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函数值域方法汇总


? 求函数值域方法很多,常用配方法、换 元法、判别式法、不等式法、反函数法、 图像法(数形结合法)、函数的单调性 法以及均值不等式法等。这些方法分别 具有极强的针对性,每一种方法又不是 万能的。要顺利解答求函数值域的问题, 必须熟练掌握各种技能技巧,根据特点 选择求值域的方法,下面就常见问题进 行总结。

二次函数------配方法

1 例1 求函数 y ? x ? x ? (?1 ? x ? 1)的值域。 2
2

分析:本题是求二次函数在区间上的值域问 y 题,可用配方法或图像法求解。

1 2 3 解:y ? ( x ? ) ? ,? x ? ? ?1,1? , 2 4 1 3 3 ? x= ,ymin ? ? , x ? ?1, ymax ? , 2 4 2
如图, ∴y∈[-3/4,3/2].
-1

3/2

o 1/2
1 -3/4 x

2 f ( x ) ? ? x ? 8 x, 求 f ( x) 在区间 ?t , t ? 1? 例2.已知函数

. 上的(1) 最大值 h( t ); (2) 最小值 g( t ); (3)最大值与最小值
解: f ( x) ? ? x ? 8 x ? ?( x ? 4) ? 16.
2 2

(1)当

t ? 1 ? 4, 即 t ? 3 时, f ( x) 在 ?t , t ? 1? 上单调递增, h(t ) ? f (t ? 1) ? ?(t ? 1)2 ? 8(t ? 1) ? ?t 2 ? 6t ? 7;

当 t ? 4 ? t ? 1, 即 3 ? t ? 4 时,h(t ) ? f (4) ? 16; 当

t ? 4 时, f ( x) 在

?t , t ? 1?

2 上单调递减,h(t ) ? f (t ) ? ?t ? 8t.

??t 2 ? 6t ? 7, t ? 3, ? 综上, h(t ) ? ?16,      3 ? t ? 4, ??t 2 ? 8t ,   t ? 4 ?

2 f ( x ) ? ? x ? 8 x, 求 f ( x) 在区间 ?t , t ? 1? 例2.已知函数

上的最大值 h( t ) 及最小值 g( t ).
1 7 (2)当 t ? ? 4 ? t ? 2 2
时,

g( t ) ? f ( t ? 1) ? ? t 2 ? 6t ? 7,
当 t ? 1 ? 4 ? t ? 7 时, 2 2

g(t ) ? f (t ) ? ? t 2 ? 8t .
7 ? 2 ? ? t ? 6t ? 7 ( t ? 2 ) ? g( t ) ? ? 7 2 ? ? t ? 8t (t ? ) 2 ?

2 f ( x ) ? ? x ? 8 x, 求 f ( x) 在区间 ?t , t ? 1? 例2.已知函数

. 上的(1) 最大值 h( t ); (2) 最小值 g( t ); (3)最大值与最小值
(3)当

f ( x) ? ? x ? 8x ? ?( x ? 4) ? 16. t ? 1 ? 4, 即 t ? 3 时, f ( x) 在 ?t , t ? 1? 上单调递增,
2 2

f ( x )max ? f ( t ? 1) ? ? t 2 ? 6t ? 7, f ( x )min ? f ( t ) ? ? t 2 ? 8t . 当 t ? 4 ? t ? 1, 即 3 ? t ? 4 时,f ( x )max ? 16,

f ( x )min ? min{ f (t ), f (t ? 1)} ? min{ ? t 2 ? 8t ,?(t ? 1)2 ? 8(t ? 1)}
7 ? 2 (3 ? t ? ) ? ? t ? 8t 2 ?? 7 ? ? t 2 ? 6t ? 7 ( ? t ? 4) 2 ?



t ? 4 时, f ( x) 在

?t, t ? 1? 上单调递减,

f ( x )max ? f ( t ) ? ? t 2 ? 8t , f ( x )min ? f ( t ? 1) ? ? t 2 ? 6t ? 7.
综上:

t ?3

2 f ( x ) ? ? t ? 6t ? 7, 时, max f ( x )min ? ? t 2 ? 8t .

7 时, 2 f ( x ) ? ? t ? 8t . f ( x ) ? 16 , 3?t ? min max 2 7 2 f ( x ) ? ? t ? 6t ? 7. ? t ? 4 时, f ( x )max ? 16, min 2

t ? 4 时,

f ( x )max ? f ( t ) ? ? t 2 ? 8t , f ( x )min ? f ( t ? 1) ? ? t 2 ? 6t ? 7.

