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2014届高三数学一轮复习 (教材回扣+考点分类+课堂内外+限时训练) 10.3 变量间的相关关系与统计案例


2014 届高三数学一轮复习专讲专练(教材回扣+考点分类+课堂 内外+限时训练) :10.3
一、选择题 1.(2012·北京)某棵果树前 n 年的总产量 Sn 与 n 之间的关系如图所示.从目前记录的 结果看,前 m 年的年平均产量最高,m 的值为( )

变量间的相关关系与统计案例

A.5

B.7

/>
C.9

D.11

解析:年平均产量为 =

Sn Sn-0 ,表示点(n,Sn)与原点连线的斜率,由图可知( 9,S9)与 n n-0

原点连线的斜率最大,故选 C. 答案:C 2.(2012·湖南)设某大学的女生体重 y(单位:kg)与身高 x(单位:cm)具有线性相关关 ^ 系,根据一组样本数据(xi,yi)(i=1,2,?,n),用最小二乘法建立的回归方程为y=0.85x -85.71,则下列结论中不正确的是( ... A.y 与 x 具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心( x , y ) C.若该大学某女生身高增加 1 cm,则其体重约增加 0.85 kg D.若该大学某女生身高为 170 cm,则可断定其体重必为 58.79 kg 解析:A 中由于回归方程中的 x 系数为正,所以具有正的线性相关关系,A 正确;B 由 线性回归方程的推导可知回归方程必过样本点的中心( x , y ),B 正确;C 中,身高增加 1 cm,则 Δ y=0.85(x+1)-85.71-(0.85x-85.71)=0.85(kg),C 正确.D 中,将 170 代入 回归方程得 y=58.79 kg,这个值只能是一个推测的结果,和实际值允许有误差,D 错误. )

1

答案:D 3.(2013·枣庄调研)通过随机询问 100 名性别不同的大学生是否爱好踢毽子运动,得 到如下的列联表: 男 爱好 10 女 40 总计 50

不爱好

20

30

50

总计 附表:

30

70

100

P(K2≥k) k

0.10 2.706
2

0.05 3.841

0.025 5.024

n? ad-bc? 2 随机变量 K = ? a+b? ? c+d? ? a+c? ?
2

b+d?
)

经计算,统计量 K 的观测值 k≈4.762,参照附表,得到的正确结论是( A.在 犯错误的概率不超过 5%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关” B.在犯错误的概率不超过 5%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关” C.有 97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” D.有 97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

解析:根据题意得 k≈4.762>3.841,故应该有 95%的把握认为“爱好该项运动与性 别 有关”,因此选 A. 答案 :A 4.(2013·泰安模拟)下列说法: ①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后,方差恒不变; ^ ②设有一个回归方程y=3-5x,变量 x 增加一个单位时,y 平均增加 5 个单位; ^ ^ ^ ③线性回归方程y=bx+a必过( x , y ); ④在一个 2×2 列联表中,由计算得 K =13.079,则有 99.9%的把握确认这两个变量间 有关系. 其中错误的个数是( )
2

A.0 B.1 C.2 D.3 本题可以参考独立检验临界值表

2

P(K2≥k) k P(K2≥k)

0.50 0.455 0.05

0.40 0.708 0.025

0.25 1.323 0.01

0.15 2.072 0.005

0.10 2.706 0.001

k

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

解析:根据方差公式知①正确;②中应该为 x 增加一个单位时,y 平均减少 5 个单位; ③正确;④根据独立性检验表知正确.因此错误的为②,只有 1 个. 答案:B 5.已知 x 与 y 之间的一组数据:

x y
^ ^ ^

0 1

1 3

2 5 )

3 7

则 y 与 x 的线性回归方程y=bx+a必过( A.点(2,2) C.点(1,2)
^ ^

B.点(1.5,0) D.点(1.5,4)

解析:由a= y -b x 知,

y 与 x 的线性回归方程必过点( x , y ),
1 又由已知数据,得 x = (0+1+2+3)=1.5, 4

y = (1+3+5+7)=4,故必过点(1.5,4).
答案:D 6.(2013·泰安模拟)下表是某厂 1~4 月份用水量(单位:百吨)的一组数据: 月份 x 用水量 y 1 4.5 2 4 3 3 4 2.5

1 4

由散点图可知, 用水量 y 与月份 x 之间有较好的线性相关关系, 其线性回归直线方程是
^ ^ ^

y=-0.7x+a,则a等于(
A.10.5 C.5.2

) B.5.15 D.5.25

解析: x =2.5, y =3.5,∵回归直线方程过定点( x , y ),

3

^

^

∴3.5=-0.7×2.5+a,∴a=5.25. 答案:D 二、填空题 7.(2013·丽水调研)某单位为了了解用电量 y 度与气温 x℃之间的关系,随机统计了 某 4 天的用电量与当天气温,并制作了对照表: 气温(℃) 用电量(度)
^ ^ ^

