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§2.3 条件概率与独立事件

时间:2015-06-10


高二数学 选修1-2

条件概率与独立事件

知识回顾 1.古典概型的概念

1)试验的所有可能结果(即基本事件)只 有有限个,每次试验只出现其中的一个结 果;2)每一个结果出现的可能性相同。
2.古典概型的概率公式
事件A包含的可能结果数 m P( A) ? ? 试验的所有可能结果 n


问题1:

100个产品中有93个产品的长度合格, 90个产品的质量合格,85个产品的长度、 质量都合格。现在任取一个产品,若已

知它的质量合格,那么它的长度合格的
概率是多少?

分析:

在集合中,“都”代表着“交”,则A、 B同时发生为A∩B。 {产品的长度合格} A=

B={产品的质量合格}

100个产品中有93个产品的长度合格,90个产 品的质量合格,85个产品的长度、质量都合格。现 在任取一个产品,若已知它的质量合格,那么它的 长度合格的概率是多少?

{产品的长度、质量都合格} A∩B=

任取一个产品,已知它的质量合格(即B发生), 则它的长度合格(即A发生)的概率是 85 。 90 考虑: 这个概率与事件A、B的概率有什么关系么?
93 90 85 P( A) ? , P( B) ? , P( A ? B) ? 由已知可得: 100 100 100

容易发现:

85 85 100 P( A ? B ) ? ? 90 90 P( B ) 100

概括

求B发生的条件下,A发生的概率,称为B发 生时A发生的条件概率,记为 P( A B) 。 当 P( B ) ? 0 时,P( A B ) ?
P( A ? B ) ,其中, P( B )

A ? B 可记为 AB 。

P( AB) 类似地 P( A ) ? 0 时, P( B A) ? 。 P( A )

A发生时B发生的概率

概率 P( A B )与 P( AB )的区别与联系
联系: 事件 A , B 都发生了。 区别:
B 先 A 后;而在 P( AB ) 中,事件 A , B 同时发生。
(2)样本空间不同,在 P( A B ) 中,事件 B 成为样本 空间;在P( AB ) 中,样本空间为所有事件的总和。 因而有 P(B|A)≠P(AB)

(1)在 P( A B ) 中,事件 A , B发生有时间上的差异,

题型一
【例1】

利用定义求条件概率

甲、乙两城市都位于长江下游,根据 百余年气象记 录,知道甲、乙两市一年中雨天 占的比例分别为20%和18%,两地同时下雨的比 例为12%,求: (1)乙市为雨天时,甲市也为雨天的概率; (2)甲市为雨天时,乙市也为雨天的概率. [思路探索] 本题涉及的两问都是条件概率问 题,直接用条件概率公式求解.



?乙市是雨天?,P(A)=0.2, 甲市是雨天? 设 A =? ? ?,B=? ?

?

?

?

?

P(B)=0.18,P(AB)=0.12, P?AB? 0.12 2 则(1)P(A|B)= = = , 0.18 3 P?B? P?AB? 0.12 3 (2)P(B|A)= = 0.2 =5. P?A?

规律方法 条件概率揭示了 P(A),P(AB)及 P(B|A)三者 之间的关系,即若 P(A)>0,有 P(AB)=P(A)·P(B|A) P?AB? 或 P(B|A)= ,反映了“知二求一”的互化关系. P?A?

【训练 1】

某地区气象台统计,该地区下雨的概率是

4 2 ,刮三级以上风的概率为 ,既刮三级以上的风 15 15 1 又下雨的概率为10,设 A 为下雨,B 为刮三级以上 的风,求: (1)P(A|B); (2)P(B|A).



