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华师一2011届高三第一轮复习教案(第八章)第7讲--抛物线(一)


课 题: 抛物线(一) 教学内容: 抛物线的定义及其标准方程.抛物线的简单几何性质 教学目的: 抛物线的定义及其标准方程.抛物线的简单几何性质 教学重点: 抛物线的定义及其标准方程.抛物线的简单几何性质 教学过程: 一、知识概要
教学要求: 掌握抛物线的定义及标准方程,抛物线的简单几何性质. 掌握抛物线的应用. 知识点 1 抛物线的定义 平面内,到一个定点 F 和一条定

直线 l 的距离相等的点的轨迹,叫做抛物线。定点 F 叫做抛物线的焦 点,直线 l 叫做抛物线的准线。 知识点 2 抛物线的标准方程 y2=2px (p>0); y2=-2px (p>0); x2=2py (p>0); x2=-2py (p>0). 它们都叫做抛物线的标准 方程 指出: (1)当且仅当抛物线的焦点在坐标轴的正半轴上,且过原点时,抛物线的方程才叫做抛物线的 标准方程。 (2)求抛物线的标准方程,首先要判断抛物线的对称轴和开口方向:一次项的变量如果为 x(或 y) , 则 x 轴(或 y 轴)是抛物线的对称轴,一次项系数的符号决定开口方向。一次项系数为正时,则抛物线开 口向右(或向上) ,一次项系数为负时,则抛物线开口向左(或向下) 知识点 3 抛物线的几何性质 我们根据抛物线的标准方程 y2=2px (p>0),来研究它的性质: (1) 范围 x≥0,当 x 增大时,|y|也增大,即说明抛物线向右上方和或右下方无限延伸。 (2) 对称性 以-y 代 y,方程不变,所以抛物线关于 x 轴对称,我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。 (3) 顶点 抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点,抛物线的顶点就是坐标原点。 (4) 离心率 抛物线上的动点 M 与焦点和相应准线的距离比,叫做抛物线的离心率,用 e 表示,按抛物线的定义, e=1。 指出: (1)抛物线的开口大小用 p 的值来表示。p 的值越大,|y|也越大,不妨说抛物线的开口也越大。 (2)抛物线没有中心,通常称抛物线为无心圆锥曲线,而称椭圆和双曲线为有心圆锥曲线。 (3)画图时不要把抛物线画成双曲线的一支,当抛物线上点趋向于无穷远时,抛物线在这一点的斜率 (曲线在某一点的斜率是指曲线在这一点的切线的斜率)接近于坐标轴所在直线的斜率,也就是抛物线接 近于和坐标轴所在直线平行。 (而双曲线上的点趋向于无穷远时,它的斜率接近于它的渐近线的斜率) 。 (5)焦半径公式

p p ;若 M(x,y)在抛物线 y2=-2px 上,则|MF|= -x;; 2 2 p p 若 M(x,y)在抛物线 x2=2px 上,则|MF|=y+ ;若 M(x,y)在抛物线 x2=-2px 上,则|MF|= -y。 2 2
若 M(x,y)在抛物线 y2=2px 上,则|MF|=x+ (6)焦点弦及焦点弦的性质 过焦点 F 的直线与抛物线交于点 A、B,则线段 AB 称为抛物线的焦点弦. 关于抛物线焦点弦的几个性质: 过抛物线 y2=2px (p>0)的焦点 F 的直线与抛物线交于 A(x1,y1),B(x2,y2)。则
第八章 圆锥曲线方程 (第 7 课时) 1

① x1·2= x

p2 , y1·2=-p2; y 4

② |AB|=x1+x2+p;

③ 若直线 AB 的倾斜角 α,则|AB|= 的通径。

2p ;当=900 时,|AB|的最小值等于 2 p ,这时的弦叫抛物线 2 sin ?

④ 以 AB 为直径的圆必与准线 l 相切; ⑤

1 1 2 为定值 . ? | AF | | FB | p

知识点 4 抛物线的参数方程

? x ? 2 pt 2 , 对于抛物线 y =2px(p>0),其参数方程为 ? (t 为参数) 的几何意是过抛物线顶点的动弦 。t ? y ? 2 pt,
2

斜率的倒数。 同理,对于抛物线 x2=2py(p>0),其参数方程为 ?

