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福建省莆田第六中学2015-2016学年高一数学下学期期中试题(A卷)


莆田第六中 2015—2016 学年(下)高一期中考试数学(A)卷
(时间 120 分钟,满分 150 分) 一.选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确(每小题 5 分,共 60 分) . 1.若直线 Ax ? By ? C ? 0 通过二、三、四象限, 则系数 A, B, C 需满足条件( ) A. A, B, C 同号 B. AC ? 0, BC ? 0

D. A ? 0, BC ? 0

C. C ? 0, AB ? 0 2.给出下列四个命题:

① 若平面 ? 内有不在一条直线上的三个点到平面 ? 的距离相等,则 ?∥? 。 ② 三个平面可以把空间分成七个部分。 ③ 正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中与对角线 DB 1 成异面直线的棱共有 5 条。 ④ 若一条直线和平面内无数条直线没有公共点,则这条直线和这个平面平行。 其中假 命题的个数为( ) . A. 1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 ) 3.直线 l1 : x ? ay ? 3 ? 0 和直线 l2 : (a ? 2) x ? 3 y ? a ? 0 互相平行,则 a 的值为 ( (A) -1 或 3 (B) -3 或 1 (C) -1 (D) -3 图所示, ( )

4. 用若干块相同的小正方体搭成一个几何体, 该几何体的三视图 如 则搭成该几何体需要的小正方体的块数至少是 A. 5 B.6 C. 7 D. 8 5. 圆 x ? y ? 2x ? 1 ? 0 关于直线 2 x ? y ? 3 ? 0 对称的圆的方程
2 2






2 2 A. ( x ? 3 ) ? ( y ? 2) ?

1 2

2 2 B. ( x ? 3 ) ? ( y ? 2) ?

1 2

C. ( x ? 3 ) ? ( y ? 2) ? 2
2 2

D. ( x ? 3 ) ? ( y ? 2) ? 2
2 2

6.如图,在所有棱长都相等的三棱锥 S ? ABC 中, E、F 分别是 中点,则直线 EF 与 SA 所成的角为( A.90° B.60° C.45° ) D.30°

SC、 AB 的

7.已知直线 mx ? 4 y ? 2 ? 0 和 2 x ? 5 y ? n ? 0 互相垂直,且垂足为

(1, p )





m ? n ? p 的值是(

) )

(A) 24 (B) 20 (C) 0 (D) ?4 8.若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2? 的半圆面,则该圆锥内切球的体积为( A.

4 3 ? 27

B.

32 3 ? 27

C.

4 ? 3

D.

16 ? 3
1

9.若圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 10 ? 0 上至少有三个不同的点到直线 l : ax ? by ? 0 的 距离为 2 2 ,则直线 l 的倾斜角的取值范围是 A. [ ( )

, ] C. [ , ] D. [0, ] 12 12 6 3 2 10.已知从点 P 出发的三条射线 PA , PB , PC 两两成 60 ? 角,且分别与球 O 相切于 A , B , C 三点。 若球 O 的体积为 36? ,则 O , P 两点间的距离为( )
A. 3 2 B. 3 3 C.3 D.6 ) 11.过空间一定点 P 的直线中,与长方体 ABCD 一 A1B1C1D1 的 12 条棱所在直线成等角的直线共有( (A)0 条 (B)1 条 (C)4 条 (D)无数多条
2 2 2 2

,] 12 4

? ?

B. [

? 5?

? ?

?

12.已知圆 C1 : ? x ? 2 ? ? ? y ? 3 ? ? 1 ,圆 C2 : ? x ? 3? ? ? y ? 4 ? ? 9 , M , N 分别是圆 C1 , C2 上的动点,

P 为 x 轴上的 动点,则 PM ? PN 的最小值为(
A. 5 2 ? 4 B. 17 ? 1

) D. 17

C. 6 ? 2 2

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 1 3.点 M 在 y 轴上,且到点 (1, ?1) 及 (2, 0) 的距离相等,则点 M 的坐标是________________.

M 是棱 BB1 的中点。 14.已知 ABCD ? A 1B 1C1D 1 是棱长为 2 的正方体,点 O 1 是底面 A 1B 1C1 D 1 的中心,
则四面体 O1 ADM 的体积为 . 15.三个半径都是 2 的圆,其圆心分别为 A(1,1),

B(3,6), C(7,12) ,直线 l 斜率为 k ,且过点 (1,1) 。

若圆 A 圆 B 圆 C 位于直线 l 某一侧的部分的面积和等于位于直线 l 另一侧的部分的面积和。则

k ? _________.

