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导数

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导数
提出问题:函数图象的切线的斜率和物体运动 的速度有共同点吗?

补充:极限

lim2 x ? x?3
含义是:函数f(x)=2x, 变量x趋向于3时, f(x)趋向于多少?

y轴 6

···
3
X轴

lim2 x ? 6 x?3

极限练习:
1.lim(2 x ? 3 x ? 10) ? 10
2 x ?0

1 2.lim ? x ??? x 1 3.lim ? x ??? x 1 4.lim ? x ?? x

0

0

0

5.lim(3 x ? 1) ? x ??2

-7

1 1 6.lim(3 ? ? ) ? 2 x ?? x x

3

一般地,已知函数y=f(x),x0,x1是其定义域内 不同的两点,记 △x=x1-x0, △y=y1-y0=f(x1)-f(x0)=f(x0+△x)-f(x0) 则当△x≠0时,商

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y ? ?x ?x

称做函数y=f(x)在区间[x0,x0+△x](或 [x0+△x,x0])的平均变化率.

平均变化率与导数 以函数y=-x2+10为例,考查函数在A(x0,y0) 到B(x1,y1)的平均变化率: 设自变量的改变量为x1-x0=△x, 相应的y1-y0=△y, 函数y=-x2+10在A(x0,y0)到B(x1,y1)的平均 变化率为: 2 2 f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) [?( x0 ? ?x) ? 10] ? [? x 0 ? 10] ? ? ( x0 ? ?x) ? x0 ( x0 ? ?x) ? x0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) [?( x0 ? ?x) ? 10] ? [? x 0 ? 10] ? ( x0 ? ?x) ? x0 ( x0 ? ?x) ? x0
2 2

?2 x0 ? ?x ? ?x ? ?x
? ?2 x0 ? ?x

2

当△x→0时,为A到B的瞬时变化率.

导数的定义:

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) →M 当△x→0时, ( x0 ? ?x) ? x0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 或记作: lim ? M ?x?0 ?x
函数在x0的瞬时变化率,通常称为f(x)在 x=x0处的导数,记作f’(x0)

例:设在10米跳台上,运动员跳离跳台时竖 直向上的速度为6.5m/s,运动员在时刻t距 离水面的高度为 h(t)=10+6.5t-4.9t2, 求运动员在2秒时的瞬时速度.

作业:
1.求函数y=ax+b的瞬时变化率

2.如果一个函数的瞬时变化率处处为0,这 个函数是什么函数? 3.求函数y=ax2+bx+c在x=1,x=2处的瞬时 变化率.


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