? x ? 2 pt,
2 ? y ? 2 pt

(t 为参数) 的几何意义为过抛物线顶点 。t

O 的动弦 OP 的斜率。 知识点 5 抛物线的光学性质 从抛物线的焦点发出的光线,经抛物线反射后,反射光线平行于抛物线的对称轴。

二、典例解析
例 1 (抛物线的定义及应用) 如图,直线 l1 和 l2 相交于点 M,l1⊥l2,点 N∈l1.以 A、B 为端点的曲线段 C 上的任一点到 l2 的距离与到点 N 的距离相等.若△AMN 为锐角三角形, |AM|= 17 ,|AN|=3,且|BN|=6.建立适当的坐标系,求曲线段 C 的方程. 解:如图建立坐标系: 以 l1 为 x 轴, 的垂直平分线为 y 轴, O 为坐标原点. MN 点 依题意知:曲线段 C 是以点 N 为焦点,以 l2 为准线的抛物线的一段,其中 A、 B 分别为 C 的端点.设曲线段 C 的方程为 y2=2px(p>0) (xA≤x≤xB,y>0),其 , 中 xA、xB 分别为 A、B 的横坐标,p=|MN|.所以 M( ?

p p ,0) ,N( ,0),由 2 2 p 2 ) +2pxA=9 2
②。 由

|AM|= 17 ,|AN|=3 得(xA+

p 2 ) +2pxA=17 2

① (xA ?

① ②两式联立解得 xA=

?p ? 4 ?p ? 2 4 , 再将其代入①式并由 p>0, 解得 ? 或? . 因为△AMN 是锐角三 x A ? 1 ?xA ? 2 p ?

角形,所以

?p ? 2 p p >xA,故舍去 ? . 所以 p=4,xA=1.由点 B 在曲线段 C 上,得 xB=|BN| ? =4. 2 2 ?xA ? 2

综上得曲线段 C 的方程为 y2=8x(1≤x≤4,y>0) . 解法二:如图建立坐标系,分别以 l1、l2 为 x、y 轴,M 为坐标原点.作 AE⊥l1,AD⊥l2,BF⊥l2,垂 足分别为 E、D、F. 设 A(xA,yA) 、B(xB,yB) 、N(xN,0) 依题意有 xA=|ME|=|DA|=|AN|=3, A=|DM|= | AM | ? | DA | ? 2 2 ,由于△AMN 为锐角三角形, y
2 2

第八章

圆锥曲线方程 (第 7 课时)

2

故有 xN=|ME|+|EN|=|ME|+ | AN | ? | AE | =4,xB=|BF|=|BN|=6.设点 P(x,y)是曲线段 C 上
2 2

任一点,则由题意知 P 属于集合{ (x,y)|(x-xN)2+y2=x2,xA≤x≤xB,y>0} 故曲线段 C 的方程为 y2=8(x-2) (3≤x≤6,y>0) . 例 2 (求抛物线的方程) 已知抛物线的顶点在原点,焦点在 y 轴上,抛物线上一点 M(m, -3)到焦点距离 为 5,求 m 的值、抛物线方程和准线方程。 解:设所求抛物线方程为 x2=-2py(p>0),则焦点 F(0, -

p ),∵M(m, -3)在抛物线上且|MF|=5, 2

?m 2 ? 6 p , ? p ? 4, ? ∴? 解得 ? ∴抛物线方程为 x2=-8y, m=± 6 , 准线方程为 y=2。 2 p 2 2 ? m ? ?2 6 . ? m ? ( ?3 ? ) ? 5. 2 ?
解法二:设抛物线方程为 x2=-2py(p>0),则焦点 F(0, 则|MN|=|MF|=5。 而|MN|=3+ 得 m=± 6 。 2 例 3 (求抛物线的方程) 求顶点在原点,焦点在 x 轴上的抛物线且截直线 2x-y+1=0 所得弦长为 15 的 抛物线方程。 解:设所求抛物线方程为 y2=ax (a≠0), ① 直线方程变形为 y=2x+1, ②
2

