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2014届高三数学(文)一轮总复习空间几何体的表面积和体积




节 空间几何体的表面积和体积

基础自主梳理

考向互动探究

最新考纲 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的 计算公式.

1.圆柱的底面积为 S,侧面展开图是一个正方 形,那么圆柱的侧面积是( A ) (A)4π S (C)π S (B)2π S

/>2 3πS (D) 3

解析:由πr =S 得圆柱的底面半径是 S ,
π

2

故侧面展开图的边长为 2π· S =2
π

πS

,

所以圆柱的侧面积是 4πS,故选 A.

2.(2013 成都市高三摸底测试)若某空间几何体 的三视图如图所示,则该几何体的体积是( C )

(A)15 (C)30

(B)20 (D)60

解析:由三视图可知,该几何体为底面是直角 三角形的直三棱柱,且高为 5,

1 ∴V= ×3×4×5=30.故选 C. 2

3. 已知四棱锥 P ABCD 的底面是边长为 6 的正方形, 侧棱 PA⊥底面 ABCD,且 PA=8,则该四棱锥的体积 是 .
2

1 1 解析:V 四棱锥= Sh= × × 6 8=96. 3 3
答案:96

4.一个球与一个正方体的各个面均相切,正方 体的边长为 a,则球的表面积为 .

a 解析:由题意,球的半径 R= , 2 2 ?a? 则球的表面积 S=4π R =4π ? ? =π a . ?2?
2 2

答案:π a

2

1.多面体的表面积 因为多面体的各面都是平面图形,所以多面体的表 面积就是各个面的面积的和,即展开图的面积. 2.旋转体的表面积

质疑探究:将圆柱、圆锥、圆台的侧面沿任意一 条母线剪开铺平分别会得到什么图形? 提示:矩形、扇形、扇环.

3. 几何体的体积 (1)柱体的体积 设棱(圆)柱的底面积为 S,高为 h,则体积 V=Sh . (2)锥体的体积 设棱(圆)锥的底面积为 S,高为 h,则体积

1 V= Sh . 3

(3)台体的体积 设棱(圆)台的上、下底面面积分别为 S',S,高为 h,则体积 V= 1 (S'+ S ?S +S)h.

3
(4)球体的体积

4 3 设球半径为 R,则球的体积 V= πR . 3

几何体的表面积 【例 1】 如图是一个几何体的三视图,根据图 中数据,可得该几何体的表面积是( )

(A)9π

(B)10π

(C)11π

(D)12π

思维导引:根据三视图找出该几何体的结构 特征,由什么组合而成,再根据相应的表面积 公式即可求出. 解析:从题中三视图可以看出该几何体是由 一个球和一个圆柱体组合而成的,其表面积 为 S=4π×1 +π×1 ×2+2π×1×3=12π. 故选 D.
2 2

思考探究:若例 1 的三视图中刻度都未给出, 只是已知正视图和俯视图的面积分别为π+6, π,那么该几何体的表面积是多少? (提示:12π)

(1)以三视图为载体考查几何体的 表面积,关键是能够对给出的三视图进行恰当的 分析,从三视图中发现几何体中各元素间的位置 关系及数量关系. (2)多面体的表面积是各个面的面积之和;组合 体的表面积应注意重合部分的处理. (3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面,计算侧面积 时需要将这个曲面展为平面图形计算,而表面积 是侧面积与底面圆的面积之和.

变式训练 1-1:(2013 绵阳南山中学高三月考) 有一个几何体的三视图及其尺寸如图所示(单 位:cm),则该几何体的表面积为( )

(A)12π cm (C)24π cm

2 2

(B)15π cm (D)36π cm

2 2

解析:由三视图可知,该几何体为底面半径为 3 cm 的圆锥,∴S 表 =π×3 +π×3×5 =24π cm .故选 C.
2 2

几何体的体积 【例 2】 (2012 年高考新课标全国卷)如图,网格 纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体 的三视图,则此几何体的体积为( )

(A)6

(B)9

(C)12

(D)18

思维导引:由三视图想象出几何体的直观图, 由直观图求得体积.

解析:由三视图可推知,几何体的直观图如图 所示,可知 PC⊥平面 ABC,AB=6,CD=3,PC=3,CD 垂直平分 AB,其中俯视 图的面积即三棱锥的 底面积,故所求几何体 的体积为

? ×3=9.故选 B. 1 ×? 1 ? ? 6 ? 3? 3 ?2 ?

(1)求几何体体积的思路 ①若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱 体、锥体或台体,则可直接利用公式进行求解; ②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式 得出,则常用转换法、 分割法、 补形法等方法进 行求解.

③若以三视图的形式给出几何体,则应先 根据三视图得到几何体的直观图,然后根 据条件求解. (2)柱体、锥体、 台体的体积公 式之间的关系, 可表示为

变式训练 2-1:(2013 重庆一中高三月考)一个棱 锥的三视图如图所示(单位:m),则该棱锥的体积 是 m .
3

解析:由三视图可知,该棱锥的直 观图如图所示, 侧面 SAB⊥平面 ABC,SD=2,CD=2.

1 1 4 ∴v= × ×2×2×2= 3 2 3 4 答案: 3

m .

3

折叠与展开问题 【例 3】 如图,在三棱柱 ABC A'B'C'中,△ABC 为等边三角形, AA'⊥平面 ABC, AB=3,AA'=4,M 为 AA'的中点, P 是 BC 上一点,且由 P 沿棱柱 侧面经过棱 CC'到 M 的最短 路线长为 29 ,设这条最短 路线与 CC'的交点为 N,求

(1)求几何体表面上两点间的最短距离的 方法 常用方法是选择恰当的母线或棱将几何体 展开,转化为求平面上两点间的最短距离.

