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2.3.1双曲线及其标准方程


双曲线及其标准方程(一)
y

F1

o

F2

x

复习

问题1:椭圆的定义是什么?

平面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于常数 2a 的点的轨迹. |MF1|+|MF2|=2a>|F1F2| 椭圆 Y M

? x, y ? |MF1|+|MF2|=2a=|F1F2| 线段 |MF1|+|MF2|=2a<|F1F2| 不存在 问题2:椭圆的标准方程是怎样的?
2 2 2 2

a, c 关系如何? b,

F1 ?? c, 0 ?

O

F2? c, 0 ? X

x y y x ? 2 ? 1(a ? b ? 0)或 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b a b

a ?b ?c
2 2

2

问题3:如果把上述定义中“距离的和”改为“距离 的差”,那么点的轨迹会发生怎样的变化?

如何画双曲线?
①如图(A),

|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a
②如图(B),
F

|MF2|-|MF1|=2a
由①②可得:

| |MF1|-|MF2| | = 2a (差的绝对值) 上面 两条合起来叫做双曲线

双曲线定义:
平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值 等于常数(小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.

| |MF1| - |MF2| | = 2a
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点; ② |F1F2|=2c ——焦距.
说明 思考: (1)2a<2c ; (2)2a >0 ;
F
1

M

o

F

2

(1)若2a=2c,则轨迹是什么? (1)两条射线 (2)若2a>2c,则轨迹是什么? (2)不表示任何轨迹 (3)若2a=0,则轨迹是什么? (3)线段F1F2的垂直平分线

生活中的双曲线

双曲线型自然通风冷却塔

迪拜双曲线建筑

2.标准方程的推导
① 建系
使 轴经过两焦点 F1 , F2 ,y 轴为线段 F1 , F2 的垂直平分线。 ② 设点 设M ( x, y ) 是双曲线上任一点,

y

x

M
F1
O

F2

x

焦距为 2c(c ? 0) ,那么 焦点 F 1 (?c,0), F 2 (c,0) ﹔ 又设点 M与 F 1 , F2 的差的绝对值等于常数 2 a 。 ③ 列式

MF1 ? MF2 ? 2a



( x ? c) ? y ? ( x ? c) ? y ? ?2a
2 2 2 2

④化简

双曲线上 2 2 2 两边同除以 a (c ? a ) 得 的任意一 点的坐标 x2 y2 ? 2 ?1 2 2 都满足方 a c ?a 程﹔以方 2 2 ? 2c ? 2a ? c ? a ? c ? a ? 0 程的解为 坐标的点 ?令c 2 ? a 2 ? b 2 (b ? 0) 代入得 都在双曲 2 2 x y 线上。



(c 2 ? a 2 ) x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 (c 2 ? a 2 )

a

2

?

b

2

? 1(a ? 0, b ? 0)

因此这个方程叫做双曲线的标准方程。它所表示的是 焦点在 x轴上

F1 (?c,0), F2 (c,0) c ? a ? b .
2 2 2

焦点在
2 2

y 轴上的双曲线的标准方程是什么?
y

y x ? ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ) 2 2 a b
2

F2
O

x
F1

F1 ? 0, ????c ?、F2 ? 0, ??c ? c ? a ? b
2

2

3.两种标准方程的比较

x y ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b

2

2

y x ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b

2

2

① 方程“=”左侧用“—”号连接,右侧为 2 2 “ 1” 。 ② 分母是 a , b , a ? 0, b ? 0 ﹔ 但 小不定。 2 2 2 ③ 。

a, b 大

④如果 x 的系数是正的,则焦点在 x轴上; 2 y 如果 的系数是正的,则焦点在 y 轴上。
y
M
M

c ? a2 ? b

y
F2

F1

o

F2

x
F1

x

双曲线与椭圆之间的区别与联系: 椭 定义 圆 双曲线
||MF1|-|MF2||=2a
2 x2 - y = 1 2 2 a b y2 x2 = 1 2 2 a b

|MF1|+|MF2|=2a
2 x2 + y = 1 2 2 a b

方程

y2 x2 + 2 =1 2 a b 焦点
F(±c,0)

F(±c,0)

F(0,±c)

F(0,±c)
a>0,b>0,但a不一 定大于b,c2=a2+b2

a.b.c 的关系 a>b>0,a2=b2+c2

判断下列方程是否表示双曲线?若是,求出 坐标。 2 2 2 2

a, b, c

及焦点

x y ?1? ? ? 1 4 2
2 2

x y ?2? ? ? 1 2 2
2 2

x y ?3? ? ? ?1 4 2
答案:

x y ?4? ? ? 1(m ? 0, n ? 0) m n
(? 6,0).( 6,0)

?3?a ? 2, b ? 2, c ? 6 (0, 6).(0,? 6) ?4?a ? m, b ? n, c ? m ? n ( m ? n,0).(? m ? n,0)

?2?a ?

?1?a ? 2, b ?

