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2.4.1抛物线及其标准方程1

时间:2016-12-23


2.4.1 抛物线及其标准方程(1)

生活中存在着各种形式的抛物线

抛球运动

抛物线的定义 二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的 图 象是一 条 抛物线,那么,抛物线到底有怎样的几何特征?

抛物线的定义:
在平面内,与一个定点F和一条 定直线l(l不经过点F)的距离相等的 点的轨迹叫抛物线. 点F叫抛物线的焦点, 准线
H

d

M

·

C

·
F

焦 点

l

直线l 叫抛物线的准线

d 为 M 到 l 的距离

即:若| MF |=d,则点M的轨迹是抛物线。

那么如何建立坐标系, 使抛物线的方程更简 单, 其标准方程形式怎样?

抛物线的标准方程

如图,以过F点且垂直于直线l的直线为x轴,垂足为K

以线段F K的中点为坐标原点,建立直角坐标系xoy.
解:设|FK|=p(p>0),M(x,y) p p 则焦点F ( , 0), 准线l : x = 2 2 由抛物线定义知:|MF|=d
即:

y

l
K

d

.M
.
F

2 2 p p ? x 2 ? px ? ? y 2 ? x 2 ? px ? 4 4

p 2 p 2 ( x ? ) ? y ?| x ? | 2 2

O

x

? y ? 2 px , ( p ? 0)
2

抛物线的标准方程 把方程 y2 = 2px (p>0)叫做抛物线的标准方 程.其中 p 为正常数,表示焦点在 x 轴正半轴上.

p的几何意义是: 焦点到准线的距离,简称焦准距 p p 焦点坐标是 ( , 0) , 准线方程为: x ? ? 2 2 想一想: 坐标系的建立还有没有其它方案?

﹒ ﹒﹒ ﹒
y y y

o

x

o

x

o

x

o

y

x

方案(1)

方案(2)

方案(3)

方案(4)

四种抛物线的对比
图 形
l

标准方程

焦点坐标

准线方程

y
O

F

x

y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0)

p ( ,0) 2
p ( ? ,0 ) 2 p (0, ) 2 p (0, ? ) 2

p x?? 2
p x? 2 p y?? 2 p y? 2

P的意义:抛物线 的焦点到准线的 距离

y
F

l
O

x

方程的特点: (1)左边是二次式, (2)右边是一次式.

y
F
O

x
l

x2=2py (p>0)
x2=-2py (p>0)

y
l
O F

思考: 如何通过方程确定 抛物线的焦点位置 和开口方向?

x

对称轴要看一次 项,符号决定开 口方向.

例1 (1)已知抛物线的标准方程是y2 = 6x,求它的焦点坐
标和准线方程;
l y

解: ∵2P=6,∴P=3
3 ∴抛物线的焦点坐标是( ,0) 2
3 准线方程是x= ? 2
O

K

.F

x

(2)已知抛物线的焦点是F(0,-2),求它的标准方程。
解:因为抛物线的焦点在y轴的负半轴上,

p =2,p=4. 2 所以,所求抛物线的标准方程是


练习
1.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程: (1)y2 = 20x (3)2y2 +5x =0

1 (2)x2= y 2
(4)x2 +8y =0

焦点坐标

准线方程

(1) (2) (3) (4)

(5,0)
1 (0,—) 8 5 (- —,0) 8

x= -5
1 y= - — 8 5 x= — 8

(0,-2)

y=2

2.根据下列条件写出抛物线的标准方程: ⑴焦点坐标是(0,4);
1 ⑵准线方程是 x ? ? 4

⑶焦点到准线的距离是 2
3.抛物线

y ? 12 x 上与焦点的距离等于9的点的坐标是
2

(6,6 2),(6, ?6 2) _________________.

思考:
二次函数

y ? ax 2 (a ? 0) 的图象为什么是抛物线?
2 2

1 y ? ax (a ? 0) ? x ? y a
当a>0时与当a<0时,结论都为:

1 ? ? ?2 p a

1 1 焦点(0, )准线y=4a 4a

例2:一种卫星接收天线如下图所示。卫星波束呈近似平
行状态射入轴截面为抛物线的接收天线,经反射聚集到焦 点处。已知接收天线的径口(直径)为4.8m,深度为0.5m。 建立适当的坐标系,求抛物线的标准方程和焦点坐标。

y
A

o

.F
B

x

解:如图,在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐 标系,使接收天线的顶点(即抛物线的顶点)与原点重 合。 设抛物线的标准方程是

y

2

? 2 px( p ? 0) ,由已知条件
,代入方程,得

可得,点A的坐标是 (0.5, 2.4)

2.4 ? 2 p ? 0.5 即 p ? 5.76
2

y

A

所以,所求抛物线的标准方程是 焦点的坐标是

y

2

? 11.52 x ,

o

.F
B

x

(2.88, 0)

见导学案

1.抛物线的定义 2.抛物线的四种标准方程与其焦点、准线方程

3.抛物线的标准方程类型与图象特征的对 应关系及判断方法

课后练习

课后习题


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