(2)解决折叠问题的技巧 解决折叠问题时,要分清折叠前后两图 形中(折叠前的平面图形和折叠后的空 间图形)元素间的位置关系和数量关系 哪些发生了变化,哪些没有发生变化.

变式训练 3 1:将边长为 a 的正方形 ABCD 沿 对角线 AC 折起,点 A、B、C、D 折叠后对应 点 A'、B'、C'、D',使 B'D'=a,求三棱锥 D' A'B'C'的体积. 解:如图所示正方形 ABCD 及折叠后直观图.

易知在直观图 中, B' C' D ' ' =a, A' =B' =C' =D A' 且 A' ' ' , B ' D ⊥D C' A' ⊥B' ' C, 取 A' C'中点 E , 连接 D ' , E , E B'
2 则 D ' ⊥A' D ' =E B' E C', E = a, 2

∴D ' ⊥E B' ∴D ' ⊥平面 A' C' E , E B' . D ' 即为三棱锥 D ' A' C' E B' 的高.

1 故 VD ? ? A?B ?C ? = S 3

△A' ' ' BC

·D ' E

2 1 1 = × × a× a× 2 3 2

a=

2 12

a.

3

【例 1】 一个正三棱台的上、下底面边长分
3 别是 3 cm 和 6 cm,高是 cm. 2

(1)求三棱台的斜高(侧面梯形的高); (2)求三棱台的侧面积和表面积.

解:(1)设 O1、O 分别为正三棱台 ABC A1B1C1 的上、下底面正三角形的中 心,如图所示,

3 则 O1O= ,过 O1、 分别作 A1D1⊥B1C1,AD⊥BC, O 2

垂足分别为 D1、D,连接 D1D,则 D1D 为三棱台 的斜高;
3 过 D1 作 D1E⊥AD 于 E,则 D1E=O1O= . 2 3 3 3 因 O1D1= ×3= ,OD= ×6= 3 , 6 2 6

3 3 则 DE=OD-O1D1= 3 - = . 2 2

在 Rt△D1DE 中, D1D= D1E ? ED =
2 2

?3? ? 3 ? ? ? ? ?? ?2? ? 2 ? ? ?
2

2

= 3 (cm).

故三棱台的斜高为 3 cm.

(2)设 C、C'分别为上、下底的周长,h'为
1 斜高,S 侧= (C+C')h' 2 1 = (3×3+3×6)× 3 2
27 3 2 = (cm ), 2

27 3 3 3 2 2 S 表=S 侧+S 上+S 下= + ×+ 3 × 6 2 4 4 99 3 2 = ( ) cm . 4 27 3 2 故三棱台侧面积为 cm , 2 99 3 2 表面积为 cm . 4

【例 2】有一个倒圆锥形容器,它的轴截面 是一个正三角形,在容器内放一个半径为 r 的铁球,并注入水,使水面与球正好相切, 然后将球取出,求这时容器中水的深度. 解:如图所示,作出轴截面, 因轴截面是正三角形, 根 据切线性质知当球在容 器内时,水的深度为 3r,

水面半径 B C 的长为 3 r, 则容器内水的体
π 4 π 3 5π 3 2 积为 V=V 圆锥-V 球= ( 3 r) ·3r- r = r , 3 3 3

将球取出后, 设容器中水的深度为 h,
3 则水面圆的半径为 h, 3

从而容器内水的体积为
π V' = 3

? 3 ? π 3 ? h ? h= h , ? 2 ? 9 ? ?

2

由 V=V'得 h= 3 15 r. ,

关于球的切割问题 【典例】(12 分)在四棱锥 P ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 a 的正方形,PD⊥底面 ABCD,且 PD=a,PA=PC= 2 a,若在这个四棱锥内放一球, 则此球的最大半径是 .

满分展示:当球内切于四棱锥,即与四棱锥各 面均相切时球半径最大,…………………2 分 设球的半径为 r,球心为 O, 连接 OP、OA、OB、OC、OD,

则把此四棱锥分割成四个三棱锥和一个四棱 锥,这些小棱锥的高都是 r,底面分别为原四棱 锥的侧面和底面,
1 则 VP ? ABCD = r(S△PAB+S△PBC+S△PCD+S△PAD+S 正方形 ABCD)= 3 1 2 r(2+ 2 )a .………………………5 分 3

由题意,知 PD⊥底面 ABCD,……………6 分
1 1 3 ∴ VP ? ABCD = S 正方形 ABCD·PD= a .………8 分 3 3 1 2 1 3 由体积相等,得 r(2+ 2 )a = a ,……10 分 3 3 1 解得 r= (2- 2 )a.12 分 2 1 答案: (2- 2 )a 2

序化流程 第一步:判断球与四棱锥 处于何关系时,球半径最 大; 第二步:当球内切于四棱 锥时,利用四棱锥的体积 等于以球心为顶点的多个 三棱锥与四棱锥的体积之 和列等式; 第三步:求该四棱锥 P-ABCD 的体积; 第四步:解方程求得半径 r

失分警示 该题造成出错的原因 (1)个别考生不知道只有 当球与该四棱锥相切时 半径最大; (2)不知道如何建立球半 径 r 与四棱锥体积之间 的关系; (3)计算上的差错; (4)答题不规范,漏写得 分点导致不能得满分

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