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河南省郑州市2013届高三第三次测验预测理科数学试题(word版)

时间:2013-05-13


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河南省郑州市 2013 届高三第三次测验预测 理科数学试题卷
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.考试时间 120 分钟,满分 150 分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息,然后在答题卡上作答,在试题卷上作答无效. 第I卷 一、选择題:本大題共 12 小題,每小題 5 分,共 60 分,在每小題给出的四个选项中, 只 有一项是符合題目要求的. 1. 已知集合 A={(x,y) |x+y-1=0,x,y ? R},B={(x,y) |y=x2+1,x,y ? R },则 集合 A ? B 的元素个数是 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

2. 已知 x,y ? R,i 为虚数单位,若 x-1+yi= A. 2 B. 3

2i ,则 x+y 的值为 1? i
D. 5

C. 4

3. 下列命题中的假命题是 A ?x ? R, x 2 ? 0 C ?x ? R, lg x ? 1 B ?x ? R,2 x?1 ? 0 D ?x ? R, sin x ? cos x ? 2

3 2 4. 设 a 为实数,函数 f(x)=x +ax +(a-3)x 的导函数为 f ?(x) ,且 f ?(x) 是偶函数, 则

曲线:y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 A. 9x—y—16 = 0 C. 6x-y—12 = 0 5. 已知实数:x,y 取值如下表: B. 9x+y—16 = 0 D. 6x+y—12 = 0

? 从所得的散点图分析可知::y 与:r 线性相关,且 y ==0. 95x+a,则 a 的值是
A. 1.30 B. 1. 45 C. 1. 65 D. 1. 80

6. 已知直线 l 丄平面 a,直线 m ? 平面β 给出下列命题: ①a//β =>l 丄 m;②a 丄β =>l//m ③l//m=>a 丄β ;④l 丄 m=>a// β 其中正确命题的序号是
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A.①②③ C.①③

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B.②③④ D.②④

7. 如图给出了一个程序框图, 其作用是输入 x 的值, 输出 相 应的 y 值,若要使输入的 x 值与输出的 y 值相等,则这样的 x 值 有 A. 1 个 C. 3 个 B. 2 个 D. 4 个

8. 函数 y ? 2 cos(?x ? ? )(? ? 0) 且 | ? |?

?
2

,在区间

[?

? ?

, ] 上单调递增,且函数值 从-2 增大到 2,那么此函数图 3 6

象与 y 轴交点的纵坐标为 A. 1 B. C. D.

2
?

3

6? 2 2
1 x ) 8 的展开式中 x2 项的系数是
C. -1792 D. 1792

9. 设 a ? A. -1120

?

0

sin xdx 则二项式 (ax ?
B. 1120

10.抛物线 y2= 12x 的准线与双曲线

x2 y2 ? ? 1 的两条渐近线围成的三角形的面积为 4 12
D.9 3

A. 6

B.6 3

C. 9

11.在Δ ABC 中,a,b,c 分别是角 A ,B,C 的对边,a= 6 ,b=2,且 1 + 2cos(B + C) =0, 则Δ ABC 的 BC 边上的高等于 A. B.

2

6 2

C.

6? 2 2

D.

3 ?1 2

12. 已知椭圆有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经楠圆反射后,反射 光 线经过椭圆的另一个焦点.今有一水平放置的椭圆形台球盘,点 A、B 是它的两个焦点, 长轴 长为 2a,焦距为 2c,当静止放在点 A 的小球(半径不计),从点 A 沿直线出发,经椭 圆壁反弹 后再回到点 A,则小球经过的路径是 A. 4a B. 2(a-c) C. 2(a + c) 第 II 卷
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D.以上答案都有可能

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本卷包括必考題和选考題两部分.第 13 題?第 21 題为必考題, 22 題?24 題为选考 題. 第 考生根据要求作答. 二、填空题:本大題共 4 小題,每小題 5 分,共 20 分. 13.已知正项等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1a2=2,a2a3=8,则 S10=______. 14.已知长方体的一个顶点上的三条棱长分别是 4, h, 8, 且它的 8 个顶点都在同一个 球 面上,这个球面的表面积为 100 ? ,则 h= ____. 15.已知函数:y=f(x)的图象与函数 y=2-x-1 的图象关于直线 y=x 对称,则 f(3)=_____

