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高中新课标数学选修(2-2)综合测试题(2)


高中新课标数学选修(2-2)综合测试题
一、选择题 1.函数 f ( x) ? sin 2 x 的导数是( A. 2 sin x 答案:D
1 3 i ,则满足 z n ? z 的大于 1 的正整数 n 中,最小的是( 2.设复数 z ? ? ? 2 2 A.7 B.4 C.3 D.2

) C. 2 cos x D. sin 2x

/>
B. 2sin 2 x



答案:B 3.下列函数在点 x ? 0 处没有切线的是( A. y ? 3x2 ? cos x C. y ?
· B. y ? x sin x



1 ? 2x x

D. y ?

1 cos x

答案:C
2? 1 1 1? 4. ? ? ? 2 ? 3 ? dx ? ( 1 x ? ?x x



A. ln 2 ?

7 8

B. ln 2 ?

7 2

C. ln 2 ?

5 8

D. ln 2 ?

17 8

答案:A
1 5. 编辑一个运算程序: ? 1 ? 2,m ? n ? k,m ? (n ? 1) ? k ? 2 , 1 ?20 则 05

的输出结果为 (



A.4008 答案:D

B.4006

C.4012

D.4010

6.如下图为某旅游区各景点的分布图,图中一支箭头表示一段有方向的路,试计算顺着箭 头方向,从 A 到 H 有几条不同的旅游路线可走( )

A.15 答案:C

B.16

C.17

D.18

7.在复平面内,复数 z ? A.第一象限 答案:B

i ) ? (1 ? 3i)2 对应的点在( 1? i B.第二象限 C.第三象限

D.第四象限

8.在 △ ABC 中, ?A,?B,?C 分别为 a,b,c 边所对的角,若 a,b,c 成等差数列,则 ?B 的范围是( ? π? A. ? 0, ? ? 4? 答案:B 9.设 S (n) ? )
? π? B. ? 0, ? ? 3? ? π? C. ? 0, ? ? 2? ?π ? D. ? , π ? ?2 ?

1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? 2 ,则( n n ?1 n ? 2 n ? 3 n 1 1 ? 2 3 1 1 1 ? ? 2 3 4 1 1 1 ? ? 2 3 4



A. S (n) 共有 n 项,当 n ? 2 时, S (2) ?

B. S (n) 共有 n ? 1 项,当 n ? 2 时, S (2) ?

C. S (n) 共有 n 2 ? n 项,当 n ? 2 时, S (2) ?

D. S (n) 共有 n2 ? n ? 1 项,当 n ? 2 时, S (2) ?

1 1 1 ? ? 2 3 4

答案:D 10.若函数 f ( x) ? x2 ln x( x ? 0) 的极值点是 ? ,函数 g ( x) ? x ln x2 ( x ? 0) 的极值点是 ? ,则有 ( ) A. ? ? ? 答案:A 11.已知函数 f ( x) ? 是( ) B. ? ? ? C. ? ? ? D. ? 与 ? 的大小不确定

1 4 x ? 2 x3 ? 3m , x ? R ,若 f ( x) ? 9 ≥0 恒成立,则实数 m 的取值范围 2 3 2
C. m ≤

A. m ≥

3 2

B. m ?

3 2

D. m ?

3 2

答案:A

12.如图,阴影部分的面积是( A. 2 3 B. ?2 3

) C.

32 3

D.

35 3

答案:C 二、填空题 13.若复数 z ? (a2 ? 2a) ? (a2 ? a ? 2)i 为纯虚数,则实数 a 的值等于 .

答案:0 14.若函数 f ( x) ?

4x 2 在区中 (m,m ? 1) 上是单调递增函数,则实数 m 的取值范围是 x ?1
2



答案: ?1 ? m ≤ 0 - 15.类比等比数列的定义,我们可以给出“等积数列”的定义:
· 答案:对 n ? N? ,若 an ?1 an ? k ( k 是常数) ,则称数列 ?an ? 为等积数列;



1 ?5 (n ? 2 n ? 2 , 为奇数) (n ?2, 为奇数) ? Sn ? ? an ? ? (n ?3, 为偶数) ? 5 n. 为偶数) (n ?2 ?

