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高中数学课件:第二章 2.1 数列的概念与简单表示法 第二课时 数列的性质和递推公式

时间:2013-11-28


课前预习·巧设计

第 二 章 数 列

2.1 数列 的概 念与 简单 表示 法

第二 课时 数列 的性 质和 递推 公式

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[读教材·填要点] 1.数列的函数性质 (1)数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集 {1,2,…,n} )为定义域的函数a =f(n),当自变量按照 n 从小到大 的顺序依次取值时,所对应的一列函数值.

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(2)在数列{an}中,若 an+1>an ,则{an}是递增数列; 若 an+1<an ,则{an}为递减数列;若 an+1=an ,则

{an}为常数列.

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2.数列的递推公式

如果已知数列{an}的首项(或前n项)及相邻两项间的
关系可用一个公式来表示,那么这个公式叫做数列

的递推公式.

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[小问题·大思维]

1.数列是一种特殊的函数,你认为下列说法是否正确?
①数列可以用图形来表示;②数列不能用列表法表示;③ 数列若用图象表示,从图象上看是一群孤立的点;④数列 的通项公式就是相应函数的解析式. 提示:①③④正确.数列可以用列表法表示,故②错误.

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2.已知数列{an}中,a1=1,a2=2,an+2=an+1-an,则

a3,a4,a5为何值?
提示:a3=a2-a1=1,a4=a3-a2=-1,a5=a4-a3

=-2.

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3.如果数列{an}为递增数列,且an=n2+λn(n∈N*), 则实数λ应满足什么条件? 提示:因为{an}为递增数列,所以an+1>an. 即(n+1)2+λ(n+1)>n2+λn.

∴λ>-2n-1.
即λ>-3,故实数λ>-3.

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[研一题] [例1] 已知函数f(x)=2x-2-x,数列{an}满足f(log2an)

=-2n(n∈N*) (1)求数列{an}的通项公式; (2)判断数列{an}的增减性.

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[自主解答]

(1)∵f(x)=2x-2-x,f(log2an)=-2n,

1 ∴2log2an-2-log2an=-2n,即 an-a =-2n, n ∴a2 +2nan-1=0,解得 an=-n± n2+1. n ∵an>0,∴an= n2+1-n,n∈N*.

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an+1 ?n+1?2+1-?n+1? (2) a = n n2+1-n n2+1+n = <1. 2 ?n+1? +1+?n+1? ∵an>0,∴an+1<an .∴数列{an}是递减数列.

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2 若本例条件换为 f(x)=log2x-log x(0<x<1), 且数列 2 {an}满足 f(2an)=2n(n∈N*)呢?

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2 解:(1)∵f(x)=log2x- (0<x<1),① log2x f(2an)=2n,② 2 ∴log22an- =2n, log22an 2 即 an-a =2n. n

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∴a2 -2nan-2=0. n ∴an=n± n2+2③ 由 0<x<1,得 0<2an<1, ∴an<0.④ 由③④, an=n- n2+2, 得 此即为数列{an}的通项公式.

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an+1 ?n+1?- ?n+1?2+2 (2) a = = 2 n n- n +2 [?n+1?- ?n+1?2+2 ] ?n+ n2+2 ? [?n+1?+ ?n+1?2+2 ] ?n- n2+2 ? ?n+ n2+2 ? [?n+1?+ ?n+1?2+2]

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n+ n2+2 = <1, 2 ?n+1?+ ?n+1? +2 an+1 即 a <1.由于 an<0,∴an+1>an. n ∴数列{an}是递增数列.

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[悟一法] 判定数列单调性的方法: 本题是函数、方程与数列的典型结合与运用,要判 断数列{an}的增减性.只要比较an与an+1的大小,可以用 作差法或作商法.

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[通一类] 1.已知数列{an}中,a1=1,且对任意的n∈N*(n≥2),均

有an=3an-1+2,试写出该数列的前5项,并指出数列
的增减性.

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解:由于a1=1,an=3an-1+2(n≥2,且n∈N*), ∴a2=3a1+2=5, a3=3a2+2=3×5+2=17, a4=3a3+2=3×17+2=53, a5=3a4+2=3×53+2=161.

∴数列的前5项依次为1,5,17,53,161,该数列为递增数列.

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[研一题] 9n?n+1? 已知 an= 10n (n∈N*),试问数列{an}中有没

[例 2]

有最大项?如果有,求出这个最大项;如果没有,说明理由.