p p ),准线 l :∴y= 。作 MN⊥ l ,垂足为 N, 2 2

p p , ∴3+ =5, p=4。 得 ∴抛物线方程为 x2=-8y, 准线方程为 y=2。 m2=-8×(-3) 由 2 2

设抛物线截直线

所得弦为 AB。 ②代入①, 整理得 4x2+(4-a)x+1=0, 则|AB|= (1 ? 2 )[(

a?4 2 1 ) ? 4 ? ] ? 15 。 解得 a=12, 4 4

或 a=-4。∴所求抛物线方程为 y2=12x,或 y2=-4x. 评注: 本题将抛物线方程设为 y2=ax(a≠0) 避免了分类讨论。当 a>0 时抛物线开口向右;当 a<0 时 抛物线开口向左。 例 4 (求抛物线的方程) 如图 8-114,线段 AB 过 x 轴正半轴上一点 M(m,0)(m>0),端点 A、B 到 x 轴的 距离之积为 2m,以 x 轴为对称轴,过点 A、O、B 三点作抛物线。 (1)求抛物线方程; (2)若 tan∠AOB=-1,求 m 的取值范围。 解: (1)若过 A、B 的直线斜率存在,设 AB:y=kx-km(k≠0),抛物线方程为 y2=2px(p>0)。由 y=kx-km 与 y2=2px 消去 x,得 y2-

2p y-2pm=0. ① k 2p 设 A(x1,y2) 、 B(x2,y2) , 不 妨 设 y1>0 , ∴y1+y2= ,y1y2=-2pm. 由 已 知 , 得 k
② 若 AB 斜率不存在,则 x1=x2=m,y1=-y2= 2m, 也适合上面方程②。 综上知抛物线的方程为 y2=2x。 (2) 由(1)得,y2-

|y1y2|=|-2pm|=2m,∴p=1,∴抛物线的方程为 y2=2x.

y y 2 2 4 2 y -2m=0. ∴△= 2 +8m>0(m>0). y1+y2= ,y1y2=-2m. ∵kOA= 1 ? 1 , kOB= , 2 y2 x1 k k y1 k 2

第八章

圆锥曲线方程 (第 7 课时)

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2 2 ? y y2 2( y 2 ? y1 ) 4 ? 8m ,y1y2=-2m, 由已知 tan∠AOB=-1,得 1 ? ? ?1 ,而 y2-y1=-|y2-y1|= 4 4 ? y1 y 2 k2 1? y1 y 2
?m ? 2, 4 ? ? 8m =4-2m>0.∴ ? 4 ∴2 解得 0<m<6-4 2 . ∴m 的取值范围是(0,6-4 2 ). 2 ? m 2 ? 12 m ? 4 ? 0. k ?k 2 ?
例 5 (抛物线的焦半径及焦点弦) 求抛物线 y2=2px 焦点弦长的最小值。 解:设焦点弦所在直线的倾角为 θ,则直线 AB 的方程为 ycosθ=sinθ(x-

p ), 2
2 2

p ? ? y cos? ? sin ? ( x ? ) 设 A(x1,y1)、B(x2,y2),由 ? 2 ? y 2 ? 2 px ?

p2 消去 y 得 sin θx -p(2cos θ+sin θ)x+ sin2θ=0。 4
2 2

p(2 cos2 ? ? sin 2 ? ) p(2 cos2 ? ? sin 2 ? ) 2p ∴x1+x2= 。∴|AB|=|AF|+|BF|=x2+x2+p= ?p? 2 2 sin ? sin ? sin 2 ?
∴当 sin2θ=1,即 θ=

? 时,|AB|取最小值 2p。 2

例 6 (直线与抛物线的位置关系) 已知直线 l 的斜率为 k,且过点 P(-2,0),抛物线 C:y2=4(x+1),直线 l 与抛物线有两个不同的交点 A 和 B。 (1)求 k 的取值范围; (2)直线 l 的倾斜角 θ 为何值时,A,B 分别与抛物线 C 的焦点的连线互相垂直。 解: (1)设直线 l 的方程为 y= k (x+2) 代入 C 得: k2x2+(4k2-4)x+4k2-4=0, ① 直线 l 与抛物线 C 交于两个不同点的充要条件是方程①在区间(-1,+∞)上有两个不等实根,其充要条件是

?1 ? k 2 ? 0 ? ? ( 4 ? 4k 2 ) ? 4 1 ? k 2 ? ?1 ? 2k 2 ?