? x ? 4 y ? 3 ? 0, y ? 16.已知 ?3 x ? 5 y ? 15 ? 0 ,则 z ? 的范围是______. x ?x ? 1 ?
三.解答題:本大題共 6 个小題,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知数列{an}是公差不为 0 的等差数列,a1=2,且 a2,,a3, a4+1 成等比数列. (I)求数列{an}的通项公式; (II)设 bn ?

2 n.(a n ? 2)

,求数列{bn}的前 n 项和 Sn

18. (本小题满分 12 分) 为了倡导健康、低碳、绿色的生活理念,某市建立了公共自行车服务系统,鼓励市民租 用 公共自行车出行,公共自行车按每车每次的租用时间进行收费,具体收费标准如下: ①租用时间不超过 1 小时,免费; ②租用时间为 1 小时以上且不超过 2 小时,收费 1 元; ③租用时间为 2 小时以上且不超过 3 小时,收费 2 元; ④租用时间超过 3 小时,按每小时 2 元收费(不足 1 小时的部分按 1 小时计算) 甲、 乙两人独立出行,各租用公共自行车一次,两人租车时间都不会超过 3 小时, 设甲、 乙租用时间不超过一小时的概率分别是 0. 5 和 0. 6;租用时间为 1 小时以上且不超过 2 小 时 的概率分别是 0.4 和 0.2.
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(I)求甲、乙两人所付租车费相同的概率; (II)设甲、乙两人所付租车费之和为随机变量 ? 求 ? 的分布列和数学期望 E ? .

19. (本小题满分 12 分) 如图所示的几何体中,四边形 PDCE 为矩形,ABCD 为直 角梯形,且 ? BAD = ?ADC 90°,平面 PDCE 丄平面 ABCD,AB=AD=

1 CD=1,PD= 2 2

(I)若 M 为 PA 的中点,求证:AC//平面 MDE; (II)求平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角的大小

20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C:

x2 y2 6 , ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? 2 a b 3

短轴右端点为 A,P(1,0)为线段 QA 的中点. (I)求椭圆 C 的方程; (II)过点 p 任作一条直线与椭圆 c 相交于两点 M,N,试问 在 x 轴上是否存在定点 Q,使得 ?MQP = ?NQP ,若存在,求 出点 Q 的坐标;若不存在,说明理由.

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21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=mx增函数,且 ? ? (?

? ?

m ? 1 ? 2e 1 ? ln x 在[1,+ ? )上为 -lnx,m ? R,函数 g ( x) ? x x cos ?

, ). 2 2

(I )当 m=0 时,求函数 f(x)的单调区间和极值; (II)求θ 的值; (III)若在[1, e]上至少存在一个 x0,使得 f(x0)>g(x0)成立,求 m 的取值范围.

选做題(本小題满分 10 分,请从 22、23、24 三个小题中任选一題作答,并用铅笔在对 应 方框中涂黑) 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1 :几何证明选讲 如图,AB 是 0 的一条切线,切点为 B,直线 ADE,CFD, CGE 都是 O 的割线,已知 AC=AB. (1)求证:FG//AC; (II)若 CG=1,CD=4,求

DE 的值. GF

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程是 ? =2, 以极点为原点, 极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角 坐
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1 ? ?x ? 2 ? 2 t, ? 标系,直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数). ? y ? 1 ? 3 t, ? 2 ?
(I)写出直线 l 与曲线 C 的直角坐标系下的方程; (II)设曲线 C 经过伸缩变换 ?

? x? ? x, 得到曲线 C ? 设曲线 C ? 上任一点为 M(x,y),求 y ? ? 2 y, ?

3x ?

1 y 的取值范围. 2

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f(x) = log2(|2x-1|+|x+2|-a). (I)当 a = 4 时,求函数 f(x)的定义域; (II)若对任意的 x ? R,都有 f(x) ? 2 成立,求实数 a 的取值范围.

