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2016-2017《创新设计》同步人教A版选修2-1 2-2第一章1.6

时间:2017-10-09


第一章 导数及其应用

§ 1.6 微积分基本定理

学习 目标

1.了解导数和微积分的关系. 2.掌握微积分基本定理. 3.会用微积分基本定理求一些函数的定积分.

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知识梳理

自主学习

知识点一
?bf(x)dx ? ?a

导数与定积分的关系

等于函数 f(x)的任意一个原函数 F(x)(F′(x)=f(x))在积分区间[a,b]

上的改变量 F(b)-F(a) .

以路程和速度之间的关系为例解释如下: 如果物体运动的速度函数为v=v(t),那么在时间区间[a,b]内物体的位
b ? s = 移s可以用定积分表示为 ? v(t)dt .

另一方面,如果已知该变速直线运动的路程函数为s=s(t), 那么在时间区间[a,b]内物体的位移为 s(b)-s(a) ,
答案

?a

b 所以有? v(t)dt=s(b)-s(a). ? ?a

由于s′(t)=v(t),即s(t)为v(t)的原函数,这就是说,定积分 被积函数v(t)的原函数s(t)在区间[a,b]上的增量 s(b)-s(a) .

?bv(t)dt ? ?a

等于

答案

cx

ln x(x>0) ex

答案

知识点二
?bf(x)dx ? ?a

微积分基本定理

一般地,如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且 F′(x)=f(x) ,那么 = F(b)-F(a) .

思考

(1)函数f(x)的原函数F(x)是否唯一?

答案 不唯一.
(2)用微积分基本定理计算简单定积分的步骤是什么?

答案

①把被积函数f(x)变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数

等初等函数与常数的和或差;

②用求导公式找到F(x),使得F′(x)=f(x);
③利用微积分基本定理求出定积分的值.
答案
返回

题型探究

重点突破

题型一

求简单函数的定积分

例1 计算下列定积分.
2 (1)? ? 3dx; ?1

解 因为(3x)′=3,
?2 ? 2 所以? 3d x = (3 x ) ? ? ?1 ?1

=3×2-3×1=3.

解析答案

2 (2)? ? (2x+3)dx; ?0



因为(x2+3x)′=2x+3,
=22+3×2-(02+3×0)=10.

?2 ? 2 2 ? 所以? (2x+3)dx=(x +3x)? ?0 ?0

3 ? (3) ? (4x-x2)dx; ? 1 - 3? ? x ? 2 ? 解 因为?2x - 3 ?′=4x-x2, ? ? 3??3 ? x? ? 2 3 2 ? 所以? (4x-x )dx=?2x - 3 ?? ? ??-1 ? 1 - 3? 3? ? ? ? - 1 ? 3 20 ? ? 2 2 ?= . =?2×3 - 3 ?-?2×?-1? - ? ? 3 ? 3 ?
解析答案

5 2 (4)? ( x - 1) dx. ? ?1
?1 ? ? 6? 因为?6?x-1? ?′=(x-1)5, ? ?



5 2 所以? ( x - 1) dx ? ?1 2 ? 1 6? =6(x-1) ? ?1

1 1 1 6 6 =6(2-1) -6(1-1) =6.
反思与感悟 解析答案

跟踪训练1

求下列函数的定积分:

? ? 1 ?2 2? x + (1)? ? dx; ? ? x ? ?1?



? ? ? ? 1 1 ? ? ? 2 2 ?2?x+ ? dx=?2?x +2+ 2? ?dx ? ? ? x x ? ? ?1 ?1?

2 2 2 21 ? ? ? =? x dx+? 2dx+? x2dx ?1 ?1 ?1

2 ? 1 3? =3x ? ?1

?2 + 2x? ? ?1

? 1? ? +?-x ? ? ? ?

?2 ? ? ?1

?1 ? 1 29 ? ? 3 3 =3×(2 -1 )+2×(2-1)-?2-1?= 6 . ? ?
解析答案

9 (2)? x(1+ x)dx. ? ?4



?9 ? ?4

x(1+ x)dx

9 =? ? ( x+x)dx ?4 ?2 =? ? x ?3 ?9 1 2? ? x+2x ? ?? ??4

?2 ? ?2 ? 1 1 ? ? 2? 2? =?3×9×3+2×9 ?-?3×4×2+2×4 ? ? ? ? ?

271 = 6 .
解析答案

题型二

求分段函数的定积分

例2

3 ? ?x ,x∈[0,1?, ? 2 求函数 f(x)=?x ,x∈[1,2?, ? x ? ?2 ,x∈[2,3]

在区间[ 0,3] 上的定积分.

