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浅谈两道江苏卷高考题的情结


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数 学通 讯— — 2 O 1 3午 第 5 、 6期( 上 半 月)  

? 辅 教 导学 ?  

浅谈 两道江苏卷高考题的情结 
孟伟业   束荣盛  
( 江 苏 省 扬州 大学 附属 中学 , 2 2 5 0 0 0 )  

试题 1 ( 2 0 0 5

年江苏 高考第 1 0 题) 若s i n ( - 6 -  
~ a ) 一 1



.  
— —

这 两道 试 题 出现 在 不 同年 份 的 江 苏 高 考 卷 

则 c 。 s ( 孥 + 2   ) 一   ( A ) 一 吾 .   ( B ) 一 ÷ .   ( c ) ÷ .   ( D ) 吾 .  


, 其考 查 的知识点 却惊 人 地一 致 : 同角三 角 函数  (  )  中 的基本 关 系式 ( B ) ; 两角和 ( 差 )的 三 角 函 数 ( C )   二倍 角的三 角 函数 ( B ) ( B 、 C分别 表 示江 苏高 考考  试说 明 中的 B、 C级要 求) .那 么 , 这 两道试题 的“ 情  结” 何 在?   这两道 试题 的解 题 关 键 点 为 “ 角 的变 换 ” , 两  题“ 角 的变换思 维链”如 下 :  

试题 2 ( 2 0 1 2年江 苏高考 数学 第 1 1 题) 设a  

为 锐 角 , 若c 。 s ( a + 詈 ) 一   4 , 则s i n ( 2 a +  ) 的 值  

嚣主 圈  园  f 丁 目 标 十 ] 角 细   f  
嚣  区 要箧 
图2  2 0 1 2年 江 苏 高 考 第 1 1 题“ 角的变换思维链”  

对 比这 两题 中“ 角 的变换 思 维链 ” , 我们 发 现 
变 角思路 几 乎一 致 , 都 是 求 出二 倍 角 后 引 入 一 个  “ 特殊角 ”得 出“ 目标 角 ” , 所 不 同 的是前 者 引入 的 

2 4   7   2 5   2   2 5   2  


1 7   5 0一‘  

解法 二  ‘ . ’   为锐角 即 0< 。<  ,  

是   、 后 者引 入的 是 詈 . 引 入丌 , 是 诱 导 公 式的 结  

一 百 \  ‘  

.丌, ,  。  

\ 

兀. 兀  2 丌  
。百 ~ 了 ’  
.  

构 ’ 学 生 更 容 易 想 到 , 而 号对 目 标 意 识 的 要 求 相 对  
高些 , 这或 许就 是普 遍认 为 2 0 0 5 年第 1 0 题 比2 0 1 2   年第 1 1 题 容易些 的原 因.   试 题 的解答 ( 由于两 道试 题 相似 , 在此仅给出  

设£ 一 。 + 要 , 则   一   一 要 ,   。   £ 一  
/ 5 -  

? 。 ? s i n ( 2 a +  )一 s i n [ 2 ( £ 一   ) +  ]  

试 题2 的 解 法 ) :  
解法一  ’ . ‘ a 是锐角, c o s (  ̄ +詈) 一÷,  
? . .

一   i n (  一号   一等( s i n 2 f — c o s 2 t ) ?  
则问题转换为已知 c O S t —   4 ( £ 为锐角) 求  
s i n 2   , c o s 2 £ 的值 , 以下过程略?  
由前 面 的分析可 知 , 试 题 2可 以看作 是试 题 1  
,   弓 I 申后 的变 式.可 以肯 定 地 说 , 在 高 三 数 学 复 习 

要 < +   <  , s i n (   +  ) 一   3,  
0   b   z   0  
s i n 2 (  +  ) = = =   Z 4, c o s 2 (  +  )一 

。 . .

中, 学 生和老 师肯定 不止一 次遇 到过试题 1 这样 的 
’ ?
?

s i n ( 2 a +  ) 一s i n [ 2 ( a +g - ) 一寺]  

题目, 那为什么在考试中试题2 仍有很多学生做不  
出来 呢? 很多优 秀学 生在 这 道 题 目上 也纷纷 落 马.  

一s i n   ( a + 詈   c 。   号一 c 。 s 2 ( a + 詈   i n {  

这 反 映 了目 前的 教 学 现 状, 就 是 缺 乏 对 例 题( 试  

?

辅教 导学 ?  