1 1 例3:求f ( x ) ? x ? ? a ? 2a , x ? [0, ]的最小值. 3 2 1 解:f ( x )的对称轴x ? a ? , 如何求f ( x )的最大值? 3 1 1 1 当a ? ? 0 ? a ? 时, f ( x )在[0, ]上增, 3 3 2 1 1
? f ( x )min ? f (0) ? 3 ? a ? 2a ?
1 1 1 5 当0 ? a ? ? ? ? a ? 时, f ( x )min ? 2a 3 2 3 6 1 ?1 1 1 1 5 当a ? ? ? a ? 时,f ( x )在[0, ]上减, ? ? a (a ? ) 3 2 6 3 3 2 ? 1 5 ? 1 综上:f ( x )min ? ? 2a( ? a ? ) ? f ( x )min ? f ( ) 2 3 6 ? 5 1 5 1 1 ? 3a ? (a ? ) ? ? ? a ? 2a ? 3a ? ? 6 2 6 2 3 ?

3

?a

例4: 求函数

f ( x ) ? x 2 ? x ? a ? 1(a ? R)的最小值.
1 2 3 ) ? ? a( x ? a ) 2 4 1 2 3 ) ? ? a( x ? a ) 2 4
y

? (x ? ? 解: f ( x ) ? x 2 ? x ? a ? 1 ? ? ?( x ? 1 ? ( 1 )若a ? , 2 1 2 3 当x ? a时,f ( x ) ? ( x ? ) ? ? a增, 2 4 此时f ( x )min ? f (a ) ? a 2 ? 1

1 2 3 当x ? a时,f ( x ) 2 ? ( x ? ) 3? ? a, 2 1 1 2 2( ?4a ) ? a ? a ? ? (a ? ) ? 0 又(a ? 1) ?

此时f ( x )min

3 ? f( )? ?a 2 4

4 1

4

2o

x

故f ( x )min

3 ? ?a 4

1 1 ( 2 )若 ? ? a ? , 2 2 1 2 3 当x ? a时,f ( x ) ? ( x ? ) ? ? a增, 2 4 1 2 3 当x ? a时,f ( x ) ? ( x ? ) ? ? a减, 2 4

y

故f ( x )min ? f (a ) ? a ? 1
2

o

x

1 ( 3 )若a ? ? , 2 3 1 2 3 当x ? a时,f ( x ) ? ( x ? ) ? ? a, 此时f ( x )min ? ? a 4 2 4 1 2 3 当x ? a时,f ( x ) ? ( x ? ) ? ? a减,此时f ( x )min ? f (a ) ? a 2 ? 1 2 4 3 1 1 2 2 2 又(a ? 1) ? ( ? a ) ? a ? a ? ? (a ? ) ? 0 4 4 2 3

故f ( x )min ?

4

?a

综上:f ( x )min

3 ? ?a ? 4 ? ? 2 ? ?a ? 1 ? 3 ? ?a ? 4 ?

1 (a ? ) 2 1 1 (? ? a ? ) 2 2 1 (a ? ) 2

二、换元法
例3 求下列函数的值域:

(1) y=5-x+√3x-1;(2)y=x-2+√4-x2.
分析:带有根式的函数,本身求值域较难,可考虑用换 元法将其变形,换元适当,事半功倍。
解:令t ? t2 ?1 3 x ? 1 ? 0则x ? , 3

1 2 1 3 2 65 于是y=5- (t +1)+t=- (t- ) + , 3 3 2 12

3 65 65 ? ? ? t ? ,ymin ? , 故y ? ? -?, ? . 2 12 12 ? ?

(2)y=x-2+√4-x2.

令x ? 2 cos ? ,? ? [0, ? ]则y ? 2 cos ? ? 2 ? 4 ? 4 cos 2 ?

? 2(cos ? ? sin? ? 1) ? 2 2 sin(? ?

?
4

) ? 2,

2 ? ?? ? ? 0, ? ? ,?? ? sin(? ? ) ? 1.??4 ? y ? 2( 2 ? 1), 2 4
即值域为y∈〔-4,2√2-2〕
一般的:常用的三角代换有:形 如 1 ? x 2 可令x ? cos ? ,? ? [0, ? ];

或令x ? sin? ,? ? [?
形如 1 ? x 可令x ? tan ? ,? ? ( ?
2

? ?

? ?