2] 16.已知函数 f ( x) ? ? x3 ? 3x2 ? 9x ? m 在区间 [ ?2, 上的最大值是 20,则实数 m 的值等于

. 答案: ?2 三、解答题
, 17 . 已 知 抛 物 线 y ? x2 ? b x? c 点 (1 2 )处 的 切 线 与 直 线 x ? y ? 2 ? 0 垂 直 , 求 函 数 在

y ? x2 ? b x? c 的最值.

, 处的切线的斜率为 k ? 2 ? b , 解: 由于 y ? x2 ? bx ? c , 所以 y? ? 2 x ? b , 所以抛物线在点 (1 2) ) , 因为切线与直线 x ? y ? 2 ? 0 垂直,所以 2 ? b ? 1 ,即 b ? ?1 ,又因为点 (1 2) 在抛物线上,所

以 1 ? b ? c ? 2 ,得 c ? 2 .因为 y ? x2 ? x ? 2 ,于是函数没有最值,当 x ?

1 7 时,有最小值 . 4 2

18.已知数列 ?an ? 满足条件 (n ? 1)an ?1 ? (n ? 1)(an ? 1) , an 2 ? 6 ,令 bn ? an ? n(n ?N? ) ,求数 列 ?bn ? 的通项公式. 解: (n ? 1)an ?1 ? (n ? 1)(an ? 1) 中, n ? 1 , a1 ? 1 ; n ? 2 , a3 ? 3(a2 ? 1) ? 15 ; n ? 3 , 在 令 得 令 得 令 得 2a4 ? 4(a3 ? 1) 2,所以 a4 ? 28 . 将 a1,a2,a3,a4 代入 bn ? an ? n 中,得 b1 ? 2 , b2 ? 8,b3 ? 18,b4 ? 32 . 由此猜想: bn ? 2n2 .以下用数学归纳法证明猜想正确. (1)当 n ? 1 和 n ? 2 时,结论成立; (2)假设当 n ? k (k ≥ 2) 时,结论成立,即 bk ? 2k 2 ,所以 ak ? bk ? k ? 2k 2 ? k ,由已知有

(k ? 1)ak ?1 ? (k ? 1)(ak ? 1) ? (k ? 1)(2k 2 ? k ? 1) ? (k ? 1)(k ? 1)(2k ? 1) , 因 为 k ≥ 2 , 所 以 ak ?1 ? ( k ? 1 ) ( k2? 1 ) k 2? k , 于 是 bk ?1 ? (2k 2 ? 3k ? 1) ? (k ? 1) ? 2(k ? 1)2 , 所 以 当 ?2 3 ? 1

n ? k ? 1 时,结论也成立,根据 (1) 和 (2) ,对任意 n ? N? ,均有 bn ? 2n 2 .

19.已知数列 1,11,111,1111, ? , 11?1 , ? ,写出该数列的一个通项公式,并用反 ?
n个1

证法证明该数列中每一项都不是完全平方数.

解:由于 11?1 ? · 99?9 ? ? ? ? ?
n个1 n个9

1 9

1 n 1 (10 ? 1) ,所以该数列的一个通项公式是 an ? (10n ? 1) ; 9 9

证明:假设 11?1 是一个完全平方数,由于 11?1 是一个奇数,所以它必须是一个奇数的平 ? ?
n个1 n个1

方,不妨设 11 ? ? ?1
n个1

m2 ( ?

