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高一数学上学期期末考试试题(理)(1)


高一数学上学期期末考试试题( 高一数学上学期期末考试试题(理) 上学期期末考试试题
命题: 命题:张科元 审稿: 审稿:王宪生 校对: 校对:胡华川

小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 选择题: 有一项是符合题目要求的. 有一项是符合题目要求的. 1.若

sin (π + θ ) = A.第一象限

4 ?π ? 3 , sin ? + θ ? = ,则 θ 角的终边在 5 ?2 ? 5
B.第二象限 C.第三象限

( D.第四象限 ( D. 8 + k ( D. 2a > 2b



2.若 a = (1, 2) , b = (4, k ) , c = 0 ,则 ( a ? b)c = A. 0 B. 0 C. 4 + 2k



3.已知 a, b 为非零实数,且 a > b ,则下列不等式一定成立的是 A. a > b
2 2



B.

1 1 < a b

C. | a |>| b |

4.若向量 a 与 b 不共线, a ? b ≠ 0 ,且 c = a ?

(a ? a)b ,则向量 a 与 c 的夹角为( a ?b
π 3
D.0 (



A.

π 2

B.

π 6

C.

5.若 a ≥ 0, b ≥ 0 ,且 a + b = 2 ,则下列不等式一定成立的是



A. ab ≤

2 2

B. ab ≥

1 2

C. a + b ≤ 2
2 2

D. a + b ≥ 2
2 2

6.函数 y = 2sin ω x cos ω x (ω > 0) 的最小正周期为 π ,则函数 f ( x ) = 2 sin(ω x + 一个单调增区间是 A. [ ? , ] ( B. [ ,π]

π
2

)的



π π 2 2

π 2

C. [ π, ]

3π 2

D. [0, ]

7.已知函数 f ( x ) = tan(2 x ? bπ ) 的图象的一个对称中心为 ( 解析式为 A. tan(2 x + C. tan(2 x +

π
3

π 2

, 0) ,若 | b |<

1 ,则 f ( x ) 的 2
( )

π π
3

)

B. tan(2 x ?

π π
6

)

) 或 tan(2 x ? ) 6 3

π

D. tan(2 x ?

) 或 tan(2 x + ) 6 3

π

8.已知偶函数 f ( x ) 满足: f ( x ) = f ( x + 2) ,且当 x ∈ [0,1] 时, f ( x ) = sin x ,其图象与 直线 y = A. 2
2

1 在 y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为 P , P2 ? , P P ? P2 P4 等于 则 1 3 ( ) 1 2
B. 4
2

C. 8

D. 16 ( )

9.设 m, x ∈ R, M = x + 2mx + 2m , N = x ? 2 ,则 M , N 的关系为 A. M > N B. M < N C. M ≥ N D. M ≤ N

10.设 S 是 ?ABC 的面积, A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 2 S sin A < ( BA ? BC ) sin B , 则 A. ?ABC 是钝角三角形 C. ?ABC 可能为钝角三角形,也可能为锐角三角形 ( B. ?ABC 是锐角三角形 D.无法判断 )

小题, 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 填空题: 11.在平行四边形 ABCD 中,若 AB = (2, 4) , AC = (1, 3) ,则 AD = ____. (用坐标表示) 12.已知三点 A(1, 2), B (2, ?1), C (2, 2) , E , F 为线段 BC 的三等分点,则 AE ? AF = . 13. 若函数 f ( x ) =

x ( x ≥ 1) 能用均值不等式求最大值, 则需要补充 a 的 x + 2( a + 2) x + 3a
2

取值范围是_________. 14.已知关于 x 的方程 sin x + cos x = a 与 tan x + cot x = a 的解集都是空集,则实数 a 的取 值范围是______. 15.已知实数 a 、 、 满足条件 ab + bc + ca = 1 ,给出下列不等式: b c ① a b + b c + c a ≥ 1 ;②
2 2 2 2 2 2

1 ≥ 2 3 ;③ (a + b + c)2 > 2 ; abc

④ a bc + ab c + abc ≤
2 2 2

1 ; 3

其中一定成立的式子有_________.

