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高一数学《图像变换》PPT课件


函数的图象
函数图象是研究 函数的重要工具,它为 研究函数的数量关系 及其图象特征提供一 种”形”的直观体现, 是利用”数形结合” 解题的重要基础.

数少形时少直观 形少数时难入微 数形结合百般好 数形分离万事休

华罗庚

描绘函数图象的两种基本方法: ①描点法:(通过列表﹑描点﹑连线三个步骤完成) ②

变换作图法:(即一个图象经过变换得到另一个 与之相关的函数图象的方法) 函数图象的四大变换方法

平移

伸缩

对称

翻折

2 复习:函数 y ? ( x ? 1) 2 ? 1和 y ? ( x ? 1) 2 ? 2 的图象分别是由 y ? x 的图

象经过如何变化得到的?

y
y=x2

y=(x-1)2+1

平 移 变 换

y=(x+1)2-2

o

1

x

解:(1)将y=x2的图象沿x轴向右平移一个单位,再沿y轴方向向上平
移一个单位得y=(x-1)2+1的图象。 (2)将y=x2的图象沿x轴向左平移一个单位,再沿y轴方向向下平 移两个单位得y=(x+1)2-2的图象。

例1:观察下列函数,画出下列函数的图 像:

1 (1) y ? f ( x) ? ; 2x 1 (2) y ? f ( x) ? 2x ? 2 1 (3) y ? f ( x) ? 2x ? 2

函数图象的变换
小结(平移变换):
1. 将函数y=f(x)的图象向左(或向右)平移|k|个单位 (k>0时向左,k<0向右)得y=f(x+k)的图象。

注意:左右平移是相对于自变量 x 而言
2. 将函数y=f(x)的图象向下(或向上)平移|k|个单位 (k>0时向下,k<0向上)得y +k =f(x) 的图象。

总结:k>0,向负方向平移;k<0,向正方向 平移。

3x ? 7 例1. 画出函数 y ? 的图象。 x?2
解:
3x ? 6 ? 1 3x ? 7 y? ? ? x?2 x?2

1 3? x?2

好象学过 怎么办呢? 1 … y ? 的图象!
x

y

1 y? x
平移变换

o

x

1 y ? 3? x?2
x?2

因此:我们可将函数 y ?

沿y轴向上平移3个单位得到函数 y ? 3 ?

1 的图象先沿x轴向左平移2个单位,再 x 1

的图象。

练习1

1 1 (1) y ? 向左平移 个单位得到 。 2x 2 (2)y ? f ( x)恒过点(1,1), 则y ? f ( x - 4)过
y?

1 2x ? 1

点(5,1) 。 (3)f ( x)图像关于x ? 1对称,则f ( x - 4)
x 关于 ? 5 对称。

例2. 设f(x)=

1 x

(x>0),分别作出函数y=-f(x)、y=f(-x)、

y=-f(-x) 的图象,并指出与函数f(x)图象的关系 。
y
y=f(x) y=f(-x)

y
y=f(x)

y
y=f(x)

o

1

x

o

1

x

o
y=-f(-x)

1

x

y=-f(x)

横坐标不变 纵坐标取相反数 图象关于x轴对称

横坐标取相反数 纵坐标不变 图象关于y轴对称

横坐标、纵坐标 同时取相反数 图象关于原点对称

对 称 变 换

小结:对称变换
1.函数y=f(-x)与函数y=f(x)的图像关于y轴对称.
2.函数y=-f(x)与函数y=f(x)的图像关于x轴对称. 3.函数y=-f(-x)与函数y=f(x)的图像关于原点对称.

4.函数y=f(x)与它的反函数的图象关于直线y=x对称.
5.若函数y=f(x)在定义域内满足f(a+x) =f(b-x),则函数y=f(x)的图 象关于直线x=(a+b)/2对称. 第5点的证明: 在函数y=f(x)上任取一点M(m,n),则M关于直线x=(a+b)/2的对 称点是N(a+b-m,n),且f(m) =n, 因为f(a+b-m)=f[a+(b-m)]= f[b-(b-m)]=f(m)=n 所以点N在y=f(x)的图象上,所以函数y=f(x)的图象关于直线 x=(a+b)/2对称

例3. 设f(x)=

x ? 2 x , 求函数y=|f(x)|、y=f(|x|)的解
2

析式及其定义域,并分别作出它们的图象。 y y=f(x)

O

1

2

x

Y

y ?| f ( x) |

y ? f ( x)

O

X

Y

y (x) y ?? ff ( x )

O

X

练习2、画出下列函数的图象

?1? y ? x ,y ? 2 x ?2? y ? 1 ? x,y ? 1 ? x ?3? y ? x ? 4 x ? 3,y ? x ? 4 x ? 3,y ? x ? 4 x ? 3
2 2 2

小结 (翻折变换) :
1.将函数y=f(x)图象保留x轴上方的部分并且把x轴下方 的部分关于x轴作对称就得到函数y=|f(x)|的图象

2.将函数y=f(x)图象去掉y轴左方的部分,保留y轴右方 的部分并且把它关于y轴作对称就得到函数y=f(|x|)的图 象

求方程 x ? 4 x ? 3 ? m 的根的个数。
2





1.用图象变换法画函数图象的简图时,往往要先找出该 函数的基本初等函数,再分析其通过怎样的变换(平移、 对称等)而得到。有时要先对解析式进行适当的变形。 2.当不能直接利用图象变换法画函数图象的简图时(即 找不到该函数的基本初等函数),可先分别确定函数的定 义域、讨论函数的性质(如单调性、奇偶性、特殊点、 特征线等),再用描点法或图象变换法得出图象。

作业: 1、 画出下列函数的图像 ?2 x ? 1 ?1 (1) y ? (2) y ? ? x ? 2 ? ? 3 x ?1 2、 分别画出下列函数的图像,并指出它们 的单调区间 (1) y ? 2 x ? 3 (2) y ? 2 x ? 3 (3) y ? x ? x ? 2
2

(4) y ? x ? x ? 2
2


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