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一道国际循环赛题的加强与拓广

时间:2012-08-24


依 正弦 定理 有
O‘
BG
s s

.

OB

_

in
in

乙 1 D H _ s ln 艺 3 , s , 艺 万 万 一 i n 之2 万
_ 一 。i n

二 0 1

OD OJ
,

.

特 别地

当O 为
,



筝形


,

对 角线 交 点 时
,

OE
.

力云

~

=
o

匕1 , B F 扩 舀万 诬 石 丁 之
s

in

艺4 , 石石 奋 之
OE D E
. 0

有O B
题三
. 。



OD

因 此 有0 1
,

O J

这 就是 竟赛

O G
,

二B G



DH OH

5

in
in
o

5

艺1 匕2
BF

_

BF OF




值 得 注 意的 是

当 O 点 在 B D 延长 线 上


OG OE
S

OF OH
_


BG

0

D E

n E月

0

DH

一>


s ‘o

。。

S ‘二 。,
S
△刀

时 上 述 结 论 仍成 立

若将



筝 形 ” 刁B C D
,

S 。 。E H O J


H E

换为圆

,

题 三 便成 为著 名 的 蝴 蝶 定 理

S 吞 。‘ F
八 刀 ‘F

。 0 1 万 匕彭 塑旦 = 争 入

一 百 了 工汀

,



道 国 际 循环 赛题 的加 强 与 拓 广

熊光 汉
命题
a

.

熊寅
,

(湖 北 恩 施市 教 研室 )

如果
+
-

a
_



b



c

都是 正数
a


.

一 竺一 一

b



c Z
;




兰一 一 十 一

沙十

c

c

十a

a

立b ) 十

+

上匕二竺 ‘二二

b

+

e

-

同理 有
.

b
C
.



_

(b

一 a
C

) (b
+


一 e

)
,

2

( 1 )
-

+ 口
~




e
a

4b ~
2

e

一 a

( 这 是 { 友谊 8 》 国 际 中学 生 数 学 循 环 赛

试 题 十年 级 第



1



.

(见文 ( I ))


本文 从 两

+

个 方 面 对该 题 作进 一 步 的探 讨
不 等式 的加 强
1 )
.


_

4

么 (e 一 a ) 十 代 丁一 , 一二 一 ; C 4 气 + Q 少





L口 ,
e 一 a 一

(c

一 a
a

6

) (c + b
,



b)

.

4



b
,





(a



一 几 了 4LO + O )

丁丁

b ):

我 们 把不 等 式 (
其 结 构 体 现 出对 称 美

加 强 为如下 结果
,

,

由 (A ) + (B ) + (C ) 得
a :


~

4

。、

l

.



如果
a
2

a



b
b
C
2
.



e
.

都 是正 数
e Z a


+


+
e


+ C

.



b
C

2

e 口

2

+

+

_

(a



b )(a
b
+
c

一 e

)

a +
e

b





,

a

b
4 L

+

c



(b ‘ 生「 一 )
b
+
c

— —

a



证明

不 失一 般 性
4
.

于 是有
a


— ——
十b




b
2




, .


(b
a

一 a
C

) (b 一
+
c

)

(a
)

一 e
a

.

)(b
+

一 e

) )“


(e

一 a

)

2

.

(a



b)




1





C

+ 口



Q + a

J

1

、 ‘ 少 c



,

设 > b)
(b
_

>


0

.



b
+

+ c

L口 十 C
a 一

f 其
b
4
一 c

a 一

b
4

一 e

一 c

)
_

4 (b
~

+ c

)




+

4
+

b

2 c 了户 一 、 .

2 1

—十 ( ) 卜 号兰 告 恶 守 缸
O +
e L 、


个 一 , 二二

(b

一 e
.

一 一产 4 仁 + c ) O

)之

=

l

r/

. t U





万 万 干
+

a ‘ 6, ‘ 一

一,



~

些二


(刀 )

b

+

— —— — — ——
I


+

a

b

b

+

.

2



一丁 .

