过右焦点 F 的直线与双曲线 C 相交于 A、B 两点 a 2 b2
) D. 2 2

且 AF ? 3BF ,则双曲线离心率的最小值为( A. 2 B. 3 C. 2

??? ?

??? ?

10. 如图, 已知正方体 ABCD? A1 B1C1 D1 上、 下底面中心分别为 O1 , O2 , 将正方体绕直线 O1O 2 旋转一周,其中由线段 BC1 旋转所得图形是( )
D1 A1 O1 B1 D A O2 B C C1

A

B

C

D

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

?? 11. 设 a ? (2?,?4) , b ? (1,1) ,若 b ? (a ? mb) ,则
实数 m ? ________. 12. 执行如右图所示的程序框图所表示的程序,则所得的结 果为 .

?

?

?

?

?

? y ? x2 ? x 13. 记不等式 ? 所表示的平面区域为 D,直线 ?y ? x

1 y ? a( x ? ) 与 D 有公共点,则 a 的取值范围是________. 3
14. 工人在安装一个正六边形零件时,需要固定如图所示的六个位置的螺丝, 第一阶段,首先随意拧一个螺丝,接着拧它对角线上(距离它最远的, 下同)螺丝,再随意拧第三个螺丝,第四个也拧它对角线上螺丝,第五个和 第六个以此类推,但每个螺丝都不要拧死;

第二阶段,将每个螺丝拧死,但不能连续拧相邻的 2 个螺丝。则不同的 固定方式有________. 三、选做题:请在下列两题中任选一题作答,若两题都做,则按第一题评阅计分,本题共 5 分. 15. (1) 在极坐标系中, ? ? 4cos ? 的圆心到直线 ? sin(? ? 圆
2

?
4

) ? 4 2 的距离为



(2) 若关于实数 x 的不等式 | x ? 1| ? | x ? 2 |? a ? a ? 3 的解集是空集, 则实数 a 的取值 范围是____________. 四、解答题:本大题共 6 题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 4cos x sin( x ? (1)求 a 的值及 f ( x) 的最小正周期; (2)在坐标纸上做出 f ( x) 在 [0?,?? ] 上的图像.

?
6

) ? a 的最大值为 2.

17. (本小题满分 12 分)如图,从 A 到 B 有 6 条网线,数字表示该网线单位时间内 可以通过的最大信息量,现从中任取 3 条网线且使每条网线通 过最大信息量,设这三条网线通过的最大信息之和为 ? . (1)当 ? ? 14 时,线路信息畅通,求线路信息畅通的概率; (2)求 ? 的分布列和数学期望.

A

3 4 5 6 4 3

B

18. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 数 列 ?an ? 各 项 为 非 负 实 数 , 前 n 项 和 为 S n , 且
2 Sn ? n 2Sn ? (n 2? 1)? 0

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)当 n ? 2 时,求

1 1 1 1 ? ? ?? ? . S 2 ? 2 S3 ? 2 S 4 ? 2 Sn ? 2

19.(本小题满分 12 分)如图,平面 ABDE ? 平面 ABC , ?ABC 是等腰直角三角形,

AB ? BC ? 4 ,四边形 ABDE 是直角梯形, BD / / AE , BD ? BA , BD ?

1 AE ? 2 , 2

点 O 、 M 分别为 CE 、 AB 的中点。 (1) 求证: OD / / 平面 ABC ; (2) 求直线 CD 和平面 ODM 所成角的正弦值; (3) 能否在 EM 上找到一点 N ,使得 ON ? 平面 ABDE ?若能,请指出点 N 的位 置,并加以证明;若不能,请说明理由 . E

O

D A M B C

20.(本小题满分 13 分)已知直线 l : (1 ? 3? ) x ? (3 ? 2? ) y ? ( 3 ? 3? ) ? 0 (? ? R) ,一 定经过椭圆 C(中心在原点,焦点在 x 轴上)的焦点 F,且椭圆 C 上的点到焦点 F 的最大距离 为2? 3 . (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若斜率为 k ( k ? 0) 的直线 n 交椭圆 C 与 A 、 B 两点,且 kOA 、 k 、 kOB 成等差数列, 点 M(1,1) ,求 S ?ABM 的最大值.
1 ? x? 1 2 21.(本小题满分 14 分)设 f ( x) ? (1 ? x)(ax ? bx ? c) , g ( x) ? ?e 2 ? | ln( x ? 1) | ?k 2

