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2008年全国高中数学联赛江苏赛区复赛

时间:2010-01-11


2008 年第 11 期

72

2008 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛
第一试
一、 选择题 ( 每小题 6 分 ,共 36 分) 4 2 1. 函数 f ( x ) = cos x + sin x ( x ∈R) 的最 ). 小正周期是 (    π π (B) ( C)π 4 2 2. 已知平面上点的集合

/>(A)
M = { ( x , y) | y = 2 x - x } , N = { ( x , y ) | y = k ( x + 1) }.
2

(D) 2 π

). 的 (    (A) 充分但不必要条件 (B) 必要但不充分条件 ( C) 既不充分也不必要条件 (D) 充分必要条件 2 2 4. 已知关于 x 的方程 x - 2 ax + a - 4 a =0 至少有一个模为 3 的复数根 . 则实数 a ). 的所有取值为 (    (A) 1,9 ( C) 1,9,2+ 13 5. 设 f ( x ) 是一 ( x) 个三次函数 , f ′ 为其导函数 . 图 1 所 ( x) 的 示的是 y = xf ′ (B) -1,9,2(D) 1,9,213 13

当 M ∩N ≠ (    ).
(A) ( C) 3 3 , 3 3 -

时, k 的取值范围是
(B) 0, 3 3

3 (D) 3 ,+ ∞ ,0 3 3 2 2 3.“ x + y < 4” 是 “ xy +4>2 x +2 y ” 成立

图 像 的 一 部 分. 则 f ( x) 的 极 大 值 与 极

图1

⊥BC 于 F ,则 △AFE 为直角三角形 . 因为 ∠AEF = 30° ,所以 , 1 5 3 AF = AE = , 2 2 5 3 即梯形 ABCD 的高 AF = . 2 又四边形 AEBD 为平行四边形 ,因此 , AD = EB . 1 1 故 S = ( AD + BC ) AF = EC? AF 2 2 1 5 3 25 3 = × 10 × = . 2 2 2 四、 原不等式两边同乘以 30 得 15(3 x -1 ) -10 (4 x -2 ) ≥ 6 (6 x -3 ) -39 . 解得 x ≤ 2. 记 y = 2| x -1|+| x +4| . ( 1) 当 x ≤- 4 时 , y =- 2 ( x -1 ) - ( x +4 ) =-3 x -2 . 所以 , y 的最小值为 ( - 3) ×( -4 ) -2= 10 ,此时 x =-4 . ( 2) 当 -4 ≤x ≤ 1时,

y =- 2 ( x -1 ) + ( x +4 ) =- x +6 . 所以 , y 的最小值为 5 ,此时 x =1 . ( 3) 当 1 ≤x ≤ 2时, ( ) y = 2 x -1 + ( x +4 ) =3 x +2 . 所以 , y 的最小值为 5 ,此时 x =1 . 综上所述 ,2| x -1|+| x +4| 的最小值 为 5 ,在 x =1 时取到 . 五、 由 1 ≤a < b < c ,知 abc = ab + bc + ca < 3 bc. 所以 , a < 3. 故 a =1 或 a =2 . (1) 当 a =1 时 , 有 b + bc + c = bc , 即 b + c = 0 ,这与 b 、 c 为正整数矛盾 . ( 2) 当 a =2 时 ,有 2 b + bc +2 c =2 bc , 即 bc -2 b -2 c =0 . 所以 , ( b - 2) ( c -2 ) =4 . 又 2< b < c ,则 0< b -2< c -2 . 于是 , b - 2=1 , c -2=4 . 从而 , b = 3 , c =6 . 所以 ,符合条件的正整数仅有一组 : a = 2 , b =3 , c =6 . ( 四川省数学竞赛委员会   提供)

82

中 等 数 学

). 小值分别是 (    (A) f ( 1) 与 f ( -1 ) (B) f ( -1 ) 与 f ( 1) ( C) f ( -2 ) 与 f ( 2) (D) f ( 2) 与 f ( -2 ) 6. 已知等比数列{ an } 的公比 q < 0 , 其前
n 项和为 S n . 则 a9 S 8 与 a8 S 9 的大小关系是

15. 已知 △ABC 的外接圆的直径为 25 , 三条边的长度都是整数 ,圆心 O 到边 AB 、 BC 的距离也都是整数 , AB > BC . 求 △ABC 的三 边的长度 .

第二试
( 50 分) 已知点 O 为凸四边形 ABCD 一、 内的 一 点 , AO = OB , CO = OD , ∠AOB = ∠COD =120 ° , E、 F、 G 分别是线段 AB 、 BC 、 CD 的中点 . 求证 : △EFG 为正三角形 . ( 50 分) 已知 a 、 二、 b、 c、 d 为正实数 , 且 a + b + c + d =4 . 求证 : 2 2 2 2 a bc + b da + c da + d bc ≤ 4. ( 50 分) 求具有下述性质的最小正整 三、 数 n : 存在一个 n +1 项的数列 a0 , a1 , …,
a n ,满足 a0 = 0 , a n = 2008 ,且
2 | ai - ai - 1 |= i ( i = 1 ,2 , …, n) .