反思与感悟

解析答案

跟踪训练2
?0

求下列定积分:

2 2 (1)? ? |x -1|dx;
2 ? ?1-x ,0≤x<1, 2 ∵y=|x -1|=? 2 ? ?x -1,1≤x≤2,



2 2 ?1(1-x2)dx+?2(x2-1)dx ∴? | x - 1|d x = ? ? ? ?0 ?0 ?1

3??1 ? x ?? ? =?x- 3 ?? ? ??0

?x3 ??2 ? ?? - x +? 3 ?? ? ??1

? ?8 ? ?1 ? 1? ? ? ? ? ? =?1-3?+?3-2?-?3-1? ?=2. ? ? ? ? ? ?
解析答案

π ? (2) ?2 1-sin 2xdx. ? ?0

解析答案

题型三
例3


定积分的简单应用
?0

2 2 1 已知 f(a)=? (2 ax - a x)dx,求 f(a)的最大值. ?
?2 1 2 2? ? 3 2 2 ∵?3ax -2a x ? ′ = 2 ax - a x, ? ? ?

?2 ??1 1 ? 3 2 2?? 2 2 1 ax - a x ∴? (2 ax - a x )d x = ? ?? ? 3 2 ? ??0 ?0

2 1 2 =3a-2a ,

4 4? 2? 2 1 2 1? 2 1? 2 ? 2 ? ? ?2 即 f(a)=3a-2a =-2?a -3a+9?+9=-2?a-3? +9, ? ? ? ?

2 2 ∴当 a=3时,f(a)有最大值9.
反思与感悟 解析答案

跟踪训练 3

?1f(x)dx 已知 f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 且 f(-1)=2, f′(0)=0, ? ?0

=-2,求 a、b、c 的值.



由f(-1)=2,得a-b+c=2.

① ②

又f′(x)=2ax+b,∴f′(0)=b=0,
1 ?1 (ax2+bx+c)dx 而? f ( x )d x = ? ? ?0 ?0
1 ? ?1 ? 1 2 ? ? 3 =?3ax +2bx +cx? ?? ? ??0

1 1 =3a+2b+c,

1 1 ∴3a+2b+c=-2,



由①②③式得a=6,b=0,c=-4.
解析答案 返回

当堂检测
π cos 2x ? 1.?4 dx 等于( C ) ? cos x+sin x ?0

1

2

3

4

5

A.2( 2-1) C. 2-1

B. 2+1 D.2- 2

解析
?πcos ?0
2

结合微积分基本定理,得

x-sin2x ?π ?π ? dx=?4 (cos x-sin x)dx=(sin x+cos x)?4 = 2-1. 4 cos x+sin x ?0 ? ?
?0

解析答案

1

2

3

4

5

2.下列定积分的值等于1的是( C )
1 A.? ? xdx ?0 1 B.? ? (x+1)dx ?0 11 ? D.? 2dx ?0
1 ? ? ? 1 1 ?1 ?? 2 x + x =2,? (x+1)dx=? ? ?? 2 ? ??0 ?0

1 C.? ? 1dx ?0

解析

1 ? 1 ?1xdx= x2? ? ? 2 ?0 ?0

1 3 =2+1=2,

?1 ?11dx=x? ? ? ?0 ?0

1 ? 1 ? 11 ? =1,? 2dx=2x? ?0 ?0

1 =2.故选 C.
解析答案

1

2

3

4

5

? ? 2 ? ? 2 2 x - x 3.? ?dx= ? ? 3 ? ?0?

4 3

.

解析
2

? ? 2 ? 2 2 2 22 ?2?x - x? ? ? ?dx=? x dx-? xdx ? ? 3 3 ? ?0 ?0 ?0
2

2? x3? x 8 4 4 ? ? = 3 ? - 3 ? =3-3=3. ?0 ?0

解析答案

1

2

3

4

5

2 17 ? x + 1 , 0 ≤ x < 1 , ? 2 6 . 4.设函数 f(x)=? 则? ? f(x)dx= ? ?0 ?3-x,1≤x≤2,

解析

?2f(x)dx=?1(x2+1)dx+?2(3-x)dx ? ? ? ?0 ?0 ?1
2??2 ? x ?? 3 x - +? ? ? 2? ? ??1

?x3 ??1 ?? + x =? ? ?? ?3 ??0

17 =6.

解析答案

1

2

3

4

5

5.已知函数

6 6 ? ? f(x)为偶函数,且? f(x)dx=8,则? ?0 ? 6 -

f(x)dx= 16 .

解析
?0

因为函数f(x)为偶函数,
? 6 - ?0

6 ?6 f(x)dx=2?6f(x)dx=16. 且? f ( x )d x = 8 ,所以 ? ? ?

解析答案

课堂小结 1.求定积分的一些常用技巧

(1)对被积函数,要先化简,再求积分.
(2)若被积函数是分段函数,依据定积分“对区间的可加性”,分段积

分再求和.
(3)对于含有绝对值符号的被积函数,要去掉绝对值符号才能积分.

2.由于定积分的值可取正值,也可取负值,还可以取0,而面积是正值,
因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之

和,而是在x轴下方的图形面积要取定积分的相反数.
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