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立体几何中的开放探索性问题


立体几何中的开放探索性问题
衡阳县一中 王爱民 湖南祁东育贤中学
题型解读 数学开放性题是近年高考命题的一个新的亮点,其解法灵活且具有一定的 探索性,这类题型按解题目标的操作模式分为:规律探索型,问题探究型,数 学建模型,操作设计型,情景研究型.如果是未知的是解题假设,那么就称为 条件开放型;如果是未知的是解题目标,那么就称为结论开放型;如果是未知 的是解题推

理, 那么就称为策略开放型. 当然, 作为数学高考试题中开放题其" 开放度"是比较弱的,如何解答立体几何中的这类问题,还是通过实际例子加 以说明. 一、 规律探索型

马中平 421600

周友良

例 1. ABCD ? A1B1C1D1 是单位正方体,黑白两个蚂蚁从点 A 出发 沿棱向前爬行,每走完一条棱称为”走完一段”. 白蚂蚁的爬行路 线是 AA ? A D1 ??? , 黑蚂蚁的爬行路线是 AB ? BB1 ??? , 1 1 它们都依照如下规则:所爬行的第 n+2 段与第 n 段所在直线必须是 异面直线,设黑白两个蚂蚁都走完 2005 段后各停止在正方体的某 个顶点处,这时黑白两个蚂蚁的距离是多少?

D1

C1

A1

B1

分析:本题黑白两个蚂蚁都走完 2005 段,步数比较大,因此肯定 D C 要探索出一个周期性出来。依照规则黑蚂蚁的爬行路线是 AB ? BB1 ? B1C1 ? C1D1 ? D1D ? DA ,走 6 段又回到出发点 A。 故而它们的周期为 6。 2005 ? 334 ? 6 ? 1 。所以黑蚂蚁走完 2005 段后停止在正方体的 B 顶点处,白蚂蚁走完 2005 段后停止在正 方体的 A1 顶点处。故这时黑白两个蚂蚁的距离是 2 。这类题为操 作性探索题,要求同学们大胆动手,必须探索出一个规律性来。
二、 操作设计型
A B

例 2. (Ⅰ)给出两块面积相同的正三角形纸片(如图 1,图 2) ,要求

用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型, 另一块剪拼成一个正三棱柱模型, 使 它们的全面积都与原三角形的面积相等, 请设计一种剪拼方法, 分别用虚线 标示在图 1、图 2 中,并作简要说明; (Ⅱ)试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小; (Ⅲ) (附加题)如果给出的是一块任意三角形的纸片(如图 3) ,要求 剪拼成一个直三棱柱模型, 使它的全面积与给出的三角形的面积相等, 请设 计一种剪拼方法,用虚线标示在图 3 中,并作简要说明.

【分析】 本题主要考查空间想象能力、动手操作能力、探究能力和灵 活运用所学知识解决现实问题的能力. 通过数学科的高考,倡导重视数学应用,是从 1993 年开始的,已经经 历了十个年头. 这些年来, 尽管数学科高考中有关数学应用的试题存在这样 那样的缺陷,但是它所倡导的加强数学学科与社会实际和生产实际的联系, 引导考生置身于现实社会大环境中, 关心身边的数学问题, 具有良好的导向, 也促进了中学数学教学加强数学应用的研究, 推动数学教学改革. 这种命题 方向得到数学教育界的普遍肯定.回顾这些年来高考中有关数学应用的问 题, 所涉及的知识面上还存在一定的局限性, 多数是函数知识和数列知识的 运用.前年试题选择题中出现的“民房屋顶面积”问题,各地反映良好,去 年设计的“纸片剪拼”问题,目的在于尝试开拓数学应用的新领域. 用纸片做有规则的几何体模型,是《立体几何》课本的要求,如习题七 中的第 1 题和习题八中的第 1 题. 本试题的设计是在这个基础上, 增加剪拼 模型的条件的限制, 提高操作难度, 以期考查出空间想象能力和动手操作能 力. 由于这种试题第一次出现,注意由浅入深,首先是剪拼“正三棱锥” , 这与习题八第 1 题相似, 是多数考生能够完成的. 其次用正三角形纸片剪拼 “正三棱柱” ,要有较丰富的想象力,本题有多种剪拼方法,充分体现“开 放性” ,给考生提供广阔的思维空间.再次,将纸片一般化为任意三角形、 剪拼“直三棱柱” ,考查的是能力的迁移,将具体的问题抽象化,难度较高, 估计绝大多数考生在限时内难以完成、 ,故作为“附加题”出现,能完成者 有“奖励分” .这种问题的提出估计能解答者甚少,但能倡导探究,倡导创 造、发现,对于培养高素质的人才是有益的. 理解“全面积相等”的条件,就是剪拼出来的几何体不能缺某个面,也 不能剪拼成几何体后还剩余纸片, 但纸片的裁剪块数是没有限制的, 因之有 多种剪拼方法. 解: (Ⅰ)如图 1,沿正三角形三边中点连线折起,可拼得一个正三棱 锥. 如图 2,正三角形三个角上剪出三个相同的四边形,其较长的一组邻边 边长为三角形边长的 ,有一组对角为直角.余下部分按虚线折起,可成为
1 4