1 [ (b
4 L

一 e

(c
b)

一 a
C +

O + C
:





~



e

L 、 么 U 夕

,

Q 十 O

. = J

I

(

a 一

b) (
e

a

+

(b

+

)(c
+

+ a

)

(

a



c

a

)(b + b
e

一 c

)

a



b
2

十c

2

—L 4

1 f( 一 吞
I

):

工 ~

~



、‘

b

+

c



e w

U j

(a



b)

2

1
里 」
.

C


,





G

+ O

a c 由于 > b 》 >
.

O

因此有

b

Z



e



e

+

a

琪毕)
口 十 口

旦土互
(a


丝 乙

Q 十

-

+

(b 一 c ) 4 (b + e )
2

工 f些 二 业 生 十
r

(e

一 a
C

)




b)


2

1
1

.

4 L

;

b

+

e

当且仅 当

a 二

— — 等式 成 立 时
+

b

二 c

32








不 等式 的 拓 广
1 )

我们将 不 等 式 ( 式:
? 价
咭 卜 汀


拓广 为 如下 一 般 形




.

其 结构 体 现 出 谐 调 美


(。一 1 )

“’一 “



如果
a
-

a ‘

〔R
.

+ ,

(公=
a

1
.

,

2


,

‘ ? ?



,

:

)

,

分 了 下) 么 州
“ ‘一 “ a

:
石 一

:

.










。 ‘?





a

一 。


,
_


十 一丽 一 一


.

久一









-

“ “




a
:




(‘

一 }百 丫一 么 \
“‘

/



一 十





“ ‘



a ‘一 “ ’

l
1了 一

弓 乡



1 ‘曰




a



( 3 )

份 群立 今 云 袱

a *



“‘ 一 “ ?

)
a


.

证明

由柯 西不 等 式 得
?
Q
、 . /、


二。

a
.





I(乡 ) ( 象 一 一
+

以 下丁一
+




a ‘一 “ ’



一十

下丁

E
-


_



+

a ‘一 。 :

(只
E
一 宕

a ‘一

“?

)l
?
?

+

+
a ‘一 1 a Z

,




E
a 、一 a





‘夕


1
几 一— 1




)
_



‘.



:

-

当 且仅 当
,

a : 二 a





二 a



时 等 式 成
。 二


?

显然

在不 等 式 (
1 )


3 )

中取

3

,

便得

希 可 和

+

到 不等 式 (
a ‘一 “




参 考 资料
〔〕 1
《 学 生 数 学》 9 9 1 0 中
.

汀 弓

“; 一 “ 2



)

a


0 2

年第

.

1

期 即。



《 友



直 丫

8

》国 际 中 学数学 循 环 赛 试 题

口 ‘一



类 存 在 性 河 题 的 证 明
侯 作 奎
( 湖北 恩施 教师进 修学 校 ,
,

已 知 有 限 个 有界 变 量 ( 元 素 )

证 明 存在
,

每个

。i n

、 s 匕 A 尸 B 满 足 l i n 匕 A 尸 B !《 1
:

,

某 些 有 界 量 满 足 有 关不 等 式

:

.

其 证法 是 典 型
,

, f= 1

2,

3

,

4



即 由这 些 变 量 的 个 数 和 界
.

构 造抽 屉

O 由于 有 4 个 正 弦 值 故把 区 间 〔
,

,

1〕 分 等

利 用 抽屉原 理 来 达 到证 明 目 的
说 明 其 具体 作 法 例 点A 证
:




下 面 举例 来



3

个子 区 间 ( 即


3

个抽屉 )



侮 个子 区 间
至 少有
.

的 长度 为 含
;


1

(7 8

年福 州 竟 赛试 题 ) 平 面 上 有定

2


由抽 屉原 理 知

选个正 弦值 中,
,

2

B 和任 意 四 点 尸


‘、

3





‘。


,

这 四 个 点 中 至 少有 两 点 尸




,

“牛 j )
.

‘ n 使 卜i 乙 刁 尸 B

i s

n

乙A
i s
n

尸, B

!( 含




考 虑 元 素

‘ 匕姓 尸 B

显 然

个 正 弦 值 在 同一 区 间内 故 s ‘ , { i 乙 A 尸 B 一 s i n 乙 A 尸 B !《 含 n 此 例 虽 然 简 单 但 已 充 分表 明 : 变 量 的 界和 个 数 是制 造 抽屉 的 先决条 件 如 果 变 量
,
.


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