2013 年高中毕业年级第三次质量预测 数学(理科) 一、选择题 题号 答案 1 C 2 B 3 D 4 A 5 B 6 C 7 C 8 A 9 B 10 D 11 C 12 D 参考答案

一. 填空题 13. 1023 二. 解答题
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14. 2 5

15. -2

16. [

8 12 , ] 15 5

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17. (本小题满分 12 分)

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解: (Ⅰ)设数列 ?an ? 的公差为 d ,由 a1 ? 2 和 a2 , a3 , a4 ? 1成等比数列,得

(2 ? 2d ) 2 ? ?2 ? d ??3 ? 3d ?,


解得 d ? 2 ,或 d ? ?1 ,……………………2

当 d ? ?1 时, a3 ? 0 ,与 a2 , a3 , a4 ? 1成等比数列矛盾,舍去.

?d ? 2 ,

………………………4 分

? an ? a1 ? ?n ? 1?d ? 2 ? 2?n ? 1? ? 2n, 即数列 ?an ? 的通项公式 an ? 2n. …………6 分
(Ⅱ) bn ?

2 1 1 1 2 ? ? ? = ,………………9 分 n ? (a n ? 2) n(2n ? 2) n(n ? 1) n n ? 1
1 1 1 1 1 1 n ? ? ??? ? ? 1? ? .…………12 分 2 2 3 n n ?1 n ?1 n ?1

S n ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ? 1 ?
18. (本小题满分 12 分)

解: (Ⅰ)设甲、乙所付租车费分别为 x1 , x 2 由题意可知

p( x1 ? 0) ? 0.5, p( x1 ? 1) ? 0.4, p( x1 ? 2) ? 0.1, p( x2 ? 0) ? 0.6, p( x2 ? 1) ? 0.2, p( x1 ? 2) ? 0.2, ………………………………4 分

p( x1 ? x2 ) ? 0.5 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.2 ? 0.1? 0.2 ? 0.4. ………………………………6 分
(Ⅱ)由题意得变量 ? 的所有取值为 0,1,2,3,4.

p(? ? 0) ? 0.5 ? 0.6 ? 0.3, p(? ? 1) ? 0.5 ? 0.2 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.34, p(? ? 2) ? 0.5 ? 0.2 ? 0.6 ? 0.1 ? 0.4 ? 0.2 ? 0.24, p(? ? 3) ? 0.4 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.1 ? 0.1, p(? ? 4) ? 0.1? 0.2 ? 0.02, ………………………9
分 所以 ? 的分布列为:

?
p

0 0.3

1 0.34

2 0.24

3 0.1

4 0.02

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E? ? 0 ? 0.3 ? 1? 0.34 ? 2 ? 0.24 ? 3 ? 0.1 ? 4 ? 0.02 ? 1.2 …………………………12 分
19. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)证明:连结 PC ,交 DE 与 N ,连结 MN ,

?PAC 中, M , N 分别为两腰 PA, PC 的中点 ,

∴ MN // AC .………2 分

因为 MN ? 面 MDE ,又 AC ? 面 MDE ,所以 AC // 平面 MDE . …………4 分 (Ⅱ)解:设平面 PAD 与 PBC 所成锐二面角的大小为 ? ,以 D 为空间坐标系的原点,分 别以 DA, DC , DP 所在直线为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系,则

P(0,0, 2 ), B(1,1,0),C(0,2,0) , PB ? (1,1,? 2 ), BC ? (?1,1,0) .
设平面 PAD 的单位法向量为 n1 则可设 n1 ? (0,1,0) 设面 PBC 的法向量 n2 ? ( x, y,1) ,应有

??

.

……………………………7 分

?? ?

?n2 ? PB ? ( x, y,1) ? (1,1,? 2 ) ? 0, ? ? ?n2 ? BC ? ( x, y,1) ? (?1,1,0) ? 0. ?
即: ?

? x ? y ? 2 ? 0, ?? x ? y ? 0.