一个缺上底的正三棱柱, 而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱柱 的上底. (Ⅱ)依上面剪拼的方法,有 V 柱>V 锥. 推理如下: 设给出正三角形纸片的边长为 2,那么,正三棱锥与正三棱柱的底面都 是边长为 1 的正三角形,其面积为
3 .现在计算它们的高: 4

?2 3? ? ? 6 , h ? 1 tan 30? ? 3 . h锥 ? 1 ? ? ? 柱 ?3 2 ? 3 2 6 ? ?

2



3 ? 3 2 2 ?3 ?1 ? 3 ? 6 ?? V锥 ? V柱 ? ? h锥 ? h柱 ? ? ?? ? ? ?0 ? 9 6 ? 4 24 ?3 ? 4 ? ?

所以,V 柱>V 锥. (Ⅲ) (附加题) 如图 3,分别连续三角形的内心与各顶点,得到三条线段, 再以这三条线段的中点为顶点作三角形.以新作的三角形为直 三棱柱的底面, 过新三角形的三个顶点向原三角形三边作垂线, 沿六条垂线剪下三个四边形,可以拼接成直三棱柱的上底,余 下部分按虚线折起,成为一个缺上底的直三棱柱,即可得到直 三棱柱模型. 正三棱柱的其他剪拼方法: 方法 1 按图 4,取三角形三边中点剪出①、②两个小三角形为正三棱柱的上、 下底面, 将平行四边形③等分为三个小平行四边形, 再分别解为矩形作为侧 面.

方法 2 按图 5,取三角形两边的中点,剪出①、②、③三个小三角形,以①为

正三棱柱的一底,②+③为它的另一底;再将矩形④三等分,分别作为三棱 柱的一个侧面.

方法 3 按图 6,取三角形边的三等分点,剪出①、②、③三个小三角形,以① 为正三棱柱的一底,②+③为它的另一底;剪出小三角形⑤、⑥,拼为一个 等边三角形,再剪拼为矩形,进而将矩形三等分,分别拼入④、⑦、⑧三个 矩形中,作为棱柱的三个侧面.

方法 4 按图 7,取三角形边的四等分点,先剪出小三角形①、②、③和矩形④, 以①为正三棱柱的一底,②+③为它的另一底;再剪出小三角形⑧、⑨,矩 形⑥,五边形⑤、⑦.⑤+⑧,⑦+⑨,均可成为矩形,其面积同矩形⑥; 进而将矩形④三等分,分别拼入上述三个矩形中,作为棱柱的三个侧面.

依此类推可得出一般的剪拼方法: 将等边三角形的一边等分为奇数条线段,可按方法 3 剪拼成正三棱柱; 将等边三角形的一边等分为偶数条线段,可按方法 4 剪拼成正三棱柱. 这是一道新颖的立体几何应用题. 从前年在选择题中判断 “民房屋顶面 积” 关注立体几何的实际应用之后, 去年加大了对立体几何结合生活实际的

考查,通过解答题来体现. 制作形体的模型, 是生产和生活实际中一项重要的技能. 学习立体几何 的时候, 往往也通过观察和制作几何模型来提高空间想象能力. 考查几何模 型的制作, 有利于倡导动手实践, 关注立体几何知识与现实生活中形体的联 系. 试题设计注意到推出一类新鲜问题时难度层次的把握. 首先, 剪拼一个 “正三棱锥” 这是一个类同于课本习题的问题, , 绝大多数考生都能操作. 其 次,剪拼一个“正三棱柱” ,巧妙之处在于条件“全面积相等” ,即给出的正 三角形纸片要用完,不能多余也不能缺.由于不设定其他条件,比如底面边 长或高的限制,因之有多种剪拼方法,是一道成功的“开放性”试题.题中 提出的“请设计一种剪拼方法” ,充分体现把解答问题的主动权交给考生, 为考生创设出广阔的思维空间.再次,将给出的特殊三角形的纸片一般化, 研究对于任意三角形的纸片能否剪拼成直三棱柱的问题, 是思维的深层次发 展,作为限时考试的高考,要完成的难度较高,故作为“附加题”处理,甚 为合适, 就算绝大多数考生未能作答, 却可以留下悬念, 鼓励考生加强探索, 敢于创新,不要让学习停留在解答故有的习题上,永远只能亦步亦趋.
三、 情景研究型

例 3.把四个半径为 1 的小球放在桌面上,使下层三个,上层一个,两两相 切,求上层小球最高处离桌面的距离.

