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高考数学竞赛题

时间:2015-08-15


一试

折叠

全国高中数学联赛的一试竞赛大纲,完全按照全日制中学《数学教学大纲》中所 规定的教学要求和内容, 即高考所规定的知识范围和方法,在方法的要求上略有 提高,其中概率和微积分初步不考。

二试

折叠

1、平面几何 基本要求:掌握高中数学竞赛大纲所确定的所有内容。 补充

要求:面积和面积方法。 几个重要的极值:到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点。到三角形三顶点 距离的平方和最小的点--重心。三角形内到三边距离之积最大的点--重心。 几何不等式。 简单的等周问题。了解下述定理: 在周长一定的 n 边形的集合中,正 n 边形的面积最大。 在周长一定的简单闭曲线的集合中,圆的面积最大。 在面积一定的 n 边形的集合中,正 n 边形的周长最小。 在面积一定的简单闭曲线的集合中,圆的周长最小。 几何中的运动:反射、平移、旋转。 复数方法、向量方法。 平面凸集、凸包及应用。 2、代数 在一试大纲的基础上另外要求的内容: 周期函数与周期,带绝对值的函数的图像。

三倍角公式,三角形的一些简单的恒等式,三角不等式。 第二数学归纳法。 递归,一阶、二阶递归,特征方程法。 函数迭代,求 n 次迭代,简单的函数方程。 n 个变元的平均不等式,柯西不等式,排序不等式及应用。 复数的指数形式,欧拉公式,棣莫佛定理,单位根,单位根的应用。 圆排列,有重复的排列与组合,简单的组合恒等式。 一元 n 次方程(多项式)根的个数,根与系数的关系,实系数方程虚根成对定理。 简单的初等数论问题,除初中大纲中所包括的内容外,还应包括无穷递降法,同 余,欧几里得除法,非负最小完全剩余类,高斯函数,费马小定理,欧拉函数, 孙子定理,格点及其性质。 3、立体几何 多面角,多面角的性质。三面角、直三面角的基本性质。 正多面体,欧拉定理。 体积证法。 截面,会作截面、表面展开图。 4、平面解析几何 直线的法线式,直线的极坐标方程,直线束及其应用。 二元一次不等式表示的区域。 三角形的面积公式。 圆锥曲线的切线和法线。 圆的幂和根轴。 5、其它 抽屉原理。

容斥原理。 极端原理。 集合的划分。 覆盖。 梅涅劳斯定理 托勒密定理 西姆松线的存在性及性质(西姆松定理)。 赛瓦定理及其逆定理。

1.平面几何 西姆松定理; 三角形旁心、费马点、欧拉线; 几何不等式; 几何极值问题; 几何中的变换:对称、平移、旋转; 圆的幂和根轴: 面积方法,复数方法,向量方法,解析几何方法。 2.代数 周期函数,带绝对值的函数; 三角公式,三角恒等式,三角方程,三角不等式,;反三角函数 递归,递归数列及其性质,一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式; 第二数学归纳法; 均值不等式,柯西不等式,排序不等式,切比雪夫不等式,一元凸函数及其应用; 复数及其指数形式、三角形式,欧拉公式,棣莫弗定理,单位根; 多项式的除法定理、因式分解定理,多项式的相等,整系数多项式的有理根*,多项式的插 值公式*; n 次多项式根的个数,根与系数的关系,实系数多项式虚根成对定理; 函数迭代,求 n 次迭代*,简单的函数方程*。 3.初等数论 同余,欧几里得除法,裴蜀定理,完全剩余系,不定方程和方程组,高斯函数[x],费马小 定理,格点及其性质,无穷递降法*,欧拉定理*,孙子定理*。 4.组合问题 圆排列,有重复元素的排列与组合,组合恒等式;

组合计数,组合几何; 抽屉原理; 容斥原理; 极端原理; 图论问题; 集合的划分; 覆盖; 平面凸集、凸包及应用*。


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