数 学通 讯 — — 2 O 1 3年 第 5 、 6期 ( 上 半 月)  

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题 )的深 入 研 究 , 仅 仅 是就 题论 题 、 平 铺 直叙 地 进  行教学, 没 能 把 握 问题 的 本 质 以及 不 同 问题 之 间  的联 系 , 不厌 其 烦 地 孤 立 、 重 复 地 讲 解 大 量 题 目,  

计算 其正 弦或余 弦值 的角 , 如  .  
上 厶 

需要 指 出的是 : 对 锄 + ( ∞ 、  为 常数) 这样 的 



缺 乏对 数学 的深入 思考 , 不利 于学 生能 力 的提升 .  
事实 上 , 在 教 材 中有 这样 一 道练 习题 : ( 苏 教 
0 

次线性 结构 ”采用换 元 法都 是 极 为有 效 的.试 

想 一下 , 若 在研 究试 题 1时作 了上述 解 读 , 则 2 0 1 2  

版必修四 P 9 4练习第 3 题) 已知 c o s O =一- ; - ,  ∈  

年 高考 时一看 到试题 2便 能很 快 速 地做 出 正确 答  案, 进 而为后续 问题 的作答 赢 得 时间.  
参考文献 :  

(  , 二     ) , 求c o s (  ̄ - 一   ) 的值.  
。 

试题 1 的处 理 即是运 用整 体思想 进行 换元 , 转  化 为 练 习题 的结构 : “ 已知 c O S t 或s i n t , 求c o s (  ̄ t + 
)或 s i n (  ̄ + ) ” . 为 了便 于计 算 , ∞往往 为 ± 1 、  
1 

[ 1 ]   董 荣 森.浅 谈 江 苏 卷 两 道 高 考 题 的 情 结  口] .数 学通 讯 ( 学 生版 ) , 2 O l 1 ( 5 , 6 ) .  
( 收 稿 日期 : 2 0 1 3 一O 1 一O 9 )  

士 2或 士 百 1等 , 而  为 特殊角 , 也 可能是 我们 能够 

直 来 直 去证 明不等 式 
安振平  
( 陕 西 省 成 阳 师 范 学 院 基 础 教 育课 程研 究 中心 , 7 1 2 0 0 0 )  

文[ 1 ]通过 构造 长方 体 , 利 用代换 方法 证 明 了  些 代 数 和三角 不等式 , 读 后 很 受启 发 , 构 造 与 变  更, 实现 了问题 的转化 , 获 得 证 明不 等 式 的一 种有  效途 径 . 笔 者 的持 续 思 考 是 , 对于这些不等式, 能 


说 明  这 里没 有用 到“ 和为 1 ” 的条件.自然 ,  
问题 可 以变更 为 :  

设 正数 口 , b , c均小于 1 , 求证 :  

、 / , r =   + ̄ / r =  +  ̄ /  二  >3 一口 一b —c .  
例2 ( 1 9 9 8 年 日本 I MO选拔 赛题 ) 若 , Y , z  

不 能直 来直 去 的 给 出 更 加 简 明 的 证 明 方 法 呢? 经  探 究是 可简 化 的 , 这 只要 进行 适 度 的代 数 变形 , 利  用均值 不 等式 、 柯 西 不等 式 以及 放缩 技 巧 , 笔 者从  高 中教材基 础 知 识 出发 给 出直 接 证 法 , 作 为 一 份 

课程 资源 , 供读 者 学习 时参考 .   例1 ( 2 O O 8年 厦 门一 中竞 赛 题 )正 数 口 , b , c   满足 a 。 +b 。 +c  : 1 , 求证 :  
~  

> O ’ 且 南+ 南+   一 1 , 概x y z 1 >   8 .   证 明由 丁 {   +   {   + r  = 1 得  
z  
一 

1  
十 

1  
’  

_ = =   +、  _ = =   + ̄ / r 二  >3 一a —b —c .  
证 明  由条件知 a∈ ( 0 , 1 ) , 则2 a ̄ / 1 一n   > 

利用 2元 AM— G M 不 等式 , 得 

一   十 +   警 ≥ 2 z   / l 而 + x ? 。   ’ ,  
一  

0, 所 以 

 ̄ / 1 一a   + a: √( fl 一口 。 +口 ) 。  
一  

即 z≥ 

.  

 ̄ / ( 1+  ) ( 1+  )  

干 

;  >1 ,  

同理可得 
≥ 
、  

即、  

> 1一 a .  

,  
2 ( 1+ 2 )  

同理 可得  ̄ / l —b  > 1 一b , 41 一c  > 1 一C ,  
叠加 , 得 

Z  } ——=============

’  

 ̄ / ( 1 +z ) ( 1 + )  

√1 一a 。 + ̄ / 1 一b 。 +、 / / 1 一C 。> 3 一日 一b —f .  

叠乘 , 得x y z≥ 8 .  


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