答题卡
题号 答案 题号 答案 小题, 解答应写出文字说明、 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 解答题: 16. (本小题满分 12 分)解关于 x 的不等式: log a ( x ? 4 x + 3) < log a ( ? x + 1), ( a > 0, 且
2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

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13

14

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a ≠ 1) .

17. (本小题满分 12 分)已知向量 OA = (3, ?4), OB = (6, ?3), OC = (5 ? x, ?3 ? y ) . (Ⅰ)若点 A, B, C 能构成三角形,求 x, y 满足的条件; (Ⅱ)若 ?ABC 为等腰直角三角形,且 ∠B 为直角,求 x, y 的值.

18. (本小题满分 12 分)若将函数 f ( x ) = sin x 的图象按向量 a = ( ?π , ?3) 平移后得到函数

g ( x) 的图象.
(Ⅰ)求函数 g ( x ) 的解析式; (Ⅱ)求函数 F ( x) = f ( x) ?

1 的最小值. g ( x)

19. (本小题满分 12 分)在 △ ABC 中, cos A = (Ⅰ)求角 C 的大小;

4 17 3 , tan B = . 17 5

(Ⅱ)若 △ ABC 最大边的边长为 17 ,求最小边的边长.

20. (本小题满分 13 分) 5 ?12 ”汶川大地震中,受灾面积大,伤亡惨重,医疗队到达后, “ 都会选择一个合理的位置,使伤员能在最短的时间内得到救治。设有三个乡镇,分别位于一 个矩形 ABCD 的两个顶点 A, B 及 CD 的中点 P 处, AB = 10km , BC = 5km ,现要在该 矩形的区域内(含边界) ,且与 A, B 等距离的一点 O 处建造一个医疗站,记 O 点到三个乡 镇的距离之和为 y . (Ⅰ)设 ∠BAO = θ ( rad ) ,将 y 表示为 θ 的函数; (Ⅱ)试利用(Ⅰ)的函数关系式确定医疗站的位置,使三 个乡镇到医疗站的距离之和最短. A O B D P C

21. (本小题满分 14 分)已知 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c . (Ⅰ)证明:不论 x 取何值总有 b x + (b 2 + c 2 ? a 2 ) x + c 2 > 0 ;
2 2

(Ⅱ)证明:

c +1 a + b +1 < ; a + b + c + 1 2(a + b) + 1
1 1 1 ? < . a + b + c + 1 (c + 1)(a + b + 1) 6

(Ⅲ)若 c ≥ 2 ,证明:

湖北省

黄冈中学 鄂南高中

春季高一数学期末考试试题( 2008 春季高一数学期末考试试题(理)
审稿: 审稿:王宪生 校对: 校对:胡华川

命题: 命题:张科元

小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 选择题: 有一项是符合题目要求的. 有一项是符合题目要求的. 1.若 sin (π + θ ) = A.第一象限 [提示]:∵ sin θ = ?

4 ?π ? 3 , sin ? + θ ? = ,则 θ 角的终边在( D ) 5 ?2 ? 5
B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

4 3 < 0, cos θ = > 0 ,∴ θ 角的终边在第四象限. 5 5

2.若 a = (1, 2) , b = (4, k ) , c = 0 ,则 ( a ? b)c = ( B ) A. 0 B. 0 C. 4 + 2k D. 8 + k

[提示]:∵ ( a ? b)c = 0 . 3.已知 a, b 为非零实数,且 a > b ,则下列不等式一定成立的是( D ) A. a > b
2 2

B.

1 1 < a b

C. | a |>| b |

D. 2a > 2b

[提示]:不知 a, b 的正负,A ,B ,C 都不能确定,而函数 y = 2 x 单调递增. 4.若向量 a 与 b 不共线, a ? b ≠ 0 ,且 c = a ?

(a ? a)b ,则向量 a 与 c 的夹角为( A ) a ?b
π 3
D.0

A.

π 2

B.

π 6

C.