? 2 ?x ? ?? ? 2 ,所以 n? ? ( 2 , 2 ,1) .……………………………10 分 解得: ? 2 2 2 ?y ? 2 ? ? 2
2 1 cos? ? ? 2 ? ,?? ? 60?. .……………………………12 分 2 2 n1 n2 n1 ? n2
20. (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)由已知, b ? 2 ,又 e ?

6 , 3



a2 ? 4 6 ,解得 a ? 2 3 , ? a 3
x2 y2 ? ? 1 . ………………………………4 分 4 12

所以椭圆 C 的方程为

(Ⅱ)假设存在点 Q( x0 ,0) 满足题设条件.

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当 MN ? x 轴时, 由椭圆的对称性可知恒有 ?MQP ? ?NQP , x0 ? R ; 即 ……………6 分 当 MN 与 x 轴不垂直时, MN 所在直线的方程为 y ? k ( x ? 1) , 设 代入椭圆方程化简得:

(k 2 ? 3) x 2 ? 2k 2 x ? k 2 ? 12 ? 0 ,


M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 )
2k 2 ? 4k 4 ? 4(k 2 ? 3)( k 2 ? 12) 2(k 2 ? 3) ? k2 ?3 k2 ? 4 , k2 ?3





x1, 2 ?

x1 ? x2 ?

2k 2 k 2 ? 12 , x1 x2 ? 2 , k2 ?3 k ?3

k MQ ? k NQ ?

y1 y2 k ( x1 ? 1) k ( x2 ? 1) ? ? ? x1 ? x0 x2 ? x0 x1 ? x0 x2 ? x0
? k ( x1 ? 1)( x2 ? x0 ) ? k ( x2 ? 1)( x1 ? x0 ) , ( x1 ? x0 )( x2 ? x0 )
…………………………9 分

∵ ( x1 ? 1)( x2 ? x0 ) ? ( x2 ? 1)( x1 ? x0 ) ? 2 x1 x2 ? (1 ? x0 )( x1 ? x2 ) ? 2 x0

?

2(k 2 ? 12) 2(1 ? x0 )k 2 ? ? 2 x0 k2 ?3 k2 ?3



若 ?MQP ? ?NQP , 则 k MQ ? k NQ ? 0 ,

2(k 2 ? 12) 2(1 ? x0 )k 2 ? ? 2 x0 即 k? k2 ?3 k2 ?3

?? 0,

整理得 k ( x0 ? 4) ? 0 ,

∵ k ? R ,∴ x0 ? 4 . Q 的坐标为 Q(4,0) . 综上,在 x 轴上存在定点 Q(4,0) ,使得 ?MQP ? ?NQP . ………………………12 分 21. (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)∵ m ? 0 ,∴ f ( x) ? ?

?1 ? 2e ? ln x , x ? (0, ??) , x 2e ? 1 1 2e ? 1 ? x / ? ? ∴ f ( x) ? . x2 x x2
令 f ( x) ? 0 ,则 x ? 2e ? 1 ? (0, ??) .
/ / ∴ x , f ( x) 和 f ( x ) 的变化情况如下表:

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x
f / ( x)
(0, 2e ? 1)
+

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2e ? 1
0 极大值

(2e ? 1, ??)

?

f ( x)

递增

f (2e ?1) ? ?1 ? ln(2e ?1)

递减

即函数 f ( x ) 的单调递增区间是 (0, 2e ? 1) ,递减区间为 (2e ? 1, ??) , 函数 f ( x ) 有极大值 f (2e ? 1) ? ?1 ? ln(2e ? 1) ; 分 (Ⅱ) 由已知 g ?( x) ? ? ………………………………4

1
2

cos ? ? x x cos ? ? 1 ? ? ? 0 ,∵ ? ? - , ) ( 即 2 ,∴ cos ? ? 0 , 2 2 x cos ?

?

1 ? 0 在 [1, ??) 上恒成立, x

故 x cos ? ? 1 ? 0 在 [1, ??) 上恒成立,只需 1 ? cos ? ? 1 ? 0 ,

( 即 cos ? ? 1 , ∴ 只 有 cos ? ? 1 , 由 ? ? ?
…………8 分 (Ⅲ)令 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? mx ?

? ?

