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有用的数学思想方法和运算技能总结


有用的数学思想方法和运算技能总结

一 运算技能
1 两式子相减技能;不仅用在圆锥曲线问题中,有时也用在导函数问题中。(见"2015 广东天 利高考模拟试卷解"第 20 套和 29 套第 21 题,)。

2

两元分式齐次式变一元函数技能,如

x 21 ? 2 x 2

2 x 21 ? 3 x 2 2

x 21 ?2 2 t2 ? 2 x 2 ? 2 ? 2 ; x1 t ?3 ?3 ;(见"2015 广东天 x22

利高考模拟试卷解第 29 套第 21 题,)。

3































f (? ( x)) ? f ( g ( x)),f ( x)是增函数,则有 ? ( x) ? g ( x).

二 数学方法
1 先列举,后分析 当问题比较复杂时,常常得把遇到所有条件完全列出来后,再进行整体分析,从而找到解 决问题的方法;所有条件等式写出之后,可注意它们之间的联系,若自己的方法不仅解决问 题时, 或者简单基础方法不能解决问题时, 就要注意是否忘记利用技巧方法或者忘记化简从 而阻碍了解题进程,比如: (1)两式子相减(或两式子进行其它四则运算) 。 (2)是否该化简的没有化简?化简包括:通过基本代数运算去化简,特别注意是否能提 取公因式、是否能通过函数增减性进行化简、是否通过已有的公式进行化简、是否通过把一 个式子令为单个变量从而使问题简化(特别当一个式子重复出现时,更注意这样做。当然有 时不需要令这个式子为单个变量,只要注意运算时不把这个式子拆开就行。 ) 。 (3)利用一个块式子的整体值(包括最优利用整体值)去求另外一个式子的值; (4)即使不从化简角度,能注意观察式子的结构,通过观察不同式子中不同部分间的共 同因式而结合提取,从而改变原式子结构,找到解决问题的突破口。如天利 23 套第 21 题最 后一问的证明。当然此题也可用基本题型方法:含有两个变量的不等式,可把一个变量看成 常量(通常不失一般性,对两个变量 x 和 y,可设 x>=y) ,然后通过求导和函数增减性来解

决问题。 ) 。 注意化简问题时,那么即使是问题的部分得到了简化,也对问题的解决很有帮助。比如, 对如下的函数 F(x),为求 x 趋近 0 时 F(x)的趋近值,就需要对 F(x)做如下变形; F(x)=

e x ? 1 ? x ln x e x ? 1 ? ? ln x; x x

2 遇到 x1、x2 问题等式或不等式,常常考虑如下方法之一的利用: (1)两元齐次式变一元函数技能; (2)f(x1)与 f(x2)的比较或相等问题; (3)引入两个函数进行相应处理,通过各自的增减性进行处理判断。如下面式子

f ( x ) g ( x1) ( 若有式子 1 ? ( x1? x 2 ), 但f ( x)和g ( x)的 增 减 性 相 反 , 则 子 该不 式成 立 。 f (x2 ) g(x2 )
见"2015 广东天利高考模拟试卷解第 20 套第 21 题。当然,这里面还包含一个思想:结构趋 同数学思想,从而通过变形使式子中不同部分都出现变量倒数)。


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