, ]. 2 2

, ); 2 2

例6:求值域:

(1) y ? x ? 3 ? 5 ? x ;

( 2) y ? x ? 3 ? 5 ? x .

解(1)不难看出y≧0,且可得定义域为3≦x≦5,原函数 变形为:
y? ( x ? 3 ? 5 ? x )2 ? 2 ? 2 ? x 2 ? 8 x ? 15

?

2 ? 2 ?( x ? 4) 2 ? 1,

(3 ? x ? 5)

由x∈[3,5]知,-x2+8x-15 ∈[0,1],

即当x=4时,ymax=2,当x=3或5时,ymin=√2,
故原函数的值域为[√2,2]。

(2)解:由y=√x-3-√5-x得定义域为x∈[3,5].

∵y=√x-3在[3,5]上是单调增函数,

y=-√5-x在[3,5]上也是单调增函数。
∴ y=√x-3-√5-x在[3,5]上是增函数, 当x=3时,ymin=-√2,当x=5时,ymax=√2, 故原函数的值域为 y∈[-√2, √2].

3 5 解:y ? 2 x ? 3 ? 5 ? 3 x ? 2 ? x ? ? 3 ? ?x 2 3 2 2

( 3) y ? 2 x ? 3 ? 5 ? 3 x

5 2 3 ( cos? ? sin? ) 6 5 5 5 2 3 ? sin( ? ? ? ) (其中sin? ? , cos? ? ) 6 5 5 ? ? ?0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 3 30 ? y ?[ , ] 2 ? ? ? si n( ? ??) ? 1 ? si n 3 6
5

? ? ? 5 ? 3 1 ? ? ? ? ?? x ? ? ? ? ? x ? ? ? ( 6x ? 9 )2 ? ( 10 ? 6x)2 ? 1 2? ? 3 6 ? ? ? 令 cos? ? 6 x ? 9 , sin? ? 10 ? 6 x , ? ? [0, ] 2

1 1 则y ? cos? ? sin? ? 3 2

( 3) y ? 2 x ? 3 ? 5 ? 3 x
3 5 解:y ? 2 x ? 3 ? 5 ? 3 x ? 2 ? x ? ? 3 ? ?x 2 3
令a ? ( 2 , 3 ) 3 5 b?( x? , ? x) 2 3
( 2, 3)

5 ? y ? a ? b ? a ? b cos ? ? cos ? 6
2 3 30 ? ? cos ? ? 1 ? y ? [ , ] 5 3 6

?

四:一次分函数-----分离常数法
bc cx ? d c d ? a c ? ? ? y? ax ? b a ax ? b a

3? x 例:求函数 y? 的值域. 2x ? 5 3? x 1 11 1 解: y ? ? ? (1 ? )? ? 2x ? 5 2 2x ? 5 2
y o
O’
? 1 2

?

5 2

x

e x ? e? x 例:求y ? x 的值域. ?x e ?e e x ? e? x e2x ? 1 2 解法1 :y ? x ? ? 1 ? 2x ?x 2x e ?e e ?1 e ?1
?e
2x

1 ?2 ? 1 ? ?2 ? 2 x ?0 ? 0? e ? 1 ? 1 ? 0 ? 2 x e ?1 e ?1 故y ? ( ?1,1)
2x

e x ? e? x e2x ? 1 1? y 2x 解法2:y ? x ? 2x ?e ? ?x e ?e e ?1 1? y

?0

? y ? ( ?1,1)

x2 ? 5x ? 6 例:求y ? 2 的值域. x ? x?6
x 2 ? 5 x ? 6 ( x ? 2)( x ? 3) x ? 3 解:y ? 2 ? ? x ? x?6 ( x ? 3)( x ? 2) x ? 3 ( x ? 2)

6 ? 1? ?1 x?3

( x ? 2)

6 1 又x ? 2时, 1? ?? x?3 5
1 ? { y y ? 1且y ? ? , y ? R} 5

五.二次分函数

x2 ? x ? 1 的值域。 例: 求函数 y= 2 2x ? 2x ? 3
分析:函数是分式函数且都含有二次项,可 用判别式和单调性法求解。 解法1:由函数知定义域为R,则变形可得:

(2y-1)x2-(2y-1)x+(3y-1)=0.
当2y-1=0即y=1/2时,代入方程左边=1/2· 3-1≠0,故 y≠1/2.

当2y-1≠0,即y ≠1/2时,因x∈R,必有△=(2y-1)24(2y-1)(3y-1) ≥0得3/10≤y≤1/2,
综上所得,原函数的值域为y∈〔3/10,1/2).