? (a ? a)b ? a ? ?a ? ? a ?b ? a ? a ? a ? a a?c ? [提示]:设向量 a 与 c 的夹角为 θ , cos θ = = = = 0. | a |?| c | | a |?| c | | a |?| c |
5.若 a ≥ 0, b ≥ 0 ,且 a + b = 2 ,则下列不等式一定成立的是(D) A. ab ≤

2 2

B. ab ≥

1 2

C. a + b ≤ 2
2 2

D. a + b ≥ 2
2 2

a+b a 2 + b2 2 2 [提示]:∵ ab ≤ ≤ ,∴ a + b ≥ 2 . 2 2
6.函数 y = 2sin ω x cos ω x (ω > 0) 的最小正周期为 π ,则函数 f ( x) = 2 sin(ω x + 一个单调增区间是(C) A. [ ? , ]

π
2

)的

π π 2 2

B. [ ,π]

π 2

C. [ π, ]

3π 2

D. [0, ]

π 2

[提示]: y = 2sin ω x cos ω x = sin 2ω x, (ω > 0) . ω = 1, f ( x) = 2sin( x + ∵ ∴ 在 [ π, ] 上单调递增. 7.已知函数 f ( x) = tan(2 x ? bπ ) 的图象的一个对称中心为 ( 解析式为(D) A. tan(2 x + C. tan(2 x +

π
2

) = 2 cos x ,

3π 2

π
3 )

, 0) ,若 | b |<

1 ,则 f ( x) 的 2

π π
3

)

B. tan(2 x ?

π π
6

) 或 tan(2 x ? ) D. tan(2 x ? ) 或 tan(2 x + ) 6 3 6 3 π kπ 2 k 1 1 1 [提示]:∵ 2 ? ? bπ = , ∴ b = ? ,(k ∈ Z ) ,又 | b |< ,∴ k = 1, 2 ,b = ? 或 . 3 2 3 2 2 3 6

π

π

8.已知偶函数 f ( x) 满足: f ( x) = f ( x + 2) ,且当 x ∈ [0,1] 时, f ( x) = sin x ,其图象与 直线 y = A. 2

1 在 y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为 P , P2 ? , P P ? P2 P4 等于 B ) 则 1 3 ( 1 2 B. 4 C. 8 D. 16

[提示]:依题意 P , P2 , P , P4 四点共线, P P3 与 P2 P4 同向,且 P 与 P3 , P2 与 P4 的横坐标都 1 3 1 1 相差一个周期,所以 | P P |= 2 , | P2 P4 |= 2 , P P ? P2 P4 =| P P || P2 P4 |= 4 . 1 3 1 3 1 3 9.设 m, x ∈ R, M = x 2 + 2mx + 2m 2 , N = x ? 2 ,则 M , N 的大小关系为 A. M > N B. M < N C. M ≥ N ( A )

D. M ≤ N

[提示]:∵ M ? N = x 2 + (2m ? 1) x + 2m 2 + 2 , ? = (2m ? 1) 2 ? 4(2m 2 + 2) =

?(2m + 1)2 ? 6 < 0 ,所以当 x ∈ R 时, M ? N = x 2 + (2m ? 1) x + 2m 2 + 2 > 0 .
10.设 S 是 ?ABC 的面积, A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 2 S sin A < ( BA ? BC ) sin B , 则 (A) A. ?ABC 是钝角三角形 C. ?ABC 可能为钝角三角形,也可能为锐角三角形 B. ?ABC 是锐角三角形 D.无法判断

[提示]:∵ 2 S sin A < ( BA ? BC ) sin B ,∴ 2a ? bc sin A < b ? ca cos B ,∴ sin A < cos B , ∴ ∠B 为锐角, sin A < cos B = sin( 角三角形,若 ∠A 为锐角,则 A <

π
2

1 2

? B ) ,若 ∠A 为钝角,且满足上式,则 ?ABC 是钝

π
2

? B,∴ A + B <

π
2

,C >

π
2

, ?ABC 是钝角三角形.

