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第八章 第三节 圆的方程1


第 八 章

第 三 节

抓 基 础

平 面 解 析 几 何

明 考 向
圆 的 教 你 一 招 我 来 演 练




提 能 力

[备考方向要明了] 考 什 么 掌握确定圆的几何要素.掌握圆的标准方程和一

般方程.

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怎 么 考

1.求圆的方程或已知圆的方程求圆心坐标,半径是高考的
热点,多与直线相结合命题,着重考查待定系数法求 圆 的方程,同时注意方程思想和数形结合思想的运用. 2.多以选择题、填空题的形式出现,属中、低档题.

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一、圆的定义及方程 定义 标准 方程 一般 方程 平面内与 定点 的距离等于 定长 的点的集合 限定 (轨迹) (x-a)2+(y-b)2=r2 x2+y2+Dx+ Ey+F=0 圆心:( a,b ), 半径:r r>0 条件

D E D2+ - ,- 2 ), 圆心:( 2 E2 1 半径: D2+E2-4F 2 ->0
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二、点与圆的位置关系
点M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系 (x0-a)2+(y0-b)2=r2; (1)若点M(x0,y0)在圆上,则
2 2 2 (2)若点M(x0,y0)在圆外,则 (x0-a) +(y0-b) >r ;

(x0-a)2+(y0-b)2<r2 . (3)若点M(x0,y0)在圆内,则

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1.(教材习题改编)圆心在y轴上,半径为1且过点
(-1,2)的圆的方程为 A.x2+(y-3)2=1 C.(x-2)2+y2=1 ( B.x2+(y-2)2=1 D.(x+2)2+y2=1 )

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解析:设圆心(0,b),半径为r. 则r=1.∴x2+(y-b)2=1. 又过点(-1,2)代入得b=2, ∴圆的方程为x2+(y-2)2=1. 答案: B

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2.过点A(1,-1),B(-1,1),且圆心在直线x+y-2=0

上的圆的方程是
A.(x-3)2+(y+1)2=4 C.(x-1)2+(y-1)2=4

(

)

B.(x+3)2+(y-1)2=4 D.(x+1)2+(y+1)2=4

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解析:设圆心为(a,b),半径为r, 则圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2. ??1-a?2+?-1-b?2=r2, ? 2 2 2 得??-1-a? +?1-b? =r , ?a+b-2=0, ③ ? 解得a=1,b=1,r=2. ① ②

答案: C

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3.(教材习题改编)方程x2+y2+mx-2y+3=0表示圆,则m的范围 是 A.(-∞,- 2)∪( 2,+∞) B.(-∞,-2 2)∪(2 2,+∞) C.(-∞,- 3)∪( 3,+∞) D.(-∞,-2 3)∪(2 3,+∞)
解析:由m2+4-4×3>0得m2-8>0, 即m>2 2或m<-2 2.

(

)

答案: B 返回

4.圆心在原点且与直线x+y-2=0相切的圆的方程为 ________.
解析:设圆的方程为x2+y2=a2(a>0), |2| 由 =a,∴a= 2. 1+1 ∴x2+y2=2.

答案:x2+y2=2

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5.若点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,则实数a

的取值范围是________.
解析:由条件知(1-a)2+(1+a)2<4, 即2+2a2<4.∴a2<1.即-1<a<1. 答案: (-1,1)

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1.方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条

件是:(1)B=0 (2)A=C≠0 (3)D2+E2-4AF>0.
2.确定圆的方程时,常用到的圆的几个性质 (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上; (2)圆心在任一弦的中垂线上; (3)两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线.

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[精析考题]
[例1] (2011· 辽宁高考)已知圆C经过A(5,1),B(1,3)两点,

圆心在x轴上,则C的方程为________.

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[自主解答]

依题意设所求圆的方程为:(x-a)2+y2=r2,

把所给两点坐标代入方程得
??5-a?2+1=r2, ? ? ??1-a?2+9=r2, ? ?a=2, ? 解得? 2 ?r =10. ?

所以所求圆的方程为(x-2)2+y2=10.

[答案]

(x-2)2+y2=10

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[巧练模拟]——————(课堂突破保分题,分分必保!)

1.(2012· 济南模拟)若圆C的半径为1,圆心在第一象限,
且与直线4x-3y=0和x轴都相切,则该圆的标准方 程是 A.(x-2)2+(y-1)2=1 C.(x+2)2+(y-1)2=1 ( B.(x-2)2+(y+1)2=1 D.(x-3)2+(y-1)2=1 )

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解析:由于圆心在第一象限且与x轴相切,故设圆心为(a,1),又圆 与直线4x-3y=0相切可得 程为(x-2)2+(y-1)2=1. |4a-3| 5 =1,解得a=2,故圆的标准方

答案: A

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2.(2012· 银川模拟)圆心在y轴上且通过点(3,1)的圆与x轴相 切,则该圆的方程是 A.x2+y2+10y=0 C.x2+y2+10x=0 ( B.x2+y2-10y=0 D.x2+y2-10x=0 )

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解析:设圆心为(0,b),半径为R,则R=|b|, ∴圆的方程为x2+(y-b)2=b2.∵点(3,1)在圆上, ∴9+(1-b)2=b2,解得:b=5. ∴圆的方程为x2+y2-10y=0. 答案: B

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[冲关锦囊] 1.利用圆的几何性质求方程:根据圆的几何性质,直接 求出圆心坐标和半径,进而写出方程.