(1)若 f ( x) 的图像关于 x ? ?1 对称,且 f (1) ? 2 ,求 f ( x) 的解析式; (2)对于(1)中的 f ( x) ,讨论 f ( x) 与 g ( x) 的图像的交点个数.

景德镇市 2014 届高三第一次质检试卷(理科)数学
参考答案 一、选择题 题号 答案 二、填空题 11. 1 D 2 A 3 D 4 A 5 C 6 A 7 B 8 B 9 C 10 D

?3

12.

?

4 3
(2)

13.

1 6 [? ??? ] 3 7

14.

2880

三、选做题 15. (1)

3 2

?1 ? a ? 2

四、解答题 16. 解: (1) f ( x) ? 2sin(2 x ? ∴ a ? ?1 T ?? (2)如右图

?
6

) ?1? a

最大值为 2

17. 解: (1)三条网线共有 20 种选择,其中 ? ? 14 的有 5 种 ∴P ?

1 4 1 10 P(? ? 11) ? 3 20 P(? ? 12) ? 1 4 P(? ? 1 3 ? ) 1 4

( 2 ) P(? ? 10) ?

P(? ? 14) ?

3 20 1 10

P(? ? 15) ?
分布列:

? ?i
P(? ? i)

10

11

12

13

14

15

1 10

3 20

1 4

1 4

3 20

1 10

E? ? 10 ?
2

1 3 1 1 3 1 25 ? 11? ? 12 ? ? 13 ? ? 14 ? ? 15 ? ? . 10 20 4 4 20 10 2
2

18. 解: (1)∵ S n ? n S n ? (n ? 1) ? 0
2

?

2 ( Sn ? 1 )Sn ? n( ? [

1) ] ?

0

又 ∵ 数列 ?an ? 各项为非负实数 ∴ ∴ 当 n?2 时 当 n ?1 时

Sn ? n2 ? 1

an ? Sn ? Sn?1 ? 2n ? 1 a1 ? S1 ? 2

(2)当 n ? 2 时

1 1 1 1 ? ? ?? ? S 2 ? 2 S3 ? 2 S 4 ? 2 Sn ? 2
2

1 1 1 1 ? 2 ? 2 ??? 2 2 ?1 3 ?1 4 ?1 n ?1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? [( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )?( ? )] 2 1 3 2 4 3 5 4 6 n?2 n n ?1 n ? 1 ?
1 1 1 1 1 3 2n ? 1 ? ( ? ? ? )? ? 2 1 2 n n ? 1 4 2n(n ? 1)
19.解:以 B 为原点,BC 为 x 轴,BA 为 y 轴,BD 为 z 轴,建立空间直角坐标系

C ( 4 ? 0 ? ,)A(0?,???,?0) , D(0?,?0?,??) , E (0?,???,??) , O(2?,???,??) , M (0?,???,?0) ?, ?,0
(1)平面 ABC 的法向量 n1 ? (0?,?0?,??) , DO ? (2?,???,??) , DO ? n1 ? 0 ∴ OD//平面 ABC (2)设平面 ODM 法向量为 n2 ,直线 CD 与平面 ODM 所成角为θ

??

????

???? ??

?? ?

???? ???? ? DO ? (2?,???,??) , DM ? (0?,???,?? ?) ,∴

? ?? n2 ? ( ?1 ?, ?1 ?, ?1 )

??? ? CD ? (?4?,???,??)

??? ?? ? ? CD ? n2 15 ? ?? ? ? ∴ sin ? ? ??? 5 | CD | ? | n2 |
(3)设 EM 上一点 N 满足, BN ? ? BM ? (1 ? ? ) BE ? (0?,?? ? ???,?? ? ?? )

????

???? ?