18 24
^

13 34

10 38

-1 64

由表中数据得线性回归方程y=bx+a中b=-2,预测当气温为-4℃ 时,用电量的度数 约为________. 解析: x =10, y =40,回归方程过点( x , y ),
^

∴40=-2×10+a.
^

∴a=60.
^

∴y=-2x+60.
^

令 x=-4,∴y=(-2)×(-4)+60=68. 答案:68 8.某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课程的一些学生的情况,具体数据 如下表: 专业 性别 男 女 非统计专业 统计专业

13 7

10 20

为了判断主修统计专业是否与性别有关系,根据表中的数据,得到

K2=

50×? 13×20-10×7? 23×27×20×30

2

≈4.844,因为 K ≥3.841,所以判定主修统计专业与性别

2

有关系,那么这种判断出错的可能性为__________. 解析:∵K ≈4.844>3.841,∴有 95%的把握认为主修统计专业与性别有关系,即作出 “主修统计专业与性别有关系”的判断,出错的可能性不超过 5%. 答案:5%
4
2

三、解答题 9.(2013·开封调研)甲、乙两个学校高三年级分别有 1 100 人,1 000 人,为了了解 两个学校全体高三年 级学生在该地区二模考试的数学成 绩情况,采用分层抽样方法从两个 学校一共抽取了 105 名学生的数学成绩, 并作出了如下的频数分布统计表, 规定考试成绩在 [120,150]内为优秀. 甲校: 分组 频数 分组 频数 乙校: 分组 频数 分组 频数 [70,80) 1 [110,120) 10 [80,90) 2 [120,130) 10 [90,100) 9 [130,140) [100,110) 8 [140,150] 3 [70,80) 2 [110,120) 15 [80,90) 3 [120,130) [90,100) 10 [130,140) 3 [100,110) 15 [140,150] 1

x

y

(1)计算 x,y 的值; (2)由以上统计数据填写下面 2×2 列联表,若按是否优秀来判断,是否有 97.5%的把握 认为两个学校的数学成绩有差异? 甲校 优秀 非优秀 总计 解析:(1)x=6,y=7. (2)填表如下: 甲校 优秀 10 乙校 20 总计 30 乙校 总计

非优秀

45

30

75

总计
2

55

50
2

105

105×? 10×30-20×45? 由表格计算,得 K = 30×75×50×55

≈6.109>5.024,故有 97.5%的把握认

5

为两个学校的数学成绩有差异. 10. (2013·南京学情调研)某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关 系,他们分别到气象局与某医院抄录了 1 至 6 月份每月 10 号的昼夜温差情况与因患感冒而 就诊的人数,得到如下资料: 日期 昼夜温 差 x( ℃) 就诊人 数 y(人) 1月 10 日 10 2月 10 日 11 3月 10 日 13 4月 10 日 12 5月 10 日 8 6月 10 日 6

22

25

29

26

16

12

该兴趣小组确定的研究方案是: 先从这六组数据中选取 2 组, 用剩下的 4 组数据求线性 回归方程,再用被选取的 2 组数据进行检验. (1)求选取的 2 组数据恰好是相邻两个月的概率; (2)若选取的是 1 月与 6 月的两组数据,请根据 2 至 5 月份的数据,求出 y 关于 x 的线 性回归方程 y=bx+a; (3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 人,则认 为得到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想?
n n

参考公式:b=

i=1 n

∑xiyi-nxy i=1 ? ∑ =
i=1

xi- x ? ? yi- y ?
n

,a= y -b x .

∑xi-n x

2

2

i=1

∑ ?

xi- x ?

2

解析:(1)设抽到相邻两个月的数据为事件 A. ∵从 6 组数据中选取 2 组数据共有 15 种情况,每种情况都是等可能出现的.其中,抽 到相邻两个月的数据的情况有 5 种, 5 1 ∴P(A)= = . 15 3 (2)由数据求得 x =11, y =24. 18 30 由公式求得 b= ,a= y -b x =- , 7 7 18 30 ∴y 关于 x 的线性回归方程为 y= x- . 7 7 150 ?150 ? (3)当 x=10 时,y= ,? -22?<2; 7 ? 7 ? 78 ?78 ? 同样,当 x=6 时,y= ,? -12?<2. 7 ?7 ?

6

∴该小组所得线性回归方程是理想的.

7


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