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【全套解析】2012高三数学一轮复习 4-2 平面向量的基本定理及坐标表示课件 (理) 新人教A版

时间:2013-12-04


高三总复习

人教A 版 · 数学 (理)

第二节

平面向量的基本定理及坐标 表示

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1.了解平面向量的基本定理及其意义.

2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.
3.会用坐标

表示平面向量的加法、减法与数乘 运算. 4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.

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1.平面向量基本定理 定理:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线 向 量 , 那 么 对 于 这一平面内的任意向量a, 有且只有 一 对 实 数 λ1 , λ2 , 使 a = λ1e1 + λ2e2. 我们把不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组 基底.

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2.夹角

(1)已知两个非零向量a和b,作=a,=b,则∠AOB=θ叫做向量
a与b的 夹角. (2)向量夹角θ的范围是 [0,π] a与b反向时,夹角θ= . π ,我们说a与b垂直,记作a⊥b. ,a与b同向时,夹角θ= 0 ;

π (3)如果向量a与b的夹角是 2

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3.把一个向量分解为两个 互相垂直 的向量,叫做把向量正交

分解.
4.在平面直角坐标系中,分别取出x轴、y轴方向相同的两个单 位向量i,j作为基底,对于平面内的一个向量a,有且只有一对实数x, y使a=xi+yj,我们把有序数对(x,y) 记作a= (x,y) ,其中x叫a在 x轴 标. 叫做向量a的 坐标 ,

上的坐标,y叫a在 y轴 上 的 坐

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5.平面向量的坐标运算

(1)已知向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)和实数λ,那么a+b= (x1+x2,y1+y2) ,a-b= (x1-x2,y1-y2)
,λa= (λx1,λy1).

(2)已知A(x1,y1),B(x2,y2),则=-=(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-
x1,y2-y1),即一个向量的坐标等于该向量 终点 的坐标减去 始点 的坐标. 6.若a=(x1,y1),b=(x2,y2)(b≠0),则a∥b的充要条件是 x1y2-x2y1=0 .

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7.(1)P1(x1 ,y1),P2(x2 ,y2),则 P1P2 的中点 P 的坐标为
?x1+x2 y1+y2? ? ?. , 2 ? ? 2

(2)P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3),则△P1P2P3 的重心 P
?x1+x2+x3 y1+y2+y3 ? ?. 的坐标为? , 3 3 ? ?

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1.若向量a=(1,1),b=(-1,1),c=(4,2),则c=(
A.3a+b B.3a-b

)

C.-a+3b

D.a+3b

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解析:设 c=λa+μb, 则(4,2)=(λ-μ,λ+μ),
?λ-μ=4, ? 即? ?λ+μ=2. ? ?λ=3, ? 解得? ?μ=-1, ?

∴c=3a-b.

答案:B

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2.已知 a=(4,5),b=(8,y)且 a∥b,则 y 等于( A.5 32 C. 5 B.10 D.15

)

解析:∵a∥b,∴4y-40=0 得 y=10. 答案:B

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→ → 3.正三角形 ABC 中,AB与BC的夹角为( A.60° C.120°
→ → 解析:AB与BC的夹角为 180° -∠ABC=180° -60° =120° .

)

B.45° D.90°

答案:C

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4. 已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0,2), B(-1, -2), C(3,1), → → 且BC=2AD,则顶点 D 的坐标为(
? 7? ?2, ? A. 2? ?

)
? 1? ?2,- ? B. 2? ?

C.(3,2)

D.(1,3)

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→ → 解析:设 D(x,y),AD=(x,y-2),BC=(4,3), → → 又BC=2AD,
?4=2x, ? ∴? ?3=2?y-2?, ?

?x=2, ? ∴? 7 ?y=2, ?

即点

? 7? D 坐标为?2,2?. ? ?

答案:A

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5.在平行四边形 ABCD 中,E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中 → → → 点,若AC=λAE+μAF,其中 λ、μ∈R,则 λ+μ=________.