16.平行四边形 ABCD 的一个顶点 A 在平面 ? 内,其余顶点在 ? 的同侧,已知其中有两个顶点到 ? 的距 离分别为 1 和 2 ,那么剩下的一个顶点到平面 ? 的距离可能是: ①1; ②2; ③3; ④4;

以上结论正确的为______________。 (写出所有正确结论的编号) 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或或演算步骤) 17. (本小题满分 10 分)已知直线 l 经过直线 2 x ? y ? 5 ? 0 与 x ? 2 y ? 0 的交点,且点 A?5,0? 到 l 的距 离为 3,求 l 的方程. .

18. (本小题满分 12 分)矩形 ABCD 的 两条对角线相交于点 M (2,0) , AB 边所在直线的方程为

x ? 3 y ? 6 ? 0 ,点 T (?1,1) 在 AD 边所在直线上.
2

(Ⅰ)求 AD 边所在直线的方程; (Ⅱ)求矩形 ABCD 外接圆的方程.

19.(本小题满分 12 分) 如图,三棱锥 P ? ABC 中, PB ? 底面 ABC ,

?BCA ? 90? , PB ? BC ? CA ? 4 , E 为 PC 的中点, M 为 AB 的中点,点 F 在 PA 上,且 AF ? 2 FP . (1)求证: BE ? 平面 PAC ; (2)求证: CM / / 平面 BEF .

20. (本小题满分 12 分) 2 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 y=x -6x+1 与坐标轴的交点都在圆 C 上. (1)求圆 C 的方程; (2)若圆 C 与直线 x-y+a=0 交于 A,B 两点,且 OA⊥OB,求 a 的值.

21. (本小题满分 12 分) 在如图所示的几何体中, EA ? 平面 ABC, DB ? 平面 ABC, AC ? BC , AC ? BC ? BD ? 2 AE ,M 是 AB 的中点。 (Ⅰ)求证: CM ? EM ; D (Ⅱ)求 CM 与平面 CDE 所成的角.
E

A M B

C

22. (本小题满分 12 分) 已知两个同心圆 C1 : x ? y ? 4 和 C2 : x ? y ? 16 , P 圆 C2 上一点。过点 P 作圆 C1 的两条切线,切
2 2 2 2

点分别为 A 、 B 。 (1)若 P 点坐标为 (2 2 , ? 2 2) ,求四边形 OAPB 的面积。 (2)当点 P 在圆 C2 上运动时,是否存在定圆恒与直线 AB 相切?若 存在,求出定圆的方程;若不存在, 请说明理由.

3

莆田第六中 2015—2016 学年(下)高一段期中考试 数学(A)卷答案 一.选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确(每小题 5 分,共 60 分) . 1.A 2.C 3.C 4.A 5.C 6.C 7.B 8.A 9.B 10. B 11. C 12.A

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. ?0,1? 14. 1 15. 2

16. ①③

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或或演算步骤) 17. (本小题满分 10 分) 答案: 4 x ? 3 y ? 5 ? 0 或 x ? 2 ? 0 18. (本小题满分 12 分) (Ⅰ) 3x ? y ? 2 ? 0 (Ⅱ) ?x ? 2? ? y 2 ? 8
2

19.(本小题满分 12 分) 解: (1)证明:∵ PB ? 底面 ABC ,且 AC ? 底面 ABC , ∴ AC ? PB
? 由 ?BCA ? 90 ,可得 AC ? CB

又? PB ? CB ? B ,∴ AC ? 平面 PBC

注意到 BE ? 平面 PBC , ∴ AC ? BE ? PC ? AC ? C , ∴ BE ? 平面 PAC

? PB ? BC , E 为 PC 中点,∴ BE ? PC

(2)取 AF 的中点 G ,连接 CG, CM , GM , ∵ E 为 PC 中点, FA ? 2 FP ,∴ EF / / CG . ∵ CG ? 平面 BEF , EF ? 平面 BEF , ∴ CG / / 平面 BEF . 同理可证: GM / / 平面 BEF . ∴ 平 面 CMG / / 平 面 BEF . CD / / 平面 BEF . 20. (本小题满分 12 分) 解:(1)曲线 y=x -6x+1 与 y 轴的交点为(0,1),与 x 轴的交点为(3+2 2,0) , (3-2 2,0). 故可设 C 的圆心为(3,t),则有 3 +(t-1) =(2 2) +t , 解得 t=1.则圆 C 的半径为 3 +?t-1? =3. 所以圆 C 的方程为(x-3) +(y-1) =9. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满足方程组:
2 2 2 2 2 2 2 2 2