解得-1<k<1.

(2)焦点 F(0,0),设 A(x1,y1),B(x2,y2)。 ∵OA⊥OB,∴kOA· OB=-1,∴x1x2=-y1y2, 由 ① 得 k x1x2=

4k 2 ? 4 . y1y2=k2(x1+2)(x2+2)=k2[x1x2+2(x1+x2)+4] k2

2 4k 2 ? 4 4 ? 4k 2 ?2 ? 4] =4,∴ 4k ? 4 ? ?4, ∴k=± 2 ,即 tanθ=± 2 , ∴θ=arctan 2 或 2 =k2 [ k 2 k 2 2 2 k2

θ=π-arctan

2 . 2

例 7 (抛物线中的轨迹问题) 设抛物线过定点 A(0,2) ,且以 x 轴为准线求抛物线顶点 M 的轨迹 C 的 方程. 解: 设 动点 M(x, y),焦点 F(x0, y0),∵ |AF|=
2 2 x 0 ? ( y 0 ? 2) 2 ? 2 , ∴ x0 ? ( y 0 ? 2) 2 ? 4 , ①而

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圆锥曲线方程 (第 7 课时)

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? x ? x0 ? x0 ? x ? ,∴ ? ? y0 ? 0 ? y0 ? 2 y ?y ? 2 ?

代入① ∴ x2+(2y-2)2=4,

x2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 且 y≠0. 4

例 8 (抛物线中的轨迹问题) 如图所示,有一张长为 8,宽为 4 的矩形纸片 ABCD,按图示的方法进行 折叠,使每次折叠后点 B 都落在 AD 边上,此时将 B 记为 B? (注:图中 FE 为折 痕,点 F 也可落在边 CD 上) 。过 B? 作 B? T∥CD 交 EF 于点 T,求点 T 的轨迹方 程。 解:如图 8-5-6 所示,以边 AB 的中点 O 为原点,AB 边所在的直线为 y 轴建 立平面直角坐标系,则 B(0, -2)。直线 AD 的方程 y=2。 因为|BT|=| B? T|, B? T⊥AD,根据抛物线的定义,T 点的轨迹是以点 B 为焦 点,AD 为准线的抛物线的一部分。 设 T(x, y),由|AB|=4,得定点 B 到定直线 AD 的距离为 4。设抛物线方程为 2 x =-2py,则 p=4。∴抛物线的方程为 x2=-8y。 在折叠中,线段 A B? 长度|A B? |在区间[0,4]内变化,而 x=A B? , ∴0≤x≤4. 故点 T 的轨迹方程为 x2=-8y(0≤x≤4)。 例 9 (抛物线中的轨迹问题) 已知抛物线 C: y=x2-2x+2,直线 L:y=kx. (1)若 L 与 C 有两个公共点 P、Q,求 k 的取值范围. (2)在(1)条件下,设 M 为射线 OP 上的点,且 程. 解: (1)联立方程组 ?

1 1 1 (O 为原点),求 M 点的轨迹方 = + |OM| |OP| |OQ|

?y ? kx ? y ? ( x ? 1) ? 1
2

? x2-(k+2)x+2=0, ∵ l 与 c 有两个公共点 P、Q,∴△>0,解

得 k<-2-2 2 或 k>-2+2 2 . (2)设动点 M(x,y), ∵xM=|OM|·cosθ, ∴

1 cos? 1 cos? 1 cos? ? , ? ,同理 。 ? | OP | x P | OQ | xQ | OM | xM

1 k?2 x P ? xQ k ? 2 ? ? 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? 由 ,x ? ? ? 2 ? 消去 k 可得 2x+y-2=0, ? xM x P xQ x P ? xQ 2 | OM | | OP | | OQ | ?y ? kx ?
又∵x=