(    ). (A) a9 S 8 > a8 S 9 ( C) a9 S 8 = a8 S 9

(B) a9 S 8 < a8 S 9 (D) 与 a1 的值有关

二、 填空题 ( 每小题 9 分 ,共 54 分) 7. 集合 5k A = x| x = , k ∈Z ,100 ≤k ≤ 999 , 6 其中 ,[ x ] 表示不超过实数 x 的最大整数 . 则 集合 A 的元素个数为 . 8. 已知数列{ an }满足
a1 = 5 , a n =

2 an - 1 - 1 (n≥ 2 , n ∈N+ ) . an - 1 - 2

则其前 100 项的和是 . 9. 在正八边形的八个顶点中任取三个顶 点 . 则由这三个点构成一个直角三角形的顶 点的概率是 . 2 2 10. 关于 x 的方程 x + a | x |+ a - 3=0 ( a ∈R) 有唯一的实数解 . 则 a = . 11. 直线 l : (2 m +1 ) x + ( m +1 ) y -7 m 2 2 4=0 被圆 C : ( x -1 ) + ( y - 2) = 25 截得的 最短弦长为 . 12. 设以 F1 ( - 1 ,0 ) 、 F2 ( 1 ,0 ) 为焦点的 椭圆的离心率为 e . 以 F1 为顶点 、 F2 为焦点 的抛 物 线 与 该 椭 圆 的 一 个 交 点 是 P. 若 | PF1 | = e ,则 e 的值为 . | PF2 | 三、 解答题 ( 每小题 20 分 ,共 60 分)
2 13. 设函数 f ( x ) = x - k x - 1 ( x ≥ 1, k 为 给 定 的 实 数 ,0< k <1 ) . 试 求 f ( x ) 的 值域 .

参考答案
第一试
   一、 1. B. 注意到 π 4 2 f x+ = sin x + cos x 2 4 4 2 2 = sin x + cos x + cos x ? sin x 4 2 = cos x + sin x = f ( x ) . π 1 1 ≠ 又 f ( 0) =1 、 f = + f ( 0) , 故 4 4 2 选 (B) . 2. B. 由点集 M 、 N 的几何意义易知 . 3. A. xy + 4>2 x +2 y Ζ ( x - 2) ( y -2 ) >0 Ζ x < 2 , y <2 或 x >2 , y >2 .
2 2 又 x + y < 4 ] x < 2 , y <2 ] xy + 4>2 x +2 y . 4. D. 2 将方程改写为 ( x - a) = 4 a . 当 a≥ 0 时 , 方程有实根 , 得 x = ± 3 ,故 有一根为 3 或 -3 . 2 由( a ± 3) = 4 a ] a = 1 或 9.

14. 从双曲线
2 2

x

2

9

-

y

2

16

=1 的左焦点 F 引

圆 x + y = 9 的切线 , 切点为 T . 延长 FT 交 双曲线右支于点 P . 若 M 为线段 FP 的中点 , O 为坐标原点 ,求| MO|-| MT | 的值 .

2008 年第 11 期

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当 a < 0 ,得 x = a ± 2
2 2

| a | i ,故 13.

12.

| x | = a - 4 a =9 ,得 a =25. C.

3 . 3

在抛物线中 ,准线 x =- 3 ,| PF2 | 就是点
P 到准线的距离 ;

( x ) 有三个零点 x = 0 , ± 易知 , y = xf ′ 2. ( x ) 为二次函数 ,所以 ,它有两个 因为 f ′ 零点 x = ± 2. ( x ) <0 ; 由图像易知 ,当 0< x <2 时 , f ′ ( x ) >0 . 故 f ( 2) 是极小值 . 当 x >2 时 , f ′ 类似地可知 , f ( - 2) 是极大值 . 6. A. a9 S 8 - a8 S 9 =
a1
2 8 8 7 9 [ q ( 1- q ) - q ( 1- q ) ] 7

在椭圆中 ,

| PF1 | = e ,| PF2 | 也是点 P | PF2 |

到左准线的距离 . 故抛物线准线与椭圆左准线重合 . 则
a = 3. c
2

3 . 3 三、 13. 当 x > 1 时 , f ( x ) 的导数是

又 c = 1 ,故易知 e =
kx x - 1
2

1- q
2

=-

a1 q > 0.

( x ) = 1f′ ( t ) = 0. 令 f′

.

二、 7. 750.
5k 当 k = 100 时 , = 83 ; 6

当 t > 1 时 ,解得 t = 于是 , f ( t ) = f
f ( 1) =1 .