由题意知

4 2 1 P(A)= ,P(B)= ,P(AB)= . 15 15 10 1 P?AB? 10 3 (1)P(A|B)= = = . 2 4 P?B? 15 1 P?AB? 10 3 (2)P(B|A)= = 4 =8. P?A? 15

题型二 缩小空间求条件概率

盒子里装有16个球,其中6个是玻璃球, 10个是木质球,玻璃球中有2个是红球,4个是 蓝球,木质球中有3个是红球,7个是蓝球.现 从中任取1个(假设每个球被取到是等可能的)是 蓝球,问该球是玻璃球的概率是多少? [思路探索] 求条件概率的方法有两种:利用 定义或缩小样本空间.
【例2】

解 设事件A:“任取1个球,是玻璃球”, 事件B:“任取1个球,是蓝球”.由题中数据 可列表如下:
红球 蓝球 合计
玻璃球 木质球 2 3 4 7 6 10

合计

5

11

16

11 4 由上表可知,P(B)= ,P(AB)= , 16 16 4 P?AB? 16 4 故所求事件的概率为 P(A|B)= = = . P?B? 11 11 16

规律方法 P(B|A)表示事件 B 在“事件 A 已发生”这个 附加条件下的概率,与没有这个附加条件的概率是不同 的.也就是说,条件概率是在原随机试验的条件上再加 上一定的条件,求另一事件在此“新条件”下发生的概 率.因此利用缩小样本空间的观点计算条件概率时,首 先明确是求“在谁发生的前提下谁的概率”,其次转换 样本空间,即把即定事件 A 所含的基本事件定义为新的 样本空间,显然待求事件 B 便缩小为事件 AB。

n( AB ) n( AB ) P ( AB ) n (? ) P ( B | A) ? ? ? n( A) n( A) P ( A) n (? )
P(B |A)相当于把A看作新的 基本事件空间求A∩B发生的 概率

?

B

A

1.某种动物出生之后活到20岁的概率为0.7, 活到25岁的概率为0.56,求现年为20岁的这种 动物活到25岁的概率。 解 设A表示“活到20岁”(即≥20),B表示 “活到25岁” (即≥25) 则 P( A) ? 0.7, P( B) ? 0.56

由于B ? A故A B ? B,
所求概率为

?

P( AB) P( B) P( B A) ? ? ? 0.8 P( A) P( A)

B

0.56

0.7

A

? 2.抛掷一颗骰子,观察出现的点数 B={出现的点数是奇数}={1,3,5} A={出现的点数不超过3}={1,2,3}

若已知出现的点数不超过3,求出现的点数是奇数 的概率
解:即事件 A 已发生,求事件 B 的概率 也就是求:P(B|A) ? A B 都发生,但样本空 间缩小到只包含A的样本点 1 5 n( AB) 2 3 2 P( B | A) ? ? n( A) 3 4,6

B

A

设 100 件产品中有 70 件一等品,25 件二等品,规 定一、二等品为合格品.从中任取1 件,求 (1) 取得一 等品的概率;(2) 已知取得的是合格品,求它是一等品 的概率. 解 设A表示取得合格品, B表示取得一等品,则 70 P( B) ? ? 0.7 (1)因为100 件产品中有 70 件一等品, 100 (2)方法1: 因为95 件合格品中有 70 件一等品,所以 B ? A ? AB ? B 70 P ( B A) ? ? 0.7368 ? 95 方法2: 70 95

3.

P( AB) 70 100 P( B A) ? ? ? 0.7368 P( A) 95 100

B

A

问题2: 从一副扑克牌(去掉大小王)中随机抽取1张,
用A表示"取出牌“Q”",用B表示"取出的是红桃",是
否可以利用 P ( B ), P ( AB )来计算P( A B ) ??
13 1 分析: 剩余的52张牌中,有13张红桃,则 P( B ) ? ? 52 4 1 52张牌中红桃Q只有1张,则 P( AB ) ? 52 由条件概率公式知,当取出牌是红桃时为Q的概率为:

P( AB) 1 P( A B ) ? ? P( B ) 13

4 1 我们知道52张牌中有4个Q ,所以: P( A) ? ? 52 13 易看出此时: 说明事件B的发生 P( A B) ? P( A)

不影响A的发生

而此时有:

P( AB ) ? P( A) P( B )

概括总结 一般地,两个事件 A、 B ,若有
P( AB ) ? P( A) P( B )

B 相互独立。 则称A 、

或者说A的发 , 生与B的发生 互不影响。

说明:若 A 、B 相互独立,则 A与 B, A与 B,

A与 B是否也相互独立呢??

互斥事件 概念
不可能同时发生 的两个事件叫做 互斥事件.