2 2 2 2 2 及 k 的取值范围可知<x< (x≠0).∴2x+y-2=0()为所求轨迹方程。 ?x? 2 2 2 2 k?2

例 10 (抛物线中的最值问题) 已知抛物线 y2=2px(p>0).过动点 M(a,0)且斜率为 1 的直线 l 与 该抛物线交于不同的两点 A、B,|AB|≤2p. (Ⅰ)求 a 的取值范围; (Ⅱ)若线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N,求△NAB 面积的最大值. 解: (Ⅰ)设 y=x-a,∴(x-a)2=2px. x2-2ax+a2-2px=0 , x2-(2a+2p)x+a2=0. |AB|= 2 4( a ? p ) ? 4a ≤2p,∴4ap+2p2≤p2,4ap≤-p2, 又∵p>0,∴a≤-
2 2

p . 4
5

(Ⅱ)∵AB 中点 x=a+p. y1+y2=x1+x2-2a, y1+y2=2p, ∴y=p,∴过 N 的直线:
第八章 圆锥曲线方程 (第 7 课时)

y-p=-(x-a-p), N 到 AB 的距离为:

|a ? 2p ?a| 2p . ? 2 2

∴S=

2 2 2p p 2ap ? p 2 ? ? 2 p 2ap ? p 2 。当 a 有最大值时- 时,S 有最大值。 2 4 2
2

p2 2 p2 ? 2 p2 2 S ? 2p p ? ? ? ? 2 p2 2 2 2
例 11 (抛物线中的最值问题) 设抛物线 C:y2=2px(p>0)上有两个动点 A、B(A、B 不垂直于 x 轴) , F 为焦点,且|AF|+|BF|=8,又线段 AB 的垂直平分线恒过定点 Q(6, 0)。 (1)求抛物线 C 的方程; (2)求△AQB 的面积的最大值。 解: (1)设 A(x1, y1), B(x2, y2)(x1≠x2),则|AF|+|BF|=x1+
2

p p +x2+ =x1+x2+p=8.∴x1+x2=8-p . 2 2
2



∵线段 AB 的垂直平分线过 Q(6, 0), ∴|AQ|=|BQ|. (x1-6)2+y 1 =(x2-6)2+y 2 , (x1-6)2+2px1=(x2-6)2+2px2 ? x 1 -x 2 -(12-2p)(x1-x2)=0。∵x1≠x2, ∴x1+x2=12-2p.
2 2



①,②联立得 p=4。∴抛物线 C 方程为 y2=8x.

(2)由(1)知 AB 中点的横坐标为 2,设纵坐标为 y0,由 kAB=

2p 8 4 ,∴AB 的方 ? ? y1 ? y 2 y1 ? y 2 y 0

程为 y-y0=

4 2 2 2 (x-2),代入 y2=8x,得 y2-2y0y+2y 0 -16=0。∴△=4y 0 -4(2y 0 -16)>0,得-4<y0<4。从而 y0

2 y1+y2=2y0, y1y2=2y 0 -16。|AB|= 1 ?

1 1 1 2 2 2 2 (16 ? y 0 )(16 ? y 0 ) . |y1-y2|= 1 ? 2 4 y 0 ? 4(2 y 0 ? 16) ? 2 2 k k

点 Q 到 AB 的距离 h=

2 | 24 ? y 0 ? 8 | 2 16 ? y 0

,

∴S△AQB=

1 1 1 2 2 2 2 2 |AB|h= (16 ? y 0 ) 2 (16 ? y 0 ) ? (16 ? y 0 )(16 ? y 0 )(32 ? 2 y 0 ) 4 2 4 2
32 ? 16 ? 16 3 64 6 4 3 2 2 ) ? . 当且仅当 16+y 0 =32-2y 0 时,即 y0=± 时,“=”成立,∴△AQB 3 9 3
64 6 。 9



1 4 2

(

面积最大值为

三、课堂练习
1.过抛物线焦点 F 的直线交该抛物线于 P、Q 两点,弦 PQ 的垂直平分线交该曲线的对称轴于 R。求证: |FR|=

1 |PQ|。 2

证:建立直角坐标系如图 8-107。设 M 为 PQ 的中点,PQ 的垂平分线与 x 轴的交

第八章

圆锥曲线方程 (第 7 课时)