→ → 解析:设AB=a,AD=b, → =1a+b, 那么AE 2

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1 → AF=a+ b. 2 → 又∵AC=a+b, → 2 → → ∴AC= (AE+AF), 3 2 4 即 λ=μ= ,∴λ+μ= . 3 3 4 答案: 3

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热点之一

平面向量基本定理及其应用

1.以平面内任意两个不共线的向量为一组基底,该平面内的任意一个

向量都可表示成这组基底的线性组合,基底不同,表示也不同.
2.对于两个向量a,b,将它们用同一组基底表示,我们可通过分析这 两个表示式的关系,来反映a与b的关系. 3.利用已知向量表示未知向量,实质就是利用平行四边形法则或三角 形法则进行向量的加减运算或进行数乘运算.

提醒:一组基底中,必不含有零向量.

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→ → [例 1] 已知梯形 ABCD,如右图所示,2DC=AB,M、N 分 → → → 别为 AD、BC 的中点.设AD=e1,AB=e2,试用 e1,e2 表示DC, → → BC,MN.

[ 思 路 探 究 ]

→ → → → 由已知AD=e1,AB=e2,2DC=AB

→ 利用向量共线,三角形法则 → 求解

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→ =AB,∴2DC=e2,∴DC=1e2. → → [课堂记录] ∵2DC → 2 → → → → 又∵BC=BA+AD+DC, → =-e2+e1+1e2=e1-1e2. ∴BC 2 2 → → → → 又由MN=MA+AB+BN得 → 1 → → 1→ MN= DA+AB+ BC 2 2 1 1 1 3 =- e1+e2+ (e1- e2)= e2. 2 2 2 4

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即时训练

如右图,在平行四边形 ABCD 中,M,N 分别为

→ → → → DC,BC 的中点,已知AM=c,AN=d,试用 c,d 表示AB,AD.

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→ → 解法一:设AB=a,AD=b, → +NB=d+(-1b)① 则 a=AN → 2 → +MD=c+(-1a)② b=AM → 2 1 1 将②代入①得 a=d+(- )[c+(- a)] 2 2 4 2 ?a= d- c,代入② 3 3

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1 4 2 4 2 得 b=c+(- )( d- c)= c- d. 2 3 3 3 3 → 4 2 → 4 2 即AB= d- c,AD= c- d. 3 3 3 3 → → 解法二:设AB=a,AD=b. 因为 M,N 分别为 CD,BC 的中点, → =1b,DM=1a, → 所以BN 2 2

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?c=b+1a ? 2 因而? ?d=a+1b 2 ?

?a=2?2d-c? ? 3 ?? ?b=2?2c-d? ? 3



→ =2(2d-c),AD=2(2c-d). → 即AB 3 3

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热点之二

平面向量的坐标运算

1.向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行,若
已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,解题过程中要 注意方程思想的运用. 2.利用向量的坐标运算解题.主要是根据相等的向量坐标相同 这一原则,通过列方程(组)进行求解.

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1→ → 1→ → [例 2] 已知 A(-1,2),B(2,8),AC= AB,DA=- BA,求 3 3 → 点 C、D 和向量CD的坐标.

→ [思路探究] 待定系数法设定点 C、 的坐标, D 再根据向量AC, → → → AB,DA和CD关系进行坐标运算,用方程思想解之.

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[课堂记录] 设 C、D 的坐标为(x1,y1)、(x2,y2). → → 由题意得AC=(x1+1,y1-2),AB=(3,6) → → DA=(-1-x2,2-y2),BA=(-3,-6) 1→ → 1→ → 又AC= AB,DA=- BA 3 3 1 ∴(x1+1,y1-2)= (3,6), 3 1 (-1-x2,2-y2)=- (-3,-6) 3

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即(x1+1,y1-2)=(1,2),(-1-x2,2-y2)=(1,2) ∴x1+1=1 且 y1-2=2,-1-x2=1 且 2-y2=2, ∴x1=0 且 y1=4,x2=-2 且 y2=0. → ∴点 C、D 和向量CD的坐标分别为(0,4)、(-2,0)和(-2,- 4).

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→ 即时训练已知点 A(-1,-5)和向量 a=(2,3),若AB=3a,则 点 B 的坐标为________. → 解析:设 B(m,n),则AB=(m+1,n+5)=3a=3(2,3)=(6,9), ∴m+1=6,n+5=9.∴m=5,n=4.

答案:(5,4)

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热点之三

平面向量共线的坐标表示

1.凡遇到与平行有关的问题时,一般要考虑运用向量平行的充 要条件.

