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圆的方程


高考导向
从高考内容上来看,圆主要以两种形式考察:一是

圆的方程,二是直线与圆的位置关系。分值约在5分——
12分。

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圆的方程
一、学习目标: 1、掌握圆的标准方程和一般方程的形式,并能熟练地 进行相互转化。 2、明确确定一个圆需要三个独立条件,并能根据已知 条件求出圆的方程。

3、理解二元二次方程表示圆的充要条件。 4、会判断点与圆的位置关系。

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二、知识梳理: 定点 的距 1、圆的定义:平面内到______ 定长 的点的集合(或轨迹) 离等于_______
y

(1)建系: (2)设点: (3)用代数式表达几何关系: |AC|=r
d=r

A(x,y)

C(a,b)

( x ? a ) ? ( y ? b) ? r
2 2

o

x

(4)化简:( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2

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2、圆的标准方程:

( x ? a) ? ( y ? b) ? r (r ? 0)
2 2 2

r (a,b) 半径______ 圆心_________

展开x 2 ? 2ax ? a 2 ? y 2 ? 2by ? b 2 ? r 2 即x ? y ? 2ax ? 2by ? a ? b ? r ? 0
2 2 2 2 2

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3、圆的一般方程:

x2+y2+Dx+Ey+F=0

( D ? E ? 4F ? 0)
2 2

D 2 E 2 D2 ? E 2 ? 4F 配方(x ? ) ? ( y ? ) ? 2 2 4
D E (? , ? ) 2 2 圆心________

1 D2 ? E 2 ? 4F 2 半径_________

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4、试探究二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 表示圆的充要条件是_________________.

析:当B ? 0且A ? C ? 0时,方程可化为 D E F x2 ? y 2 ? x? y? ?0 A A A D 2 E 2 F ?( ) ? ( ) ? 4 ?0 A A A D 2 ? E 2 ? 4 AF 2 2 ? ? 0 即 D ? E ? 4 AF ? 0 2 A
? ?A=C≠0 ? 答案:?B=0 ? 2 2 ? D + E -4AF>0 ?

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5、点与圆的位置关系 点M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系
2+(y -b)2=r2 ( x - a ) 0 (1)若点M(x0,y0)在圆上,则 0 ; 2 2 2 (2)若点M(x0,y0)在圆外,则 (x0-a) +(y0-b) >r

; .

2+(y -b)2<r2 ( x - a ) 0 0 (3)若点M(x0,y0)在圆内,则

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预习检测3、4 3、一个圆关于一条直线对称, 则这条直线必过圆的圆心。

4、两个圆关于一条直线对称, 则这两个圆: (1)圆心关于直线对称 (2)半径不变。 返回

三.小组合作、讨论、展示、点评 讨论内容 讨论小组
探究1
探究4 探究2

展示人

点评人

第一、五组
第二、六组 第三、七组 第四、八组

冯云
曾志欢 吕苗苗 周诺楠

张盼
朱佶成 马振江 张晓冉

探究3

要求:①本小组任务讨论2分钟,其它组任务讨论6分钟,学科组长 用卡片收集大家讨论后还有疑惑的具体问题。 ②展示人要求板书认真,规范,条理清晰,并有简要方法总结。 ③非展示人结合展示继续讨论,并注意方法总结,题型拓展变式,归 纳升华,为点评、补充、质疑做准备. ④点评人要面向全体同学声音洪亮,语言清晰. 返回

四、课堂小结: 1.利用待定系数法求圆的方程:(体现方程思想) (1)若已知条件与圆的圆心和半径有关,则设圆的标准方 程。依据已知条件列出关于a,b,r的方程组,从而求 出a,b,r的值; (2)若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径,则选择圆 的一般方程。依据已知条件列出关于D,E,F的方程组, 从而求出D,E,F的值. 2.利用圆的几何性质求方程:(体现数形结合思想) 根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写 出方程.

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1、D 2、解:设圆的方程为
2 2 (x-a) +(y-b) =1 (a>0,b>0)

? 与y轴相切 ? a=1 又 ? 与x轴相交于点A、B且|AB|= 3 3 2 ?由弦长公式得( )+b 2 =12 2 1 ? b= 2 1 2 ?圆的标准方程为(x-1 )+(y- )=1 2
2

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