解法2:(函数的单调性法) 2 x ? x ?1 2 ?y ? , 令u ? x ? x ? 1 ? 0, 2 2( x ? x ? 1) ? 1
u 1 1 1 y? ? ,? y ? ,? y ? 在u ? 0上 1 2u ? 1 2 ? 1 2 2? u u

是增函数,u取最小值时,y也取最小值。

1 2 3 1 1 3 而u ? x ? x ? 1 ? ( x ? ) ? , 故x ? , ymin ? ? . 1 10 2 4 2 2? 3 4 ∴原函数的值域为y∈〔3/10,1/2)
2

ax ? b 的值域为 [?1,4], 求a , b的值. 例:已知 y ? 2 x ?1
解:

a ? y ? [?1,4]? ?1,4是方程y ? by ? ? 0的两个根, 4 ?1? 4 ? b ? ? a ? 4 ? a ? ?4 ? 2 或? ?? 1 ? 4 ? ? a ? ? b?3 ? b?3 ? ? 4 ? b ? a ? 4 ? a ? ?4 3 3 y ? 0时,x ? ? , a ?b ? 3或? b ? 3 时,x ? ? 4 或x ? 4 符合题意; ? ?
2

ax ? b y? 2 ? yx 2 ? ax ? y ? b ? 0 x ?1 2 a y ? 0时, ? x ? R ? ? ? 0 ? y 2 ? by ? ? 0, 4 2

? a ? 4 ? a ? ?4 ?? 或? ?b ? 3 ? b ? 3

2 x 2 ? kx ? 10 例:已知函数 y? 2 的最小值为 1,则( ) x ? 4x ? 6 A. ? 8 ? k ? 0 B.k ? 0或k ? ?8
C .k ? 0或k ? ?8 D. ? 8 ? k ? 0 2 x 2 ? kx ? 10 2 解:y ? 2 ? ( y ? 2) x ? (4 y ? k ) x ? 6 y ? 10 ? 0 x ? 4x ? 6

y ? 2时,令? ? (4 y ? k )2 ? 4( y ? 2)(6 y ? 10) ? 0
? 8 y ? (88 ? 8k ) y ? 80 ? k ? 0
2 2

? ymin ? 1?1是方程8 y 2 ? (88 ? 8k ) y ? 80 ? k 2 ? 0的一个根,
则8 ? (88 ? 8k ) ? 80 ? k 2 ? 0

? k ? 0或k ? ?8

x ? x ? 1 ? 2x 解:y ? ? 1? 2 2 x ? x ?1 x
2

x2 ? x ? 1 1 1 例:求函数y ? 2 , x ? [? , ]的值域. x ? x ?1 2 2

2 x ? 0时,y ? 1; x ? 0时,y ? 1 ? 1 x ? ?1 x 1 1 1 ? x ? 在[? ,0)和(0, ]上单调递减, x 2 2

3 7 2 x 综上 : y ? [ , ] ? x ?1 7 3
? 1 2

o

1 2

1

1 5 1 5 1 3 1 7 ? x ? ? ? 或x ? ? ? x ? ? 1 ? ? 或x ? ? 1 ? x 2 x 2 x 2 x 2
2 ?? ? 3 1 1 2 3 7 ? 0或0 ? ? 1 1 7 ? ? y ? 1或1 ? y ? ; x ? ?1 x ? ?1 7 3 x x

b ? 六:形如y ? ax ? n ( m , n ? Z )的函数. x
m

y

y ? ax

b 1. f ( x ) ? ax ? (a ? 0, b ? 0) x

2 ab

o

b a

x

b 2. y ? ax ? (a , b ? 0) x

y o

y ? ax

x

x ? 0时,f ( x )减; x ? 0时, 1 1 1 2 3 y? x ? ? ?3 , 2x 2x 4
1 1 3 当且仅当x ? 即x ? 时取" ?" 号, 2x 2
2