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点为 R, 并设 R 点坐标为(x,0), 点坐标为(x1,y1), 点坐标为(x2,y2)。 P Q ∴|FR|=x2 2 2 2

p . 由题设知|RP|=|PQ|, 2

即 (x-x1)2+ y1 =(x-x2)2+ y 2 。∵ y 2 =2px2, y1 =2px2,代入上面方程,得(x-x1)2-(x-x2)2=2p(x2-x1), 即[2x-(x1+x2)](x2-x1)=2p(x2-x1),∵x1≠x2,∴x=

x1 ? x 2 x ? x2 p +p.∴|FR|= 1 + .|PQ|=|PF|+|PQ| 2 2 2

=(x1+

p p 1 )+(x2+ )=(x1+x2)+p。∴|FR|= |PQ|. 2 2 2

2.抛物线的顶点在原点,以 x 轴为对称轴,过焦点且倾斜角为 135° 的直线,被抛物线所截得的弦长为 8, 试求抛物线方程。

1 p.设直线交抛物线于 A(x1,y1)、 2 p p p p B(x2,y2),则由抛物线定义得|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|=x1+ +x2+ ,即 x1+ +x2+ =8.又 A(x1,y1)、 2 2 2 2
解:依题意设抛物线方程为 y2=2px(p>0),则直线方程为 y=-x+

1 ? p2 ? y ? ? x ? p, B(x2,y2)是抛物线和直线的交点。 ? 由 消去 y 得 x2-3px+ =0.∴x1+x2=3p。 将其代入① 得 2 4 2 ? y ? 2 px ?
p=2,∴所求抛物线方程为 y2=4x. 当抛物线方程设为 y2=-2px 时,同理可求得抛物线方程为 y2=-4x。 指出:要由定“性”和定“量”两个方面来确定抛物线的方程,定“性”,即确定开口方向便于设抛物线的方 程,定“量”,即求所设方程中的参数量 p。

四、备选习题
1.过抛物线 y2=4x 焦点 F 的直线 l 与这条抛物线交于 A、B 两点,O 为坐标原点. (1)求△AOB 的重心 G 的轨迹方程; (2)当直线 l 的倾斜角为 45° 时,试求抛物线的准线上一点 P 的坐标,使 AP⊥BP。 解: (1)抛物线的焦点坐标为(1,0)。当直线 l 不垂直于 x 轴时,设 l :y=k(x-1)。代入 y2=4x 得 k2x2-2(k2+2)x+k2=0. ∵ l 与抛物线相交于两点。∴k≠0. 设 A(x1,y1)、B(x2,y2)。根据韦达定理有:x1+x2=

? y1 ? k x1 ? k , 2(k 2 ? 2) , x1x2=1. ? 2 k ? y 2 ? k x2 ? k

从而

y1+y2=k(x1+x2-2)=

4 , y1·2=k2(x1-1)(x2-1)=-4. y k 4 8 x? . 3 9

0 ? x1 ? x 2 2 4 ? ? ? 2, ?x ? ? 3 3 3k 设△AOB 的重心(x,y),则 ? ? y ? 0 ? y1 ? y 2 ? 4 ? 3 3k ?

消去 k 并整理得 y2=

当 l 垂直于 x 轴时, B 的坐标分别是(1,2)和(1,-2)。 A、 △AOB 的重心 G( 此所求轨迹方程为 y2=

2 4 8 ,0),也适合 y2= x ? 。 3 3 9



4 8 x? . 3 9

(2)当直线 l 的倾斜角为 45° 时,k=1,∴x1+x=6, y1y2=-4.

第八章

圆锥曲线方程 (第 7 课时)

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设抛物线的准线上一点 P(-1,y0)。∵AP⊥BP,∴

y1 ? y 2 y 2 ? y 0 ? =-1. x1 ? 1 x 2 ? 1

2 2 y1 y 2 ? y 0 ( y1 ? y 2 ) ? y 0 ? 4 ? 4 y0 ? y0 ? ?1, ? ?1, 解得 y0=2。故所求点 P 的坐标为(-1,2)。 即 x1 x 2 ? ( x1 ? x 2 ) ? 1 1? 6 ?1

2. 抛物线 y2=2x 上的点 P(x, y)到点 A(a, 0) (a∈R) 的距离的最小值记为 f(a)。 (1)求 f(a)的表达式;
2 2 解: (1)|PA|= ( x ? a ) ? y ?

