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面面垂直判定定理


复 习
1.线面垂直的定义
如果直线 l 与平面?内的任意一条直线都 垂直,则称直线 l 和平面? 互相垂直. 记作:l⊥?

2.线面垂直的判定定理

一条直线与一个平面内的两条相交 直线都垂直,则该直线与此平面垂 直.

1 二面角及二面角的平面角

(1)半平面: 平面的

一条直线把平面分 为两部分,其中的每一部 分都叫做一个半平面。 (2)二面角:从一条直线出发的两个半 平面所组成的图形叫做二 面角。
α

l

l

二面角的画法及其表示方法
A 直 立 式

?
l

平卧式

?

?

B

?

二面角?-AB- ?
C

二面角?- l- ?

B

D

二面角C-AB- D

A
5

(3)二面角的平面角—

过二面角棱上任一点在两个 半平面内分别作垂直于棱的射线, 则这两条射线所成的角叫做二面角 的平面角。
。 O 。

B B

O 。

B

A
A A
β

O1 。 A1 α

B1 β

α

①二面角的平面角与点(或垂 直平面)的位置无任何关系,只与二 面角的张角大小有关。 ②二面角就是用它的平面角来度量的。 一个二面角的平面角多大,我们就说 这个二面角是多少度的二面角。 以二面角的棱上任意一点为端点, 在两个面内分别作垂直于棱的两条 射线,这两条射线所成的角叫做二 面角的平面角。

二面角的平面角必须满足:
二 面 角 的 平 面 角

1)角的顶点在棱上 2)角的两边分别在两个面内 3)角的边都要垂直于二面角的棱
?
A ? A O ?

l
O B

? B

哪个对?怎么画才对?
10

1.定义法 二 根据定义作出来

?
A l

? 面 B O 2.垂面法 角 作与棱垂直的平面与 的 ? l ? 平 两半平面的交线得到 O 面 3.垂线法 B γ A 角 A ? 的 作 法
Dl O
?
12

(4)二面角的范围

[0 ,180 ]
A





(5)直二面角 平面角为直角的二面角 叫做直二面角

归纳:求二面角大小的步骤为:
(1)找出或作出二面角的平面角;

(2)证明其符合定义(垂直于棱);
(3)计算.

O

B

问题:
如何检测所砌的墙面和地面是否垂直?

两个平面互相垂直的意义

两个平面相交,如果它们所成的二 面角是直二面角,就说这两个平面 相互垂直.
?
?

?
记作:

?

? ??

猜想:
如果一个平面经过了另一 个平面的一条垂线,那么这两 个平面互相垂直.

面面垂直的判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一 条垂线,那么这两个平面互相垂直

l ?α? l 符号表示: ? ?α?β ? B l ?β ? ?
A 线线 垂直 线面 垂直

C D

面面 垂直

例1:A是ΔBCD所在平面外一点,AB=AD ∠ABC=∠ADC=90°,E是BD的中点, 求证:平面AEC⊥平面ABD

A

B

C

E D

例2、已知直线PA垂直于?O所在的平面,A为垂足, AB为?O的直径,C是圆周上异于A、B的一点。 求证:平面PAC?平面PBC;
P

判定定理: 要证两个平面垂直, 只要在其中一个平面内找到
O
B

C
A

另一个平面的一条垂线。

例3.如图所示,在Rt△ABC中,∠B=90,P 为△ABC所在平面外一点,PA⊥平面ABC, 问:四面体PABC中有几个直角三角形?
解:因为PA⊥平面ABC,所以:
PA⊥AB,PA⊥AC,PA⊥BC。 所以△PAB, △PAC为直角三角形。 又PA⊥BC,AB⊥BC,且PA∩AB=A, 所以,BC⊥平面PAB。 A 又PB 平面ABC,于是BC⊥PB,
B C P

所以△PBC也是直角三角形。
所以四面体中四个面都是直角 三角形。

例4:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,

平面ACC1 A1 ? 平面A1BD 求证:
D1 A1 D B1 C C1

.

A

B

练习.在正方体ABCD-A1B1C1D1中 (1)求二面角D1-AB-D的大小 (2)求二面角A1-AB-D的大小
D1 A1 B1 C1

D C A B

一般地,如果两个平面所成的二面角是直二面角,我 们就说这两个平面互相垂直。

课堂练习: 一、判断: 1.如果平面α内有一条直线垂直于平面β 内的一条直线,则α⊥β.( ) × 2.如果平面α内有一条直线垂直于平面β 内的两条直线,则α⊥β.( ) ×

3. 如果平面α内的一条直线垂直于平面β内 √ 的两条相交直线, 则α⊥β.( ) 4.若m⊥α,m β,则α⊥β.( ) √


二、填空题:

无数 1.过平面α的一条垂线可作_____个平面 与平面α垂直. 无数 2.过一点可作____个平面与已知平面垂直

一 3.过平面α的一条斜线,可作____个平 面与平面α垂直. 一 4.过平面α的一条平行线可作____个平 面与α垂直.

归纳小结:
(1)判定面面垂直的两种方法: ①定义法 ②根据面面垂直的判定定理 (2)面面垂直的判定定理不仅是判定两个平面

互相垂直的依据,而且是找出垂直于一个平

面的另一个平面的依据;
(3)从面面垂直的判定定理我们还可以看出面

面垂直的问题可以转化为线面垂直的问题来
解决.


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