分析 :本题是四个小球堆放的一个实物模型,如何利用我们所学 的数学知识将其转化为数学问题是解决这个问题的关键,下层三 个球的球心到桌面的距离相等,四个球心之间的距离相等,四个 球心两两连线可构成一个正四面体,这是建模解决此问题的关键。

2 6 ,第 3 四个球的球心到最高点的距离为 1,下层三个球的球心到桌面的距离为 1, 2 6 所以第四个球的最高点与桌面距离为 2 ? 3
解:四个球心组成一个边长为 2 的正四面体,此正四面体的高为

A

D B

四、数学建模型

G

例 4. 四面体对棱长分别相等,分别是 a,b,c.求体积. E C
F

解析: 把四面体“嵌入”棱长为 x,y,z 的长方体(如图).其充分条件是

?x 2 ? y 2 ? a 2 , ? 2 2 2 ?y ? z ? b , ?z 2 ? x 2 ? c 2 ?
有实数解

? c2 ? a2 ? b2 ?x ? 2 ? ? a2 ? b2 ? c2 ? y? ? 2 ? 2 ? b ? c2 ? a2 ?z ? 2 ? ?
如果关于 x,y,z 的方程组有实数解,则四面体体积 V=xyz-4· =

1 1 1 ·( xy)·z= xyz 3 2 3

2 12

(a 2 ? b 2 ? c 2 )( b 2 ? c 2 ? a 2 )( c 2 ? a 2 ? b 2 )

说明 对棱相等的四面体各面是全等的锐角三角形,本题采用了体积分割 法,转化法求体积.

例 5. 如图 1,线段 AB ? 平面α ,线段 CD ? 平面β ,且平面α ∥平面β , AB⊥CD,AB=CD=a,α 、β 的距离为 h,求四面体 ABCD 的体积.

图1 图2 解析:依题意可构造一个底面对角线长为 a,高为 h 的正四棱柱(如图 2). 显然,正四棱柱的底面边长为 V 柱=(

2 a.其体积为 2

1 2 2 2 a) h= a h. 2 2

而三棱锥 C—AC′B 的体积为 V 锥=

1 V 柱. 6 4 V柱 6

故四面体 ABCD 的体积为 V=V 柱-4V 锥=V 柱=

1 1 2 V 柱= a h. 3 6

说明 本题运用了“构造辅助体”的解题技巧. 五、解题策略开放型 例 6. 四面体的四个顶点到平面 M 的距离之比为 1∶1∶1∶3, 则平面 M 的个 数应有多少个? 解 这样的平面应分 4 种情况讨论: 1 (1)4 个顶点都在平面 M 的同侧,则有 C4 ·1=4 个(平面); 1 (2)距离比为 3 的顶点与其他 3 个顶点不同侧,则有 C4 ·1=4 个(平面); 1 1 (3)距离比为 3 的顶点与其他 3 个顶点中的 1 个同侧,则有 C3 ·C4 ·1=12 个(平面) 2 1 (4)距离比为 3 的顶点与其他 3 个顶点中的 2 个同侧,则有 C3 ·C4 ·1=12 个(平面); ∴ 一共应有 4+4+12+12=32 个(平面)

六、条件开放型

例 7.已知△BCD 中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面 BCD,

∠ADB=60°, F 分别是 AC、 上的动点, AE ? AF ? ? (0 ? ? ? 1). E、 AD 且
AC AD

(Ⅰ)求证:不论λ 为何值,总有平面 BEF⊥平面 ABC; (Ⅱ)当λ 为何值时,平面 BEF⊥平面 ACD?

证明: (Ⅰ)∵AB⊥平面 BCD, ∴AB⊥CD, ∵CD⊥BC 且 AB∩BC=B, ∴CD⊥平面 ABC. 又? AE ? AF ? ? (0 ? ? ? 1), AC AD ∴不论λ 为何值,恒有 EF∥CD,∴EF⊥平面 ABC,EF ? 平面 BEF, ∴不论λ 为何值恒有平面 BEF⊥平面 ABC (Ⅱ)由(Ⅰ)知,BE⊥EF,又平面 BEF⊥平面 ACD, ∴BE⊥平面 ACD,∴BE⊥AC ∵BC=CD=1,∠BCD=90°,∠ADB=60°, ∴ BD ?