2

() m 为 整 数 ), 于 是 11?10 ? 4m(m ? 1) . 故 1 ???
n ?1个1

5 ? 5 m m ? 此式中左边是奇数,右边是偶数,自相矛盾,所以 11?1 不是一个完全 5? 1) ? ?? ? 2 (
n ?1个5
n个1

平方数. 20.已知 z ?

a ?i 3 , a ? 0 ,复数 ? ? z ( z ? i ) 的虚部减去它的实部所得的差为 ,求实数 a . 2 1? i

解: z ?

a ? i (a ? i)(1 ? i) a ? 1 ? (a ? 1)i a ? 1 a ? 1 ? ? ? ? i. 1? i 2 2 2 2 2 ? a ? 1 a ? 1 ?? a ? 1 a ? 1 ? a ? 1 a ? a ∵? ? z ( z ? i ) ? ? ? i ?? ? i? ? ? i; 2 ?? 2 2 ? 2 2 ? 2

a2 ? a a ? 1 3 ? ? ,解得 a ? ?2 . 2 2 2 又因为 a ? 0 ,故 a ? 2 . ∴
21.已知函数 f ( x) ? sin x cos x ? m(sin x ? cos x) .
? π? (1)若 m ? 1 ,求函数 f ( x) 在 ? 0, ? 上的单调增区间; ? 2? ?π ? (2)若函数 f ( x) 在区间 ? , π ? 上是单调递减函数,求实数 m 的取值范围. 2 ? ?

解: (1)当 m ? 1 时, f ( x) ? sin x cos x ? sin x ? cos x , f ( x) ? sin x cos x ? sin x ? cos x , 则 f ?( x) ? cos2 x ? sin 2 x ? cos x ? sin x ? (cos x ? sin x)(cos x ? sin x ? 0) ,
x 1 由 于 c o sx ? s i n ? ? π? ? ? π? n 1 0 2 s i n? ? ? ,1而 x ? ? 0, ? , 所 以 c o sx ? s i x ? ? , 因 此 由 ? x 4? ? ? 2? ? π? f ?( x) ? 0 ,可得 cos x ? sin x ? 0 ,即 sin x ? cos x ,于是 x ? ? 0, ? ,故函数 f ( x) 的单调增区 ? 2?

? π? 间为 ? 0, ? ; ? 4?

(2) f ?( x) ? cos2 x ? sin 2 x ? m(cos x ? sin x) ? (cos x ? sin x)(cos x ? sin x ? m) .
?π ? ?π ? 因为函数 f ( x) 在区是 ? , π ? 上是单调减函数,所以 f ?( x) ? 0 在 ? , π ? 上恒成立,而由于 ?2 ? ?2 ? ?π ? ?π ? x ? ? , π ? ,所以 cos x ? sinx ? 0,因此只要 cos x ? sinx ? m ? 0在 ? , π ? 上恒成立,即 ?2 ? ?2 ?
m ? sin x ? cos x 恒成立.

? 又 cos x ? sin x ? 2 sin ? x ? ?

π? , ? ? (?11) ,所以应有 m ≤ ?1 . 4?

22.如图,为处理含有某种杂质的污水,要制造一底宽为 2 米的无盖长方体沉淀箱,污水从 A 孔流入,经沉淀后从 B 孔流出,设箱体的长为 a 米,高为 b 米.已知流出的水中该杂质的 质量分数与 a , b 的乘积 ab 成反比,现有制箱材料 60 平方米,问当 a , b 各为多少米时, 经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小( A , B 孔的面积忽略不计) .

k , ab 其中 k (k ? 0) 为比例系数,依题意,即所求的 a , b 值使 y 值最小, 根 据 题 设 , 有 4b ? 2ab ? 2a ? 60(a ? 0,b ? 0) 得
解:设 y 为流出的水中杂质的质量分数,则 y ?

b?

30 ? a (0 ? a ? 30) . 2?a

k k k (2 ? a) ? ? . ab 30a ? a 2 30a ? a 2 2?a 当 y ? ? 0 时, a ? 6 或 a ? ?10 (舍去) .

于是 y ?

∵本题只有一个极值点, 当 a ? 6 时, b ? 3 , 即当 a 为 6 米, b 为 3 米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.


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