2.利用待定系数法求圆的方程:(1)若已知条件与圆的圆
心和半径有关,则设圆的标准方程,依据已知条件列 出关于a,b,r的方程组,从而求出a,b,r的值; (2)若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径,则选择 圆的一般方程,依据已知条件列出关于D,E,F的方

程组,从而求出D,E,F的值.
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[精析考题] [例2] (2011· 重庆高考)在圆x2+y2-2x-6y=0内,过点E(0,1)的最 长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为 A.5 2 C.15 2 B.10 2 D.20 2 ( )

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[自主解答]

由题意可知,圆的圆心坐标是(1,3)、半径是 10,且

点E(0,1)位于该圆内,故过点E(0,1)的最短弦长|BD| =2 10-?12+22?=2 5(注:过圆内一定点的最短弦是以该点为 中点的弦),过点E(0,1)的最长弦长等于该圆的直径,即|AC|= 1 1 2 10,且AC⊥BD,因此四边形ABCD的面积等于2|AC|×|BD|=2 ×2 10×2 5=10 2.

[答案]

B

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[巧练模拟]———————(课堂突破保分题,分分必保!)
3.(2012· 福州模拟)若实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0,则 y 的最大值为________,最小值为________. x+1

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y-0 y 解:∵ = , x+1 x-?-1? ∴ y 表示过点P(-1,0)与圆 x+1

(x-2)2+y2=3上的点(x,y)的 直线的斜率. 由图像知 y 的最大值和最小值分 x+1

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别是过P与圆相切的直线PA、PB的斜率. |CA| 3 2 又∵kPA= |PA| = = 2 , 6 |CB| 3 2 kPB=- |PB|=- =- 2 . 6 即 y 2 2 的最大值为 2 ,最小值为- 2 . x+1

2 2 答案: 2 - 2

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4.(2011· 宝鸡第一次质检)平移直线x-y+1=0使其与圆(x-2)2+ (y-1)2=1相切,则平移的最短距离为 A. 2-1 C. 2 B.2- 2 D. 2-1与 2+1 ( )

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解析:如图,圆心(2,1)到直线l0:x-y+1=0的 |2-1+1| 距离d= = 2,圆的半径为1,则直线 2 l0与l1的距离为 2-1,所以平移的最短距离为 2-1.

答案: A

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[冲关锦囊]
1.研究与圆有关的最值问题时可借助图形的性质数形结合求解. y-b 2.形如Z= 的形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题. x-a 3.形如Z=(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题可转化为动点到定点距离 的平方的最值问题.

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[精析考题] [例3] (2011· 广东高考)设圆C与圆x2+(y-3)2=1外切,与

直线y=0相切,则C的圆心轨迹为
A.抛物线 B.双曲线

(

)

C.椭圆

D.圆

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[自主解答]

设圆心C(x,y)由题意得

?x-0?2+?y-3?2=y+1(y>0) 化简得x2=8y-8.

[答案]

A

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将本例条件变为“圆C与圆O1x2+(y-3)2=1和圆O2x2 +(y+3)2=9都外切”,仍然求圆C的圆心的轨迹.

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解:设圆C的圆心为(x,y),半径为r.
由已知O1(0,3),r1=1,O2(0,-3),r2=3. ∴|CO2|-|CO1|=2<6, 故圆心C的轨迹为以O1,O2为焦点的双曲线的上半支.

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[巧练模拟]—————(课堂突破保分题,分分必保!)
5.(2012· 青岛模拟)点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点 连线的中点轨迹方程是 ( )

A.(x-2)2+(y+1)2=1
C.(x+4)2+(y-2)2=4

B.(x-2)2+(y+1)2=4
D.(x+2)2+(y-1)2=1

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2 解析:设圆上任一点坐标为(x0,y0),则x0+y2=4,连线中点坐标 0

为(x,y),
?2x=x0+4, ? 则? ?2y=y0-2 ? ?x0=2x-4, ? ?? ?y0=2y+2. ?

2 代入x0+y2=4中得(x-2)2+(y+1)2=1. 0

答案: A

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[冲关锦囊]
求与圆有关的轨迹问题时,根据题设条件的不同常 采用以下做法 (1)直接法:直接根据题目提供的条件列出方程. (2)定义法:根据直线、圆、圆锥曲线等定义列方程. (3)几何法:利用圆与圆的几何性质列方程.

(4)代入法:找到要求点与已知点的关系,代入已知点满
足的关系式等.

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数学思想(十六)数形结合定“圆形”, 巧设方程求半径

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[考题范例] (2011· 重庆高考)设圆C位于抛物线y2=2x与直线x=3所 围成的封闭区域(包含边界)内,则圆C的半径能取到的 最大值为________.

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[巧妙运用] 如右图所示,结合图形的对称性可知,要使 满足题目约束条件的圆的半径最大,圆心应该位于 x 轴上,设圆心坐标为(a,0)(0<a<3),同时,可设圆 的方程为(x-a)2+y2=(3-a)2.
??x-a?2+y2=?3-a?2, ? 由? 2 ?y =2x, ?

消去 y 得:

x2+2(1-a)x+6a-9=0.

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结合图形可知,当圆的半径最大时, ?Δ=[2?1-a?]2-4?6a-9?=0 ? ?0<a<3 ?3-a<a ? 解得 a=4- 6 此时所求圆的半径最大为 3-a= 6-1.

答案: 6-1

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[题后悟道]

1.本题重点考查了数形结合思想在求圆的半径(方程)中
的应用. 2.解决本题需要分两步走: 第一步:定形,即确定圆的半径最大时圆C的位置和形状. 第二步:定量,在确定圆的位置和形状后,利用待定系数

法求出圆的圆心坐标和半径.
3.本题求解过程中易忽条件3-a<a,忽略这一点,圆C有 可能不在题目要求的封闭区域内.

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