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2.1.4函数的奇偶性(I)

时间:2013-12-22


2.1.4
【学习要求】

函数的奇偶性(一)

1.理解函数的奇偶性及其几何意义; 2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质; 3.掌握判断函数奇偶性的方法与步骤. 【学法指导】 通过学习函数奇偶性概念的形成过程,加深对函数的奇偶性

[问题情境]

美丽的蝴蝶,盛开的鲜花,六角形的雪花

晶体,

中国的古建筑,我们学校的综合大楼,它们都具有对称的 美. 这种“对称美”在数学中也有大量的反映.今天,让我 们开启知识的大门,进入更精彩纷呈的函数奇偶性的学习.

探究点一 问题 1

奇函数的概念

1 观察函数 f(x)=x 和 f(x)=x的图象(下图),你能发现

两个函数图象有什么共同特征吗?



通过观察,得出两函数图象的共同特征为:定义域关于

原点对称,图象关于原点对称.

问题 2

求当 x 分别取-3,-2,-1,1,2,3 时,函数 f(x)=x 1 的值,及当 x 分别取-3,-2,-1,1,2,3 时,函数 f(x)=x的 函数值,从中你能发现什么规律吗?

答 对函数 f(x)=x 有:f(-3)=-3=-f(3),f(-2)=-2= -f(2),f(-1)=-1=-f(1);
1 1 1 对函数 f(x)=x有: f(-3)=-3=-f(3), f(-2)=-2=-f(2), f(-1)=-1=-f(1).
存在的规律是:两个关于原点对称的 x 的值,其函数值互为 相反数.

问题 3

你能把问题 2 中的由具体的函数值得出的规律扩展到

一般形式吗?

答 对于定义域内任意的一个 x,都有 f(-x)=-f(x).
1.奇函数的定义:设函数 y=f(x)的定义域为 D,如果对 D 内 的任意一个 x,都有-x∈D,且 f(-x)=-f(x) ,则这个 函数叫做奇函数. 2.奇函数的性质:如果一个函数是奇函数,则这个函数的图象 是以 为对称中心的中心对称图形;反之,如果一 问题 4 平面直角坐标系中,点 P(x,f(x))关于原点对称的点 个函数的图象是以 的坐标是什么? 则这个函数是奇函数. 答 (-x,-f(x)). 为对称中心的中心对称图形,

问题 5

若点 P(x,f(x))是奇函数 y=f(x)的图象上的一点,如

何说明点 P(x,f(x))关于原点对称的点 P′(-x,-f(x))也 在函数 y=f(x)的图象上?

答 由奇函数的定义知,对于奇函数 y=f(x)的定义域 D 内 任意一个 x,都有-x∈D,且 f(-x)=-f(x), 即当 x 的值为-x 时,其函数值为-f(x), 所以点 P′(-x,-f(x))也在这个奇函数 y=f(x)的图象上.
问题 6 由问题 5 的讨论, 你能得出奇函数的图象具有怎样的 对称性?具有奇函数图象对称性的函数是否为奇函数? 答 如果一个函数是奇函数,则这个函数的图象是以坐标
原点为对称中心的中心对称图形;

反之,如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中 心对称图形,则这个函数是奇函数.

探究点二 问题 1

偶函数的概念

观察下列函数的图象,你能通过函数的图象,归纳出

三个函数的共同特征吗?

答 三个函数的定义域关于原点对称,三个函数的图象关于 y 轴对称.

问题 2 关于 y 轴对称的点的坐标有什么关系?
答 横坐标互为相反数,纵坐标相等.

问题 3 怎样说明函数 f(x)=x2 的图象关于 y 轴对称?
答 对于 R 上任意的一个 x,都有 f(-x)=(-x)2=x2=f(x), 即函数 f(x)=x2 的图象上任意一点(x,f(x))关于 y 轴对称的点 (-x,f(x))也在函数 y=x2 的图象上.