(2)当

1 ≤a≤5 时,求 f(a)的最大值和最小值。 3

x 2 ? 2(a ? 1) x ? a 2 ? [ x ? (a ? 1)] 2 ? 2a ? 1 . 当 a-1<0,即 a<1

时,f(a)=|a|;当 a-1≥0,即 a≥1 时,f(a)= 2a ? 1 ,∴f(a)= ? (2)当

?| a | (a ? 1), ? 2a ? 1( a ? 1).

1 ≤a≤5 时: 3 1 1 1 1 ① 若 a∈ [ ,1) , f(a)=a 在 [ ,1) 上为增函数,∴f(a)min=f( )= . 3 3 3 3
② 若 a∈[1, 5],f(a)= 2a ? 1 在[1, 5]上为增函数,∴f(a)max=f(5)= 2 ? 5 ? 1 =3。 综上知,f(a)的最大值为 3,最小值为

1 。 3
2 y0 ? 3 y 0 ? 46 | 64 5

3. 求抛物线 y2=64x 上的点到直线 4x+3y+46=0 的距离的最小值,并求取得最小值时抛物线上点的坐标。

解:设 P(x0,y0)是抛物线上的点,则 x0=

y ,P 到直线 4x+3y+46-0 的距离 d= 64

2 0

| 4?

2 | y 0 ? 48 y 0 ? 736 | ( y 0 ? 24) 2 ? 160 ? = 。∴当 y0=-24, x0=9 时,d 有最小值 2。∴抛物线上的点到直线 80 80

的最小距离等于 2,这时抛物线上点的坐标为(9,-24)。

? y 2 ? 64 x 解法二:∵ ? 无实根,∴直线与抛物线没有公共点。设与直线 4x+3y+46=0 平行的 ?4 x ? 3 y ? 46 ? 0

4 ? 4 ? y ? ? x ? b, 直线为 y=- x +b,则 ? 消去 x,得 y2+48y-48b=0。 3 3 ? y 2 ? 64 x ?



设此直线与抛物线相切,即只有一个公共点,∴△=482-4(-48b)=0,∴b=-12.代入①得 y=-24,x=9, 即点 P(9,-24)到直线 4x+3y+46=0 的距离最近。最近距离为 d=

| 4 ? 9 ? 3 ? (?24) ? 46 | =2. 5

4. 过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F,引两条相互垂直的弦 AC、BD,求四边形 ABCD 面积的最小值。 解:设直线 AC 的斜率为 k,直线 BD 的斜率为-

1 p ,则直线 AC 的方程为 y=k(x- ),代入抛物线方 k 2

第八章

圆锥曲线方程 (第 7 课时)

8

程 y2=2px,得 4k2x2-4p(k2+2)x+p2K2=0。 设 A(x1, y1), C(x2, y2)。∴|AC|=X1+X2+P=

2 p (k 2 ? 1) 。直线 BD k2

1 p ? 1 p ? y ? ? ( x ? ), 的方程为 y =- ( x ? ) 。设 B(x 3, y 3), D(x 4, y 4),由 ? k 2 消去 y k 2 ? y 2 ? 2 px, ?
得 4(? ) 2 x 2 ? 4 p ? [( ? ) 2 ? 2]x ? p 2 (? ) 2 ? 0 .∴|BD|=x3+x4+p=2p(k2+1). ∴四边形 ABCD 面积

1 k

1 k

1 k

S=

1 2 p 2 (k 2 ? 1) 2 1 1 1 |AC|· |BD|= )=8p2。当且仅当 k2= 2 ,即|k|=1 ? 2 p 2 (2 ? k 2 ? ) ≥2p2(2+2 k 2 ? 2 k2 k2 2 k k

时,四边形的面积最小,最小值为 8p2。

五、教学小结

第八章

圆锥曲线方程 (第 7 课时)

9


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