1 3. f ( x ) ? x ? x
2

y

o
3

x
1 2

可证f ( x )在(0, 3

1 4. y ? x ? 2 x

1 1 ]减,在[3 ,??)增, 2 2

x ? 0时,f ( x )增; x x 1 1 x ? 0时, y ? ? ? 2 ? 3 3 , ( x ? 0) 2 2 x 4

3

2

x 1 当且仅当 ? 2 即x ? 3 2时" ?" 成立. 2 x

1 5. y ? x ? 2 x
2

y 2 -1 o x 1

x 6. y ? 2 x ?1
y
1 2

-1

o 1
1 ? 2

x

b 例:求函数 f ( x ) ? x ? (b ? R)在x ? [1,2]上的最小值 x
解: (1)当b ? 0时,f ( x ) ? x在[1,2]上增, b ? f ( x )min ? f (1) ? 1 ? b, f ( x )max ? f ( 2) ? 2 ? ; 2 b
( 2)当b ? 0时,f ( x ) ? x ?
( 3 )当b ? 0时,

? f ( x )min

x b ? f (1) ? 1 ? b, f ( x )max ? f ( 2) ? 2 ? ; 2
y

在[1,2]上增,

当 b ? 2 ? b ? 4时,f ( x )在[1, 2]上减,
b ? f ( x )min ? f ( 2) ? 2 ? , f ( x )max ? f (1) ? 1 ? b; 2

b ? f ( x )min ? f (1) ? 1 ? b, f ( x )max ? f ( 2) ? 2 ? ; 2

当 b ? 1 ? 0 ? b ? 1时,f ( x )在[1, 2]上增,

o

b

x

b 当1 ? b ? 2 ? 1 ? b ? 4时,f ( x ) ? x ? ? 2 b x 当且仅当x ? b ? [1,2]时f ( x )min ? 2 b .

y

? f ( x )在[1, b ]减,在[ b ,2]增 o 1 ? f ( x )的最大值必在 x ? 1或x ? 2处取得,
b b?2 而f (1) ? f ( 2) ? 1 ? b ? ( 2 ? ) ? 2 2

b

2

x

b ?当1 ? b ? 2时,f (1) ? f ( 2) ? f ( x )max ? f ( 2) ? 2 ? , 2 当2 ? b ? 4时,f (1) ? f (2) ? f ( x )max ? f (1) ? 1 ? b,

b 综上:b ? 1时,f ( x )min ? f (1) ? 1 ? b, f ( x )max ? f ( 2) ? 2 ? ; 2 b 1 ? b ? 2时,f ( x )min ? 2 b , f ( x )max ? 2 ? , 2 2 ? b ? 4时,f ( x )min ? 2 b , f ( x )max ? 1 ? b.

六、基本不等式法:

例4 求下列函数的值域: (1) y=6x2-2x3, (0<x<3); (2) 若正数a、b满足ab=a+b+3,求ab的取值范围。 (1)解:原函数可变形为: 3 ?x x ? ? ? (3 ? x) ? ? x x 2 y=2x (3-x)=2 ? 4 ? ? (3 ? x) ? 8 ? 2 2 ? ? 8. 2 2 3 ? ? ? ?
当且仅当x/2=3-x时,即x=2时取等号。故在0<x<3 时函数y的值域为y∈(0,8]。

(2) 若正数a、b满足ab=a+b+3,求ab的取值范围。 解法1(消元后用均值不等式)

a+3 4 4 由已知得b= ? 1? 即ab=a+b+3=a+4+ a-1 a ?1 a-1
4 ? (a ? 1) ? ? 5, 又由ab ? a ? b ? 3得, a ?1

b(a ? 1) ? a ? 3 ? 0,? a ? 1 ? 0.
4 4 ? ab ? (a ? 1) ? ? 5 ? 2 (a ? 1) ? ? 5 ? 9, a ?1 a ?1
当且仅当a=3时取等号。 故ab∈〔9,+∞)

(2) 若正数a、b满足ab=a+b+3,求ab的取值范围。

解法2:(不等式法)
由ab ? a ? b ? 3 ? 2 ab +3得,ab ? 2 ab ? 3 ? 0

即( ab ? 3)( ab ? 1) ? 0由于 ab ? 0 ? ab ? 3 ? 0,即ab ? 3,
当a=3,b=3时取等号,故ab ∈〔9,+∞).

七、复合函数的值域

例6 求下列函数的值域:

(1)

y?2

x2 ? 2 x

;

(2)

y ? log 1 (? x 2 ? 2 x ? 1).
2

解(1)令u=x2+2x=(x+1)2-1,得u∈〔-1,+∞), 则y=2u≧2-1=1/2;故值域是y ∈〔1/2,+∞).