小题, 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 填空题: 11.在平行四边形 ABCD 中,若 AB = (2, 4) , AC = (1, 3) ,则 AD = ____. (用坐标表示) [提示]:∵ AB = DC = (2, 4) ,∴ AD = AC ? DC = (1, 3) ? (2, 4) = ( ?1, ?1) . 12. 已知三点 A(1, 2), B (2, ?1), C (2, 2) , E , F 为线段 BC 的三等分点, AE ? AF = 则 [提示]:∵ B (2, ?1), C (2, 2) , E , F 为线段 BC 的三等分点,∴ E (2, 0), F (2,1) ,

3.

AE = (1, ?2), AF = (1, ?1) ,∴ AE ? AF = 1 + 2 = 3 .
13. 若函数 f ( x ) =

x ( x ≥ 1) 能用均值不等式求最大值,则需要补充 a 的 x + 2( a + 2) x + 3a
2

取值范围是____ a ≥

1 _____. 3 x 1 ,x ≥ 1 , 该式能用均值不等式求最大值, [提示]: ∵ 2 = 3a x + 2( a + 2) x + 3a x + + 2( a + 2) x 3a 3a 1 则 > 0, 且 x = ,∴ 3a = x 2 ≥ 1, ∴ a ≥ . x x 3 14.已知关于 x 的方程 sin x + cos x = a 与 tan x + cot x = a 的解集都是空集,则实数 a 的取

值范围是____ ( ?2, ? 2) ∪ ( 2, 2) __. [提示]:∵ a = sin x + cos x =

2 sin( x + ) ∈ [? 2, 2] ,又其解集为空集,∴ a ∈ (?∞, 4

π

? 2) ∪ ( 2, +∞) , tan x > 0 时, = tan x + cot x ≥ 2 tan x ? cot x = 2 , tan x < 0 时, 当 a 当
a = tan x + cot x ≤ ?2 , ∴ a ∈ (?∞, ?2] ∪ [2, +∞) , 又 其 解 集 为 空集, ∴ a ∈ (?2, 2) , a ∈ (?2, ? 2) ∪ ( 2, 2) .

15.已知实数 a 、 、 满足条件 ab + bc + ca = 1 ,给出下列不等式: b c ① a b + b c + c a ≥ 1; ②
2 2 2 2 2 2

1 1 ≥ 2 3 ; (a + b + c)2 > 2 ; a 2bc + ab 2 c + abc 2 ≤ ; ③ ④ abc 3

其中一定成立的式子有__③④_______. [提示]:当 a = b = c =

3 2 时排除①; a = 2 , b = 3 , c = ?1 时排除②;而 (a + b + c ) 3

= a 2 + b 2 + c 2 + 2( ab + bc + ca ) ≥ 3( ab + bc + ca ) = 3 > 2 ,∴③成立; (ab + bc + ca ) 2

≥ 3[(ab)(bc ) + (bc )(ca ) + (ca )(ab)] = 3(a 2bc + ab 2 c + abc 2 ) ,∴④成立.
小题, 解答应写出文字说明、 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 解答题: 16. (本小题满分 12 分)解关于 x 的不等式: log a ( x ? 4 x + 3) < log a ( ? x + 1), ( a > 0, 且
2

a ≠ 1) .
[解答]:由 x 2 ? 4 x + 3 > 0, ? x + 1 > 0 ,得 x < 1 ,所以依对数的性质有: 当 a > 1 时, x 2 ? 4 x + 3 < ? x + 1,∴ x 2 ? 3 x + 2 < 0,∴1 < x < 2 ,又 x < 1 ,此时不等式无解; 当 0 < a < 1 时, x 2 ? 4 x + 3 > ? x + 1,∴ x 2 ? 3 x + 2 > 0,∴ x > 2 或 x < 1 ,又 x < 1 ,∴ x < 1 , 综上:当 a > 1 时,不等式无解;当 0 < a < 1 时,不等式的解集为 { x | x < 1} . 17. (本小题满分 12 分)已知向量 OA = (3, ?4), OB = (6, ?3), OC = (5 ? x, ?3 ? y ) . (Ⅰ)若点 A, B, C 能构成三角形,求 x, y 满足的条件; (Ⅱ)若 ?ABC 为等腰直角三角形,且 ∠B 为直角,求 x, y 的值. [解答]: (Ⅰ) 若点 A, B, C 能构成三角形,则这三点不共线,∵ AB = (3,1),