1 1- k
2 2

. 1- k ,
2

当 k = 999 时 ,

5k = 832. 6

1 1- k

=

又易知 ,对于 100 ≤k ≤ 999 ,有 ( ) 5 k +1 5 k ≤ 0≤ 1. 6 6 故 A 中元素可以取遍从 83 到 832 中的 所有整数 ,共 750 个元素 . 8. 400. 因 a1 = 5 ,则 a2 = 3 , a3 = 5 , a4 = 3 ,所以 , 数列周期为 2. 故前 100 项的和是 400. 3 9. . 7 联结正八边形的三个顶点得 56 个三角 3 形 ,其中 24 个是直角三角形 ,因此 , P = . 7
10. 3. 2 因为 f ( x ) = x + a | x |+
a - 3 是偶函
2 2

列表 1.
表  1
x

1

(1 , t ) -

t

( t ,+ ∞ ) +

( x) f′
f ( x)

0

1



极小



   当 x →+ ∞ 时, ( 1- k2 ) x2 + k2 f ( x) = →+ ∞. 2 x+ k x - 1 故 f ( x ) 的值域为
14. 不 失 一 般
2 1- k ,+ ∞ .

数 ,唯一的实数解必为 0 , 所以 , a - 3=0 且
a >0 . 故 a = 3.

11. 4 5.

直线 l 过点 D ( 3 ,1) , 圆心为 C ( 1 ,2 ) , 最 2 短弦垂直于 CD ,且 CD = 5. 又圆的半弦长为 2 5 ,故弦长为 4 5.

性 ,将点 P 置于第 一象限 . 如图 2 , 设 F′ 是双曲线的右焦 点 , 联结 PF′ . 因为 M、 O 分 别 为 FP 、 FF′ 的中点 ,所以 , 1 | MO| = | PF′ |. 2 又由双曲线的定义得

图2

03

中 等 数 学

| PF|-| | FT|=

PF′ |= 6 ,

| OF | -| OT |

2

2

= 4.

故| MO|-| MT | 1 = | PF′ |-| MF |+| FT| 2 1 = ( | PF′ |-| PF| ) +| FT|=1 . 2 15. 如 图 3 , 过 圆 心 O 分 别 作 AB 、 BC 的垂 线 , 垂 足 为 D、 E. 设 AB = x , OD = y ( x、 y 是正整数) . 则
BD = x

2

.
2 2

因为 DB + OD 2 2 2 2 = OB ,所以 , x + 4 y = 25 . 解得 ( x , y ) = ( 7 ,12) 或 ( 15 ,10) ,即 AB = 7 , OD =12 或 AB =15 , OD =10 . 同理 , BC = 7 , OE =12 或 BC =15 , OE =10. 又 AB > BC ,故 AB = 15 , OD =10 , BC =7 , OE =12 . 因为 OD ⊥AB , OE ⊥BC , 所以 , O 、 D、 B、 E 四点共圆 . 由托勒密定理得 DE ? OB = OD? BE + OE ? DB , OD? BE + OE ? DB 即  DE = = 10.
OB

图3

∠AOB = ∠COD = 120° , 所以 ,以 O 为心逆时针旋转 120° , △AOC 成 为 △BOD . 因此 , AC = BD ,并且 BD 逆时针转到 AC 的角为 60° . 从而 , EF = FG ,且 ∠GFE = 60° . 故 △EFG 为正三角形 . 2 2 2 2 二、 a bc + b da + c da + d bc = ( ab + cd ) ( ac + bd) 2 ≤ ab + cd + ac + bd 2 2 [ ( a + d) ( b + c) ] = 4 4 ≤1 a + d + b + c = 4. 4 2 ≤ 三、 若 n 17 ,则
n

an =
n

i =1

∑( a
i

i

- ai - 1 ) + a0 1 n ( n +1 ) ( 2 n +1 ) 6



i =1

| a ∑

- ai - 1 |=

≤1 × 17 × 18 × 35<2008 , 6 矛盾 . 若 n = 18 ,则
n

an =
n

i =1

∑( a

i

- ai - 1 ) + a0
n



由于点 D 平分 AB ,点 E 平分 BC ,因此 , DE 是中位线 . 从而 , AC = 20 , 即 △ABC 三边的长度分 别为 15 ,7 ,20.

i =1



| a i - ai - 1 | ≡

i =1

∑i

2

≡ 1 ( mod 2) ,

这与 an = 2008 矛盾 . 若 n = 19 ,注意到 2 2 2 2 2 2 2 2008=1 + 2 + …+ 19 - (2 + 5 + 9 + 11 ) . 取 a0 , a1 , …, a19 如下 :
0 ,1 ,-3 ,6 ,22 ,-3 ,33 ,82 ,146 ,65 ,165 , 44 ,188 ,357 ,553 ,778 ,1034 ,1323 , 1647 ,2008 .

第二试
一、 如图 4 , 联 结 AC 、BD . 则 1 EF AC , 2 1 FG BD . 图4 2 因为 OA = OB , OC = OD ,且

由此知 n = 19 满足要求 . 综上 , nmin = 19 满足要求 . 注 : 例子不唯一 . 如 2 2 2 2 2 2 2 + 2 + …+ 19 - 2 (1 + 3 + 10 + 11 ) 给出另一组数 . (满   涛  提供)
2008=1


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