相互独立事件
如果事件A(或B)是 否发生对事件B(或A) 发生的概率没有影响, 这样的两个事件叫做 相互独立事件 . 相互独立事件A、B同 时发生记作 A ·B

符号

互斥事件A、B中 有一个发生,记 作A+B P(A+B)=P(A)+P(B)

计算公式

P(A· B)= P(A)· P(B)

例题分析
例1:下列每对事件中,哪些是互斥事件,哪些是相互独立事 件? (1)1000张有奖销售的奖券中某张奖券是一等奖与该张奖 券是二等奖; (2)甲乙两人同时购买同一期的双色球彩票各一张,甲中 奖与乙中奖; (3)同时抛两颗质的均匀的骰子,A={第一颗骰子出现奇 数点}, B={第二颗骰子出现偶数点},

例2 调查发现,某班学生患近视的概率为0.4,现随

机抽取该班级的2名同学进行体检,求他们都近视的概率。

解:记A为甲同学近视,B为乙同学近视,则A、B相 互独立,且P( A) ? P( B) ? 0.4 ,则
P( AB ) ? P( A) P( B ) ? 0.4 ? 0.4 ? 0.16

推广:

前面讨论了两个相互独立事件的概率公式, B 相互独立,则有 P( AB ) ? P( A) P( B ) 若A 、 对于n个相互独立的事件 A1 , A 2 , ? , A n , 则有 P( A1 A2 ? An ) ? P( A1 ) P( A2 )? P( An )

事实上,对于多个独立事件,公式也是成立的。

思考讨论:
将一枚均匀硬币掷4次,有人认为:“第一次出现
正面,第二次出现反面,第三次出现正面,第四次出

现反面” 发生的概率比 “四次都出现正面” 的概率大,
你认为这种说法正确么??

例3. 甲、乙二人各进行1次射击比赛,如果2人击中目标的概率
都是0.6,计算:

(1) 2 人都击中目标的概率;

(2)其中恰有1人击中目标的概率;
(3)至少有一人击中目标的概率。

假如经过多年的努力,男排实力明显提高,男排夺冠的概 率有0.7;女排继续保持现有水平,夺冠的概率有0.9。那 么,男、女排双双夺冠的概率有多大? P(A? B) 变式1:只有女排夺冠的概率有多大? 变式2:恰有一队夺冠的概率有多大?

P(A? B)

P (A ? B ? A ? B)
1? P(A ? B)

变式3:至少有一队夺冠的概率有多大?
变式4:至少有一队不夺冠的概率有多大?

1 ? P( A) ? P(B)

概率

意义

例4(2012,山东高考理19题节选)现有甲、乙两个靶,某射手
向甲靶射击一次,命中的概率为
3 4

,命中得1分,没有命中得0
2 3

分;向乙靶射击两次,每次命中的概率为

,每命中一次得2

分,没有命中得0分,该射手每次射击的结果相互独立,假设该 射手完成以上三次射击。 (1)求射手恰好命中一次的概率; (2)求射手的总得分X的分布列。

例5 (2014,安徽理17题节选)甲乙两人进行围棋比赛,约定

先连胜两局者直接赢得比赛,若赛完5局仍未出现连胜,则判
定获胜局数多者赢得比赛,假设每局甲获胜的概率为 获胜的概率为
1 3
2 3

,乙

,各局比赛结果相互独立;

(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率; (2)记X为比赛决出胜负时的总局数,求X的分布列;

解:用A表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”, Ak 表示 2 “第k局甲获胜”,Bk 表示“第k局乙获胜”,则 P( Ak ) ? , 3 1 P( Bk ) ? ,k ? 1,2,3,4,5 3

小结
* 条件概率: 当事件B发生时,事件A发生的概率: P( A ? B ) P( A B ) ? 当 P( B ) ? 0 时, 。 P( B ) * 独立事件的概率: 若A的发生与B的发生互不影响,称A、B相互 独立。A、B同时发生的概率: P( AB ) ? P( A) P( B )

对于n个相互独立的事件 A1 , A 2 , ? , A n , 则有 P( A1 A2 ? An ) ? P( A1 ) P( A2 )? P( An )


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