AC = (2 ? x,1 ? y ), ∴ 3(1 ? y ) ≠ 2 ? x , x, y 满足的条件为 3 y ? x ≠ 1 ∴ (若根据点 A, B, C
能构成三角形,必须 | AB | + | BC |>| AC | ,相应给分) ; (Ⅱ) AB = (3,1), BC = ( ? x ? 1, ? y ) , ∠B 为直角, AB ⊥ BC , 3( ? x ? 1) ? y = 0 , ∵ 若 则 ∴ 又 | AB |=| BC | ,∴ ( x + 1) 2 + y 2 = 10 ,再由 y = 3(? x ? 1) ,解得 ?

?x = 0 ? x = ?2 或? . ? y = ?3 ? y = 3

18. (本小题满分 12 分)若将函数 f ( x ) = sin x 的图象按向量 a = ( ?π , ?3) 平移后得到函数

g ( x) 的图象.
(Ⅰ)求函数 g ( x ) 的解析式; (Ⅱ)求函数 F ( x) = f ( x) ?

1 的最小值. g ( x)

[解答]: (Ⅰ)设 P ( x, y ) 是函数 f ( x) = sin x 的图象上任意一点,按向量 a = ( ?π , ?3) 平移 后在函数 g ( x ) 的图象上的对应点为 P ( x , y ) ,则: ?
' ' '

? x' = x ? π ? x = x' + π ? ? ,∴ ? ,即 ' ' ?y = y ?3 ?y = y +3 ? ?

y ' + 3 = sin( x + π ) ,所以函数 g ( x) = ? sin x ? 3 ;
(Ⅱ)∵ F ( x ) = f ( x) ?

1 1 1 = sin x + = sin x + 3 + ? 3 ,令 t = sin x + g ( x) sin x + 3 sin x + 3

1 1 3 ∈ [2, 4] ,而函数 ? (t ) = t + 在 [2, 4] 上是增函数,所以当 t = 2 时, ? (t ) min = 2 + ,即 t 2 1 当 sin x = ?1 时, F ( x) min = ? . 2
19. (本小题满分 12 分)在 △ ABC 中, cos A = (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若 △ ABC 最大边的边长为 17 ,求最小边的边长. [解答]: (Ⅰ) C = π ? ( A + B ) ,cos A = ∵

4 17 3 , tan B = . 17 5

4 17 1 , tan A = ∴ ∴ tan C = ? tan( A + B ) = 17 4

1 3 + 3 ? 4 5 = ?1 .又∵ 0 < C < π ,∴ C = π ; 1 3 4 1? × 4 5
(Ⅱ)∵ C =

3 ? π? π ,∴ AB 边最大,即 AB = 17 .又∵ tan A < tan B,A,B ∈ ? 0, ? , 4 ? 2? 4 17 17 AB BC ,∴ sin A = .由 = 得: 17 17 sin C sin A

∴ 角 A 最小, BC 边为最小边.∵ cos A =

sin A = 2 ,所以,最小边 BC = 2 . sin C 20. (本小题满分 13 分) 5 ?12 ”汶川大地震中,受灾面积大,伤亡惨重,医疗队到达后, “
BC = AB i
都会选择一个合理的位置,使伤员能在最短的时间内得到救治。设有三个乡镇,分别位于一

个矩形 ABCD 的两个顶点 A, B 及 CD 的中点 P 处, AB = 10km , BC = 5km ,现要在该 矩形的区域内(含边界) ,且与 A, B 等距离的一点 O 处建造一个医疗站,记 O 点到三个乡 镇的距离之和为 y . (Ⅰ)设 ∠BAO = θ ( rad ) ,将 y 表示为 θ 的函数; (Ⅱ)试利用(Ⅰ)的函数关系式确定医疗站的位置,使三 个乡镇到医疗站的距离之和最短. [解答]: (Ⅰ)如图,延长 PO 交 AB 于点 Q ,由题设可知 A O B D P C