2.两个向量共线的充要条件在解题中具有重要的应用,一般地,

如果已知两向量共线,求某些参数的值,则利用“若a=(x1,y1),b=
(x2,y2),则a∥b的充要条件是x1y2-x2y1=0”比较简捷. 3.在求与一个已知向量a共线的向量时,采取待定系数法更为简 单,即设所求向量为λa(λ∈R),然后结合其他条件列出关于λ的方程, 求出λ的值后代入λa即可得到欲求向量,这样可以使未知数的个数少一

些,便于求解.

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[例 3] 若平面向量 b 与向量 a=(1,-2)的夹角是 180° ,且 |b|=3 5,则 b=( A.(-3,6) C.(6,-3) ) B.(3,-6) D.(-6,3)

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[课堂记录]

解法一:确定一个平面向量需要两个独立的条

件, 因此, 可设 b=(x, 由 a, 的夹角为 180° 得 a∥b, y), b , ∴1×y -(-2)· x=0
?x=3, ? ? ?y=-6. ?

①;由|b|=3 5得 x2+y2=45

②,联立①②解得

?x=-3, ? 或? ?y=6. ?

当 b=(3,-6)时,a 与 b 的夹角为 0° ,

不合题意,∴b=(-3,6).

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解法二:∵向量 b 与向量 a 的夹角是 180° ,∴b=λa(λ<0), ∴|b|=|λ||a|,又|a|= 5,|b|=3 5,∴λ=-3, ∴b=-3(1,-2)=(-3,6). 解法三:注意到 A、B、C、D 四个选项均满足条件|b|=3 5, 所以关键是利用好夹角这个已知条件, 易知(-3,6)=-3(1, -2), 所以选 A.

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[思维拓展]

(1)本题主要涉及平面向量的模、夹角、共线的充要

条件等基础知识,以及运算能力、分析能力和数形结合能力.注意
“若a=(x1,y1),b=(x2,y2),a∥b的充要条件是x1y2-x2y1=0.”的 使用; (2)解法一用的是待定系数法,体现了方程的思想,关键是将题目 中的等量关系转化成含有未知数的两个方程; (3)在解题时,要灵活地运用不同的方法,如利用数形结合,则可 以直观地得到结果.

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即时训练

(1)设向量 a=(1,2),b=(2,3),若向量 λa+b 与

向量 c=(-4,-7)共线,则 λ=________. (2)△ABC 的三内角 A、B、C 所对边的长分别为 a、b、c.设 向量 p=(a+c,b),q=(b-a,c-a).若 p∥q,则角 C 的大小为 ( ) π A. 6 π B. 3 π C. 2 2π D. 3

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解析:(1)λa+b=(λ,2λ)+(2,3)=(λ+2,2λ+3), ∴存在实数 k,使(λ+2,2λ+3)=k(-4,-7),
?λ+2=-4k ? ∴? ?2λ+3=-7k ?

,∴λ=2.

(2)∵p∥q,∴(a+c)(c-a)=b(b-a), a2+b2-c2 1 即 ab=a2+b2-c2,∴cosC= = , 2ab 2 π 又∵C∈(0,π),∴C= ,故选 B. 3

答案:(1)2

(2)B

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热点之四

平面向量坐标运算的综合应用

1.对于向量坐标的综合应用,关键是利用已知条件转化为方程
或函数关系式解决. 2.以向量为载体,解决三角、解析几何问题是高考常考题,要 引起足够重视. 3.向量与三角结合题目关键是利用向量共线的坐标关系,结合 三角函数中的有关公式进行求解.

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[例4] 已知向量a=(sinθ,cosθ-2sinθ),b=(1,2).

(1)若a∥b,求tanθ的值;
(2)若|a|=|b|,0<θ<π,求θ的值. [思路探究] (1)利用共线得方程,再结合同角关系式得解; (2)由|a|=|b|得正弦、余弦关系式,利用三角恒等变换得解.

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[课堂记录]

(1)因为 a∥b,所以 2sinθ=cosθ-2sinθ,

1 于是 4sinθ=cosθ,故 tanθ= . 4 (2)由|a|=|b|知, sin2θ+(cosθ-2sinθ)2=12+22, 所以 1-2sin2θ+4sin2θ=5. 从而-2sin2θ+2(1-cos2θ)=4,

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π 2 即 sin2θ+cos2θ=-1,于是 sin(2θ+ )=- . 4 2 π π 9π 又由 0<θ<π 知, <2θ+ < , 4 4 4 π 5π π 7π 所以 2θ+ = 或 2θ+ = . 4 4 4 4 π 3π 因此 θ= 或 θ= . 2 4 [思维拓展] 本题易忽略 θ 的范围,而导致 θ 值的误解.

