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直线与平面垂直第一课时


直线与平面垂直 的判定

观察实例,发现新知 旗杆与地面的关系, 给人以直线与平面 垂直的形象。

观察实例,发现新知 房屋的屋柱与地面的 关系,给人以直线与 平面垂直的形象。

实例引入
生活中有很多直线与平面垂直的实例

大桥的桥柱与水面垂直

直棱柱的侧棱与

底面的位置关系

引入新课 一条直线与一个平面垂直的意义是什么?
A

α

B

旗杆AB所在直线 直线垂直于平面内的 与地面内任意一条过点 B的直线垂直.

任意一条直线.B的直线B1C1也垂直. 与地面内任意一条不过点

直线与平面垂直

定义:
如果直线 l 与平面? 内的任意一条直线都垂直, 我们说直线 l 与平面 互相垂直, 记作 l ? ? .
平面 的垂线 直线 l 的垂面

垂足

l
P

?
直线与平面的 一条边垂直

思考:
1.如果一条直线 l 和一个平面内的无数条直线都垂 直,则直线 l 和平面 α互相垂直( ? )
l
C

?

B

2. a ? ? , b ? ? ? a ? b
性质定理

(? )

直线 l 垂直于平面α ,则直线 l 垂直于 平面α中的任意一条直线

线线垂直

线面垂直

直线与平面垂直 探究: 除定义外,如何判定一条直线与平面垂直呢?
A A 如图,准备一块三角形的纸片,做一个试验: A

l
P
C C C

A
D

?
B B
D D

? C ?

B B

D

当且仅当折痕 AD 是 BC 边上的高时,AD所在直 过 ?ABC 的顶点 A翻折纸片,得到折痕AD,将翻 ? 线与桌面所在平面 垂直. 折后的纸片竖起放置在桌面上(BD,DC于桌面接触)

? 3、归纳:
? 一条直线与一个平面内的两条 相交直线都垂直,则该直线与 此平面垂直。

l

b
a

A

符号语言:

(1)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视; (2)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直” 互相转化的数学思想。

直线与平面垂直判定定理

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直, 则该直线与此平面垂直.

? ? ? a ?? ??l ?? ? b ?? ? a ?b ? A ?
线线垂直 判定定理

l?a l ?b

l

b

?

A

a

线面垂直

例1. 如图,已知

a // b, ? a ??

,求证

b ? ?.
b

证明:在平面 ? 内作 两条相交直线m,n. 因为直线 a ? ? ,
a ? m, a ? n.

a

根据直线与平面垂直的定义知
又因为 b // a 所以 b ? m, b ? n.

?

m

n

又 m ? ? , n ? ? , m, n 是两条相交直线, 所以 b ? ? .

例2 已知:正方体中,AC是面对角线,BD'是 与AC 异面的体对角线. 求证:AC⊥BD'

D′ A′ D A B

C′

B′
C

证明:连接BD 因为正方体ABCD-A'B'C'D' 所以DD‘⊥平面ABCD AC ? 平面ABCD 又因为 ' AC ? DD 所以 因为AC、BD 为对角线 所以AC⊥BD 因为DD'∩BD=D 所以AC⊥平面D'DB 所以AC⊥BD'

D′
A′ B′

C′

D

C

A

B


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