(1)

y?2

x2 ? 2 x

;

(2)

y ? log 1 (? x ? 2 x ? 1).
2 2

(2)令u=-x2+2x+1=-(x-1)2+2≦2,且u>0, 故y=log1/2u是定义域为(0,2]上的减函数, 即原函数值域的为y ∈〔-1,+∞)。

例:已知f ( x ) ? lg[( a 2 ? 1) x 2 ? (a ? 1) x ? 1]的值域为R,
求a的取值范围 .
解:令t ? (a 2 ? 1) x 2 ? (a ? 1) x ? 1 ? 0则y ? lg t ,
要使函数的值域为 R,即使y的值取遍( - ?,??)内的每一个值,

y o

y ? lg t

必须t的值取遍 (0,??)内每一个值,
当a ? 1时,t ? 2 x ? 1 ? 0,

x

符合条件; t的值取遍了 (0,??)内每一个值,
? a2 ? 1 ? 0 当a ? ?1时, ? 2 2 ? ? ( a ? 1 ) ? 4 ( a ? 1) ? 0 ?

当a ? ?1时,t ? 1 ? 0, 此时y ? lg 1 ? 0 ? 值域为 {0}, 不符合条件 .

y

5 ?1? a ? 3

o

x

5 综上 : a ? [1, ] 3

八:数形结合法求解

例: 已知圆C:x2-4x+y2+1=0上任意一点P y (x,y),求 的最大值与最小值。
x y y ?0 分析: x ? x ? 0

即求圆上的点P(x,y)到原点 (0,0)的斜率的最值,可利用数形结合法求解。 解:圆C方程为 的最 值即求圆上的点P到原点的斜率的最值。 设y=kx,如图,显然,当直线y=kx与圆C 相切时k有最值,容易得出其最大与最小 值分别为√3,-√3.
o

(x-2)2+y2=3

y ,x

y

P C

例 已知圆C:x2+y2-4x+6y+11=0,求x+y+4的最值。
分析:本题可转化采用圆的参数方程表达,利用三 角函数的有界性解决或在二元二次方程的约束条件 下,求x+y+4的线性规划。
解法1:条件可化为(x-2)2+(y+3)2=2 把此圆化为参数方程 x ? 2 ? 2 cos? , y ? ?3 ? 2 sin? .
x ? y ? 4 ? 3 ? 2 (sin ? ? cos ? ) ? 2 sin(? ?

?
4

) ? 3 ? ? [0,2? )

? ( x ? y ? 4)max ? 5, ( x ? y ? 4)min ? 1.

解法2(线性规划)
∵x,y是圆C:(x-2)2+(y+3)2=2上的点,设 x+y+4=z,则y=-x+(z-4),z-4可看作为直线 L:x+y+4-z=0在y轴上的截距,作直线y=-x 并平移,当直线L:x+y+4-z=0和圆C相切时, z-4有最大值和最小值。



2 ? (?3) ? 4 ? z 12 ? 12

y

? 2 ? 3 ? z ? 2 ? z ? 5或z ? 1.
o

∴(x+y+4)max=5
(x+y+4)min=1

x
C(2,-3) y=-x

例: 求函数y=√x2-2x+10+√x2+6x+13的值域。 分析:本题求函数的值域可用解析几何与数形结合 法解之。 解:函数变形为y=√(x-1)2+(0-3)2+√(x+3)2+(0-2)2. 将上式可看成为x轴上点P(x,0)与 A(1,3),B(-3,2)的距离之和。即在x y 轴上求作一点P与两定点A,B的距离 之和的最值,利用解析几何的方法 A(1,3) 可求其最小值。 B(-3,2) 如图,可求A关于x轴对称点A1(1,-3)连 o P x 结A1B交x轴y于P,则P(x,0)为所求, 可证明
PA ? PB ? BA1 最小, BA1 ? (1 ? 3)2 ? (?3 ? 2)2 ? 41.

A1(1,-3)

所以原函数值域的为y∈[√41,+∞).

? 0 ? (? sin x) ? 分析:利用三角函数的有界性较数形结合 ? k ? ? 2 ? cos x ? ?
为点(2,0)与点(cosx,-sinx)连线的斜率的过程要简单。
解:将原函数化为sinx+ycosx=2y 1 y 2 1 ? y (sin x ? ? cos x) ? 2 y 2 2 1? y 1? y 1 y 2y 令 cos ? ? ,sin ? ? ,? sin( x ? ? ) ? , 1? y2 1? y2 1? y2
由 2y 1? y
2

sin x 例:求函数 y ? 的值域。 2 ? cos x

?1

平方得

3 y ? 1?
2

3 3 ? ? y? . 3 3


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