2, AB ? 2 tan60? ? 6,

2 ? AC ? AB2 ? BC 2 ? 7 , 由 AB =AE·AC 得 AE ? 6 ,? ? ? AE ? 6 ,

7

AC

7

故当 ? ?

6 时,平面 BEF⊥平面 ACD. 7

例 8. “X ⊥ 且 Y ⊥ Z Z ① ② ③ ④ 讲解

设 X、Y、Z 是空间不同的直线或平面,对下面四种情形,使

X∥ ”为真命题的是_________(填序号). Y X、Y、Z 是直线; X、Y 是直线,Z 是平面; Z 是直线,X、Y 是平面; X、Y、Z 是平面.

① 是假命题,直线 X、Y、Z 位于正方体的三条共点棱时为反例,

② ③ 是真命题,④ 是假命题,平面 X、Y、Z 位于正方体的三个共点侧面时 为反例.应当填② ③ . 点评 本题的开放度是比较大的,问题也是比较灵活的.这种开放性

的试题可以考查数学解题当中的思维能力.条件的寻找是需要多方探索 的. 七、结论开放型

例 9. 若四面体各棱长是 1 或 2,且该四面体不是正四面体,则其体积的值 是 .(只须写出一个可能的值) 解析: 该题的显著特点是结论发散而不惟一.本题表面上是考查锥体求积公 式这个知识点, 实际上主要考查由所给条件构造一个四面体的能力, 首先得 考虑每个面的三条棱是如何构成的. 排除{1,1,2} ,可得{1,1,1}{1,2,2}{2,2,2} , , ,然后由这三类 面在空间构造满足条件的一个四面体,再求其体积. 由平时所见的题目,至少可构造出二类满足条件的四面体,五条边为 2,另 一边为 1,对棱相等的四面体. 对于五条边为 2,另一边为 1 的四面体,参看图 1 所示,设 AD=1,取 AD 的 中点为 M,平面 BCM 把三棱锥分成两个三棱锥,由对称性可知 AD⊥面 BCM, 且 VA—BCM=VD—BCM,所以

VABCD=

1 SΔ BCM·AD. 3
2

CM= CD 2 ? DM 2 = 2 ? ( ) =
2

1 2

15 .设 N 是 BC 的中点,则 MN⊥BC, 2

1 15 11 11 11 ,从而 SΔ BCM= ×2× = , ?1 = 2 2 2 2 4 1 11 11 故 VABCD= × ×1= . 3 2 6
MN= CM 2 ? CN 2 =

对于对棱相等的四面体,可参见图 2.其体积的计算可先将其置于一个长方 体之中,再用长方体的体积减去四个小三棱锥的体积来进行.亦可套公式

2 · (a 2 ? b 2 ? c 2 )( b 2 ? c 2 ? a 2 )(c 2 ? a 2 ? b 2 ) , 12 不妨令 a=b=2,c=1,则 2 V= · (4 ? 4 ?1)(4 ? 1 ? 4)(1 ? 4 ? 4) 12
V= =

14 2 · 7= . 12 12

八、条件和结论都发散型 例 10. 有三个几何事实(a,b 表示直线,? 表示平面),① a∥b,② a∥ ? , ③ b∥ ? .其中,a,b 在面 ? 外. 用其中两个事实作为条件, 另一个事实作为结论, 可以构造几个命题?请用 文字语言叙述这些命题,并判断真伪.正确的给出证明,错误的举出反例. 解析:Ⅰ: a∥b a∥ ? b 在? 外 Ⅱ:a∥b b∥ ? a 在? 外

?b∥ ?

?a∥ ?

Ⅰ、Ⅱ是同一个命题:两条平行直线都在一个平面外,若其中一条与平面平 行,则另一条也与该平面平行. 证明:过 a 作平面 ? 与 ? 交于 a ? ∵ a∥ ? ∵ a∥ a ? 而 a∥b ∴ b∥ a ? 且 b 在 ? 外, a ? 在 ? 内 ∴ b∥ ? . Ⅲ:a∥ ?

?a∥b
b∥ ? 命题:平行于同一个平面的两条直线平行, 这是错的,如右图 电 子 邮 箱 周 友 良 zyl2518006@126.com, 手 机 号 码 13037341167 ; 电 话 07342518006 湖南祁东育贤中学 周友良 421600


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