2, c ? 6

2, b ? 2, c ? 2

(?2,0).(2,0)

? 练一练:如果方程 表示焦点在x轴上的双曲线,求m的范围
解:
? ? ?

x2 y2 + = 1 m-1 2-m

m-1 >0 2-m <0

∴m>2

变1、方程表示焦点在x轴上的椭圆时,求m的范围
解: m-1 > 2-m > 0 ∴1.5<m<2

变2、方程表示双曲线时,求m的范围 解:(m-1)(2-m)<0,∴m>2或m<1

知识应用

例1 已知双曲线两个焦点分别为F1(-5,0),F2(5,0),双 曲线上一点P到F1,F2距离差的绝对值等于6,求双曲 线的标准方程.
解: ∵ F1F2 ? 10 >6,
PF1 ? PF2 ? 6

∴ 由双曲线的定义可知,点 P 的轨迹是一条双曲线, ∵焦点为 F1 (?5,0), F2 (5,0)
x2 y2 ∴可设所求方程为: 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0). a b ∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5. x2 y2 ? ? 1. 所以点 P 的轨迹方程为 9 16

知识应用 例1 已知双曲线两个焦点分别为F1(-5,0),F2(5,0),双 曲线上一点P到F1,F2距离差的绝对值等于6,求双曲 线的标准方程.
⑴将第一个条件改为“|F1F2|=10”,双曲线的标准方程 将怎样? 2 2 2 2 y x x y ? ? 1. ? ? 1 .或 答案: 9 16 9 16

⑵若将第二个条件改为“|PF1|-|PF2|=6”,满足 的方程应怎样? 2 2
答案:

x y ? ? 1.﹙ 9 16

x ? 0. ﹚

小结:求标准方程要做到先定位,后定量

变式训练:已知两定点 F1 (?5,0) , F2 (5,0) ,动点 P 满足
PF1 ? PF2 ? 10 ,求动点 P 的轨迹方程.

解: ∵ F1F2 ? 10 ,

PF1 ? PF2 ? 10

∴ 点 P 的轨迹是两条射线,
轨迹方程为 y ? 0( x ≥ 5 或x ≤ ?5) .

求适合下列条件的双曲线的标准方程。 ①焦点在X轴上, a ? 4, b ? 3
x y ? ?1 16 9



15 , 2) ②焦点在X轴上,经过点(? 2 ,? 3 ), ( 3 2 2
答案: ①

x2 y2 ? 2 ② 设双曲线的标准方程为 2 a b
3 ? 2 ? ?1 ? a2 b2 ? 5 2 ? 2 ? 2 ?1 b ? 3a

? 1 ( a ? 0, b ? 0 )

15 , 2) 得 代入点 (? 2 ,? 3 ), ( 3


解得

2 m ? 3 n ? 1 ? 1 1 ? 5 ? m ? 2 ,n ? 2 m ? 2n ? 1 ? a b ?3 1 ? 2 ?m ?1 故所求双曲线的标准方程为 y 2 ?n ? x ? ? 1. ? 3 ? 3


例2.已知A,B 两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在
B地晚2秒,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程。 分析: 假设爆炸点为P,爆炸点距A地比 B地远;
P

PA ? PB ? 2 ? 340
A B

爆炸点P的轨迹是靠近B处

的双曲线的一支。

解:建立如图所示的直角坐标系 与线段 的中点重合。

AB

xOy ,使 A, B 两点在x 轴上,并且坐标原点 O

设爆炸点 即

P的坐标为( x, y ) ,则 PA ? PB ? 340? 2 ? 680,


2a ? 680, a ? 340.
2c ? 800, c ? 400, b 2 ? c 2 ? a 2 ? 44400 .

AB ? 800,

所以

y

P
A O B

因为 PA ? 所以

PB ? 340? 2 ? 680 ? 0,

x ? 0.

x

因此炮弹爆炸点的轨迹(双曲线)的方程 为 2 2

x y ? ? 1 ( x ? 0). 115600 44400

双曲线与椭圆之间的区别与联系: 椭 圆 双曲线

定 义 |MF1|+|MF2|=2a >|F1F2| ||MF1|-|MF2||=2a <|F1F2 | 2 2 x2 + y = x2 - y = 1 1 2 2 2 2 a a b b 方程 2 2 y x 2 2 y x = 1 2 =1 2 + a b a2 b2 焦点
F(±c,0) F(±c,0)

F(0,±c)

F(0,±c)
a>0,b>0,但a不一 定大于b,c2=a2+b2

a.b.c 的关系 a>b>0,a2=b2+c2

椭 定义 方程 焦点







线

| PF1 | ? | PF2 |? 2a(2a ?| F1F2 |)
x2 y 2 ? ?1 a 2 b2 x2 y 2 ? ?1 b2 a 2

|| PF1 | ? | PF2 ||? 2a(2a ?| F1F2 |)
x2 y 2 ? ?1 a 2 b2 y 2 x2 ? ?1 a 2 b2

F (?c, 0)

F (0, ?c)

F (?c, 0)

F (0, ?c)

注意:如何有方程确定焦点的位置!

y
M
M

y
F2

F1

o

F2

x
F1

x


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