1 AB = 5 , AO = BO , PO = 5 ? OQ ,在 Rt ?ABC 中, 2 5 10 π AO = , OQ = 5 tan θ ,∴ y = AO + BO + PO = + 5 ? 5 tan θ ,又∵ 0 ≤ θ ≤ , cos θ cos θ 4 10 π ∴y = ? 5 tan θ + 5, (0 ≤ θ ≤ ) ; cos θ 4 10 2 ? sin θ 2 ? sin θ π (Ⅱ)∵ y = ? 5 tan θ + 5 = 5 ? + 5 ,令 u = , 0 ≤ θ ≤ ,则 cos θ cos θ cos θ 4 BQ = AQ =

u cos θ + sin θ = 2,∴ u 2 + 1sin(θ + ? ) = 2, (tan ? = u ) ,∴ sin(θ + ? ) =
∴ u ≥ 3 或 u ≤ ? 3 (舍) u = 3 时, ? = ,当
站的位置 O 满足 θ = 站的距离之和最短. 21. (本小题满分 14 分)已知 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c . (Ⅰ)证明:不论 x 取何值总有 b x + (b 2 + c 2 ? a 2 ) x + c 2 > 0 ;
2 2

2 u2 +1

≤ 1,

π
3

,θ =

π

∈ [0, ] ,所以 y 最小,即医疗 6 4

π

π
6

, AO = BO =

10 3 5 3 km, PO = 5 ? km ,可使得三个乡镇到医疗 3 3

(Ⅱ)证明:

c +1 a + b +1 < ; a + b + c + 1 2(a + b) + 1 1 1 1 ? < . a + b + c + 1 (c + 1)(a + b + 1) 6
2 2 2

(Ⅲ)若 c ≥ 2 ,证明:

[解答]: (Ⅰ)令 y = b 2 x 2 + (b 2 + c 2 ? a 2 ) x + c 2 ,由余弦定理 b + c ? a = 2bc cos A ,

∴ ? = (b 2 + c 2 ? a 2 ) 2 ? 4b 2 c 2 = 4b 2 c 2 cos 2 A ? 4b 2 c 2 = 4b 2 c 2 (cos 2 A ? 1) ,在三角形中

cos 2 A < 1 ,∴? < 0 ,再由 b 2 > 0 得:不论 x 取何值总有 b 2 x 2 + (b 2 + c 2 ? a 2 ) x + c 2 > 0 ;

(Ⅱ) 要证

c +1 a + b +1 < , 即证 [2( a + b) + 1](c + 1) < ( a + b + 1)( a + b + c + 1) , a + b + c + 1 2(a + b) + 1
2 2

整理得: a + b + 2ab ? ac ? bc > 0 ,亦即证: (a + b)( a + b ? c ) > 0 ,因为在三角形中

a + b > c,∴ a + b ? c > 0 ,所以 (a + b)(a + b ? c) > 0 成立,则原不等式成立;
(Ⅲ)由(Ⅱ)得:

1 1 1 ? c +1 1 ? ? = ? a + b + c + 1 ? a + b + 1? a + b + c + 1 (c + 1)(a + b + 1) c + 1 ? ?

<

1 ? a + b +1 1 ? a + b +1 1 t +1 ? 2(a + b) + 1 ? a + b + 1 ? ,令 t = a + b ,则 2(a + b) + 1 ? a + b + 1 = 2t + 1 ? c +1 ? ?

1 t2 1 1 1 ? a + b +1 1 ? 1 1 1 = 2 = < , 所以 ? 2(a + b) + 1 ? a + b + 1 ? < c + 1 ? 2 ≤ 6 , t + 1 2t + 3t + 1 2 + ( 3 + 1 ) 2 c +1 ? ? t t2
即原不等式成立.


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