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[自主解答]

9 n+ 1 9 n 有.因为 an+1-an=(10) · (n+2)-(10) · (n+1)

9 n+ 1 10 9 n+1 8-n =(10) · [(n+2)- 9 (n+1)]=(10) · 9 ? 9 n+1 8-n ?? ? · 10 9 >0 ? ? 9 n+1 8-n =?? ? · 10 9 =0 ? ? 9 n+1 8-n ??10? · 9 <0 ? ?n≤7时? ?n=8时? ?n≥9时?

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所以 a1<a2<a3<…<a7<a8=a9>a10>a11>…,故 99 数列{an}存在最大项,最大项为 a8=a9=108.

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[悟一法] 已知数列通项公式求最大(小)项的基本思路: 已知数列的通项公式求数列的最大(小)项,其实质是 求函数的最大(小)值,但要注意函数的定义域,本题可以 利用差值比较法来探讨数列的单调性,以此求解最大项.

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[通一类] 18 n 2.在数列{an}中,an=(n+1)(19) (n∈N*). (1)求证:数列{an}先递增,后递减; (2)求数列{an}的最大项.

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18 n ?n+1??19? an 解:(1)∵ = 18 n-1 an-1 n·19? ? 18 n+1 =19× n (n≥2). an 当 >1 时, an-1 18 n+1 即19× n >1,

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解得 n<18; an 当 =1 时, an-1 18 n+1 即19× n =1. 解得 n=18; an 当 <1 时, an-1

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18 n+1 即19× n <1, 解得 n>18. ∴从第 1 项到第 17 项递增,从第 18 项起递减. 1818 (2)由(1)知 a17=a18=1917最大.

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[研一题] [例 3] 已知数列{an}满足下列条件,写出它的前 5 项,

并归纳出数列的一个通项公式. (1)a1=0,an+1=an+(2n-1); 2an (2)a1=1,an+1= . an+2

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[自主解答]

(1)∵a1=0,an+1=an+(2n-1),

∴a2=a1+(2×1-1)=0+1=1; a3=a2+(2×2-1)=1+3=4; a4=a3+(2×3-1)=4+5=9; a5=a4+(2×4-1)=9+7=16.

故该数列的一个通项公式是an=(n-1)2.
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2an (2)∵a1=1,an+1= , 2+an ∴a2= 2a1 2 2a2 1 =3,a3= =2, 2+a1 2+a2

2a3 2 2a4 1 a4= =5,a5= =3. 2+a3 2+a4

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2 1 2 1 ∴它的前 5 项依次是 1,3,2,5,3. 2 2 2 2 2 它的前 5 项又可写成 , , , , , 1+1 2+1 3+1 4+1 5+1 2 故它的一个通项公式为 an= . n+1

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[悟一法]

根据首项及递推公式写出数列的前几项,然后归纳、
猜想其通项公式,是本节课的重点,我们必须熟练地掌握 它,其中归纳猜想通项公式是难点,根据数列给出的前几 项写出一个通项公式的方法来处理,不同的是在写出前几 项时一般不对前几项化简,但有时化简后有利于观察其通 项公式,关键是尝试,而没有定法. 返回

[通一类] 3.已知数列{an},a1=2,an=2an-1(n≥2),求数列的通 项公式an.

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an 解:∵a1=2,an=2an-1,∴ =2. an-1 an an-1 a3 a2 ∴an= · · …· · ·1 a a2 a1 an-1 an-2 = 2 ? 2 ? ? ? ?2 ? 2 ? 2 =2 n . ???????
n个

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设{an}是首项为 1 的正项数列且(n+1)a2 +1-na2 n n +an+1·n=0(n∈N*),求 an. a

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[解]

2 法一:(累乘法)由(n+1)an+1-na2 +an+1an=0. n

得(an+1+an)(nan+1-nan+an+1)=0. 由于 an+1+an>0,∴(n+1)an+1-nan=0. an+1 n ∴ a = . n+1 n a2 a3 an ∴an=a1· · · a1 a2 …·n-1 a n-1 1 1 2 3 =1×2×3×4×…× n =n.

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法二:(换元法)由已知得(n+1)an+1-nan=0, 设 bn=nan,则 bn+1-bn=0.∴{bn}是常数列. 1 ∴bn=b1=1×a1=1,即 nan=1.∴an=n.

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