??? ?

? 平面 ABDE 法向量 n3 ? (1,???,??) , ON ? BN ? BO ? (?2?,?? ? ???,?? ? ?? )
不存在 ? 使 n3 / / ON (传统方法参照给分) 20.解答 1)

?? ?

????

???? ??? ?

?? ?

????

∴ 不存在满足题意的点 N

x2 ? y 2 ? 1……………………(4 分) 4
y ? kx ? m

2) 由题意可知,直线 l 的斜率存在且不为 0 ,故可设直线 l 的方程为

? y ? kx ? m P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) 满足 ? 2 , 2 ?x ? 4 y ? 4 ? 0
消去 y 得 (1 ? 4k ) x ? 8kmx ? 4(m ? 1) ? 0 .
2 2 2

? ? 64k 2 m2 ? 16(1 ? 4k 2 )(m2 ? 1) ? 16(4k 2 ? m2 ? 1) ? 0 ,
且 x1 ? x2 ?

?8km 1 ? 4k 2

, .

因为直线 oA, AB, OB 的斜率依次成等差数列, 所以,

y1 y2 ? ? 2k ,即 x1 y2 ? x2 y1 ? 2kx1 x2 , x1 x2
……………………(9 分)
2



y ? kx ? m ,所以 m( x1 ? x2 ) ? 0 ,

即 m=0.

? x ? y2 ? 1 联立 ? 4 ? y ? kx
又点 M 到

易得弦 AB 的长为

1? k 2

4 1 ? 4k 2

k ?1 k 2 ?1 k ?1 2 k ?1 1 4 1? k 2 ? 所以 s ? 2 1 ? 4k 2 k 2 ? 1 1 ? 4k 2 1 平方再化简求导易得 k ? ? 时 S 取最大值 5 ……………………(13 分) 4
y ? kx 的距离 d ?
21.解: (1)∵ f ( x) ? ∴

1 (1 ? x)(ax 2 ? bx ? c) 的图像关于 x ? ?1 对称 2

f ( x) 为二次函数且对称轴为 x ? ?1 ∴ a ? 0
又 ∵

b?c

f ( 1 ) 2 ∴ b ? c ?1 ∴ ?


1 f ( x) ? (1 ? x) 2 2
? ) k| 1

(2) f ( x) ? g ( x)

1 ? x? 1 ( 1? x 2 ? ? e 2 ? | l n? ) x( 2

1 ? x? 1 2 即 k ? (1 ? x) ? e 2 ? | ln( x ? 1) | 2 1 ? x? 1 (1 ? x)2 ? e 2 ? | ln( x ? 1) | 2 1 2

令 h( x ) ?

① 当x ?0时

l n x ? 1? ( )

1 0 h?( x)? ( ? x ?) e

? x?

?

1 1? x

∵ (1 ? x) ?

1 ?2 1? x

e

? x?

1 2

? e2 ? 2

1

∴ h?( x) ? 0

即 h( x ) 在 (0?,?? ?) 递增 ② 当 ?1 ? x ? 0 时

l n x ? 1? ( )
? x?

1 0 h?( x)? ( ? x ?) e
1 2

? x?

1 2

?

1 1? x

1 ∵ (1 ? x) ? ?0 1? x
即 h( x ) 在 (?1,?0] 递减 ? ∵ h(0) ?

e

?0

∴ h?( x) ? 0

1 1 ? e2 2 h( x )?
1 ? x? 1 ( ? x2 ) e 2 ? 1 ? 2

当 x ? ?1时

| l ? ( ??????| ? n x 1)

当 x ? ?? 时

1 ? x? 1 2 h( x )? ( ? x ) e 2 ? 1 ? 2

| l ? ( ??????| ? n x 1)

∴① 当 k ?

1 1 ? e 2 时, f ( x) 与 g ( x) 的图像无交点; 2 1 1 ? e 2 时, f ( x) 与 g ( x) 的图像有一个交点; 2

② 当k ?

1 1 ③ 当 k ? ? e 2 时, f ( x) 与 g ( x) 的图像有两个交点. 2