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即时训练 π 其中 θ∈(0, ). 2

已知向量 a=(sinθ,2),b=(cosθ,1)且 a∥b,

(1)求 sinθ 和 cosθ 的值; 10 π (2)若 sin(θ-φ)= ,0<φ< ,求 cosφ 的值. 10 2

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解:(1)∵a∥b, ∴sinθ×1-2×cosθ=0,∴sinθ=2cosθ. ∵sin2θ+cos2θ=1, 1 ∴4cos2θ+cos2θ=1,∴cos2θ= . 5 π 5 2 5 ∵θ∈(0, ),∴cosθ= ,∴sinθ= . 2 5 5

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(2)解法一:由 sin(θ-φ)=

10 , 10

10 有 sinθcosφ-cosθsinφ= , 10 2 ∴sinφ=2cosφ- , 2 1 ∴sin φ+cos φ=5cos φ-2 2cosφ+ =1, 2
2 2 2

1 ∴5cos φ-2 2cosφ- =0. 2
2

2 2 解得 cosφ= 或 cosφ=- . 2 10

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π 2 ∵0<φ< ,∴cosφ= . 2 2 π π π 解法二:∵0<θ,φ< ,∴- <θ-φ< , 2 2 2 3 10 ∴cos(θ-φ)= 1-sin ?θ-φ?= . 10
2

∴cosφ=cos[θ-(θ-φ)] =cosθcos(θ-φ)+sinθsin(θ-φ) 5 3 10 2 5 10 2 = × + × = . 5 10 5 10 2

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向量的坐标运算及用坐标表示平面向量、共线的条件是高考考查 的热点,常以选择、填空题的形式出现,为中、低档题.向量的坐标 运算常与三角、解析几何等知识结合,在知识交汇点处命题,以解答 题的形式呈现,属中档题.

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[例5]

(2010·山东高考)定义平面向量之间的一种运算“⊙”如

下:对任意的a=(m,n),b=(p,q),令a⊙b=mq-np.下面说法错
误的是( )

A.若a与b共线,则a⊙b=0 B.a⊙b=b⊙a C.对任意的λ∈R,有(λa)⊙b=λ(a⊙b) D.(a⊙b)2+(a·b)2=|a|2|b|2

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[解析]

A项,a与b共线,则?λ∈R使得a=λb则有m=λp,n=λq,

a⊙b = λpq - λpq = 0 ; B 项 , b⊙a = np - mq = - (a⊙b) ; C 项 ,

(λa)⊙b=(λm,λn)⊙(p,q)=λmq-λnp=λ(mq-np)=λ(a⊙b);D项, (a⊙b)2 +(a·b)2 =(mq-np)2 +(mp+nq)2 =m2q2 +n2p2 +m2p2 +n2q2 =(m2+n2)(p2+q2)=|a|2|b|2. [答案] B

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1.(2010· 安徽高考)设向量 中正确的是( A.|a|=|b| C.a-b 与 b 垂直 )

?1 1? a=(1,0),b=?2,2?,则下列结论 ? ?

2 B.a· b= 2

D.a∥b ?1?2 ?1?2 2 解析:A 项,∵|a|=1,|b|= ?2? +?2? = , 2 ? ? ? ?
∴|a|≠|b|;

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1 1 1 B 项,∵a· b=1× +0× = ; 2 2 2 C
?1 1? ?1 1? 项,∵a-b=(1,0)-?2,2?=?2,-2?, ? ? ? ?

?1 1? ?1 1? 1 1 ? ∴(a-b)· ?2,-2?· ,2?= - =0; b= ? ? ?2 ? 4 4

1 1 D 项,∵1× -0× ≠0, 2 2 ∴a 不平行 b.故选 C.

答案:C

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2.(2010· 陕西高考)已知向量 a=(2,-1),b=(-1,m),c =(-1,2),若(a+b)∥c,则 m=________.

解析:∵a+b=(2,-1)+(-1,m)=(1,m-1), c=(-1,2), m-1 1 又(a+b)∥c,∴ = ,∴m=-1. 2 -1

答案:-1


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