所以 y=x2 的图象关于 y 轴对称.
问题 4 如果函数 y=f(x)的图象关于 y 轴对称, 我们就说这个 函数是偶函数,类比奇函数的定义,如何定义偶函数?

答 设函数 y=f(x)的定义域为 D, 如果对于 D 内任意一个 x, 都有-x∈D,且 f(-x)=f(x), 则这个函数叫做偶函数.

问题 5


类比奇函数图象的对称性, 偶函数的图象有怎样的对
如果一个函数是偶函数,则这个函数的图象是以 y 轴为

称性质?
对称轴的轴对称图形;

反之, 如果一个函数的图象是以 y 轴为对称轴的轴对称图形, 则这个函数为偶函数.

例 1 判断下列函数是否具有奇偶性: (1)f (x )=x +x 3+x 5;(2)f (x )=x +1; (3)f (x )=x 2+1; (5)f (x )=0. (4)f (x )=x 2,x ∈[-1,3];

跟踪训练 1 判断下列函数是否为偶函数. (1)f(x)=(x+1)(x-1); x3-x2 (2)f(x)= . x-1

小结

(1)对于一个函数来说,它的奇偶性有四种可能:是奇

函数但不是偶函数;是偶函数但不是奇函数;既是奇函数又是 偶函数;既不是奇函数也不是偶函数. (2)用定义判断函数奇 偶性的步骤:①先求定义域,看是否关于原点对称;②再判断 f(-x)=-f(x)或 f(-x)=f(x)是否恒成立.

跟踪训练 2

判断下列各函数的奇偶性:
2 x 2+ 2

?x<-1?, ?x+2 ? 1 ? x ? x ? 1 (1) f( x )(= (1) f(x )= x-2) ; (2)f(x)=?0 ?|x|≤1?, 2-x ?-x+2 ?x>1?. ?

? x ? 2, x ? ?1 ? (2)f (x )= ?0,?1 ? x ? 1 ?? x ? 2, x ? 1 ?

探究点三 函数奇偶性的应用 例 2 如图,

探究点三 函数奇偶性的应用

例 2 如图,

给出了偶函数 y=f (x )的局部图象, 试比较 f (1)与 f (3)的大小

数 y=f (x )的局部图象, 试比较 f (1)与

给出了偶函数 y=f (x )的局部图象, 试比较 f (1)与 f (3)的大小.

1 跟踪训练 3 研究函数 y= 2的性质并作出它的图象. x
解 已知函数的定义域是 x≠0 的实数集,即{x∈R|x≠0}.

由函数的解析式可知:对任意的 x 值,对应的函数值 y>0, 函数的图象在 x 轴上方;

函数的图象在 x=0 处断开,被分成两部分;
f(-x)=f(x),函数为偶函数.

列表、描点,画出函数的图象.
由图象可看出,函数在(-∞, 0)上是增函数,在(0,+∞)上 是减函数.

1.下列函数中不是偶函数的是 A.f(x)=-3x2 f?x?+f?-x? C.f(x)= 2 B.f(x)=3x2+|x| D.f(x)=x2-x+1

( D )

2.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 则 A.f(x)-f(-x)>0 C.f(x)· f(-x)>0 B.f(x)-f(-x)≤0 D.f(x)· f(-x)≤0

( D )

3.如果偶函数 f(x)在区间[-5, -2]上是减函数, 且最大值为 7, 那么 f(x)在区间[2,5]上是 A.增函数且最小值为-7 B.增函数且最大值为 7 C.减函数且最小值为-7 D.减函数且最大值为 7 ( B )

1.两个定义:对于 f(x)定义域内的任意一个 x,如果都有 f(-x)=-f(x)?f(-x)+f(x)=0?f(x)为奇函数;如果都有 f(-x)=f(x)?f(-x)-f(x)=0?f(x)为偶函数. 2.两个性质:函数为奇函数?它的图象关于原点对称;函数为 偶函数?它的图象关于 y 轴对称.


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