又 CG ? GM ? G , ∵ CD ? 平 面 C D G , ∴

x ? y ? a ? 0, ? ? 2 2 ?( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 9.
消去 y,得到 方程 2x + (2a-8)x+a -2a+1=0. 由已知可得,判别式 Δ =56-16a-4a >0.
4
2 2 2

从而 x1+x2=4-a,x1x2=

a2-2a+1
2

.



由于 OA⊥OB,可得 x1x2+y1y2=0. 又 y1=x1+a,y2=x2+a, 所以 2x1x2+a(x1+x2)+a =0.
2



由①,②得 a=-1,满足 Δ >0,故 a=-1. 21. (本小题满分 12 分) 分析:本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识,同时考查空间想象 能力和推理运算能力. 解答: (I)证明:因为 AC ? BC , M 是 AB 的中点, 所以 CM ? AB . 又 EA ? 平面 ABC , 所以 CM ? EM . (II)解:过点 M 作 MH ? 平面 CDE ,垂足是 H ,连结 CH 交延长交 ED 于点 F ,连结 MF , MD . ∠FCM 是直线 CM 和平面 CDE 所成的角. D E 因为 MH ? 平面 CDE , E 所以 MH ? ED , H 又因为 CM ? 平面 EDM , 所以 CM ? ED , 则 ED ? 平面 CMF ,因此 ED ? MF . C A 设 EA ? a , BD ? BC ? AC ? 2a , M 在直角梯形 ABDE 中,

AB ? 2 2a , M 是 AB 的中点,
所以 DE ? 3a , EM ? 3a , MD ?

B

6a ,
?

得 △EMD 是直角三角形,其中∠EMD ? 90 , 所以 MF ?

EM ?MD ? 2a . DE MF ?1, MC

在 Rt△CMF 中, tan ∠FCM ? 所以∠FCM ? 45 ,
?

故 CM 与平面 CDE 所成的角是 45 .

?

22. (本小题满分 12 分) 【解答】 (1)依题意, OA ? AP , OB ? BP ,且 OA ? OB ? 2 , PA ? PB ? 42 ? 22 ? 2 3 。 ∴

1 S△OAP ? S△OBP ? ? 2 ? 2 3 ? 2 3 。 2
………………… 4 分
5

∴四边形 OAPB 的面积为 4 3 。

(2)设 P(m , n) ,则 m ? n ? 16 。
2 2

当 点

P

在 圆

C2

上 运 动 时 , 恒 有

PA ? PB ? 42 ? 22 ? 2 3 。
∴ 点 A 、 B 在以 P 为圆心, 2 3 为半径的圆上。

该圆方程为 ( x ? m)2 ? ( y ? n)2 ? 12 。 …………………… 6 分 又点 A 、 B 在圆 C1 : x2 ? y 2 ? 4 上。 联立两圆方程,消二次项,得 ?2mx ? 2ny ? m2 ? n2 ? 12 ? 4 。即 mx ? ny ? 4 ? 0 。 ∴ 直线 AB 方程为 mx ? ny ? 4 ? 0 。 原点 O 到直线 AB 的距离 d ? ………………… 10 分



0?0?4 m ?n
2 2

?

4 ? 1 为定值。 4

∴ ∴

圆 x 2 ? y 2 ? 1恒与直线 AB 相切。 存在定圆恒与直线 AB 相切,定圆方程为 x 2 ? y 2 ? 1。 ……… 12 分

注:本题也可以用平面几何方法求解: 设 OP 与 AB 的交点为 D ,则 OD ? AB 。 ………………… 6 分 在 △OAP 中,由 OA ? AP , OA ? 2 , OP ? 4 ,知 OD ? 1 。 ………… 10 分 ∴ 以 O 为圆心,1 为半径的圆恒于直线 AB 相切。 ∴ 存在定圆恒与直线 AB 相切,定圆方程为 x 2 ? y 2 ? 1。 ……… 12 分

6


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