,) , 知 ? ? 0 ; 2 2

m ? 2e ? 2 ln x, x

当m ? 0时,由 x ? ?1, e?, 有mx ?

m 2e ? 0, 且 ? 2 ln x ? ? 0, x x

?此时不存在 0 ? ?1, e?, 使得f ( x0 ) ? g ( x0 )成立; x
当m ? 0时,F ?( x) ? m ? m ? 2e 2 m x2 ? 2 x ? m ? 2e ? ? . x x2 x2
m ? 4. e

故F ( x)在?1 e?上单调递增, F ( x) max ? F (e) ? me ? , ? 令me ?

m 4e ? 4 ? 0, 则m ? 2 , e e ?1 4e 故所求 m的取值范围为( 2 ,?? ) .………………………………12 分 e ?1
22. (本小题满分 10 分)
2 解:(Ⅰ)因为 AB 为切线, AE 为割线, AB ? AD ? AE ,

又因为 AC ? AB ,所以 AD ? AE ? AC 2 .

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所 以

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?E A C ? ? D A 所C 以 ,

A D ? A C

A C , 又 因 为 A E

△A D C ∽

△ ACE ,………………………………3 分
所以 ?ADC ? ?ACE ,又因为 ?ADC ? ?EGF ,所以 ?EGF ? ?ACE , 所以 FG // AC .………………………………6 分 (Ⅱ)由题意可得: G, E , D, F 四点共圆,

? ?CGF ? ?CDE, ?CFG ? ?CED .
? ?CGF ∽ ?CDE .

?

DE CD ? . GF CG DE =4.………………………………10 分 GF

又? CG ? 1, CD ? 4 ,? 23. (本小题满分 10 分)

解: (Ⅰ)直线 l 的普通方程 3x ? y ? 2 3 ? 1 ? 0, 曲线 C 的直角坐标方程 x 2 ? y 2 ? 4 ;………………………………4 分 (Ⅱ)曲线 C 经过伸缩变换 ?

?x / ? x y2 ? 2 / ? 4, 得到曲线 C 的方程为 x ? 4 ?y/ ? 2y ?

则点 M 参数方程为 ?

? x ? 2 cos? , 1 (?参数) ,代入 3 x ? y 得, 2 ? y ? 4 sin ? ,

1 1 ? y = 3 ? 2 cos ? ? ? 4 sin ? ? 2 sin ? ? 2 3 cos ? ? 4 sin(? ? ) 2 2 3 1 ? 3 x ? y 的取值范围是 ?? 4,4?……………………………10 分 2 3x ?
24. (本小题满分 10 分) 解: (Ⅰ)由题意得 f ( x) ? log2 ( 2x ? 1 ? x ? 2 ? 4) ,

2x ? 1 ? x ? 2 ? 4 ? 0 .
5 当x ? ?2时, (2 x ? 1) ? ( x ? 2) ? 4 ? 0 , ? x ? ? . ? 3

即 x ? ?2 .
当? 2 ? x ? 1 时, (2 x ? 1) ? ( x ? 2) ? 4 ? 0,? x ? ?1. ? 2

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即 ? 2 ? x ? ?1 .

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1 当x ? 时, x ? 1) ? ( x ? 2) ? 4 ? 0,? x ? 1 . (2 2

即 x ? 1.
综上所述,函数 f ( x) 的定义域为 x x ? ?1或x ? 1 .………………………………5 分 (Ⅱ)由题意得 log2 ( 2x ? 1 ? x ? 2 ? a) ? 2 ? log2 4 恒成立, 即 2x ?1 ? x ? 2 ? a ? 4 ,? 2x ?1 ? x ? 2 ? 4 ? a 恒成立,

?

?

? ?? 3x ? 5, x ? ?2, ? 1 ? 令 g (x) ? 2 x ? 1 ? x ? 2 ? 4 ? ?? x ? 1,?2 ? x ? , 2 ? 1 ? ?3x ? 3, x ? 2 . ?
显然 x ?

1 3 3 时, g (x) 取得最小值 ? ,? a ? ? . ………………………………10 分 2 2 2

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