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第九课时(1,4正余弦函数图象性质)(1)


1、4正弦函数、余弦

函数的图象与性质

复习提问 1.在单位圆中,角α 的正弦线、余弦线分别 y 是什么? sinα =MP P(x,y) 2.任意给定一个实数x,都有唯一确定的正弦 (或余弦)值与之对应,为什么?
∵实数集与角的集合之间可建立一一对应关系. 又∵一个确定的角对应唯一确定的正弦(或余弦)值. ∴任意给定一个实

数x,有唯一确定的值sinx(或 cosx)与之对应
注意: 三角函数线是 有向线段!

cosα =OM

O M x

3. 我们知道,任意给定一个实数x,有 唯一确定的值sinx(或cosx)与之对应. 我们把由这个对应法则所确定的函数 y=sinx y=cosx 叫做正弦函数 叫做余弦函数

问:这两个函数的定义域是什么?
定义域都是R

4.遇到一个新函数,它总具有许多基本 性质,要直观、全面了解基本特性,我 们应从哪个方面入手?

自然是从它的图象入手,画出它的图 象,观察图象的形状,看看它有什么特 殊点,并借助它的图象研究它的性质, 如:值域、单调性、奇偶性、最值等. 我们今天就学习

知识探究(一):正弦函数y=sinx的图象
答:列表、描点、连线

思考1:作函数图象最原始的方法是什么?

? ? ? 2? 5? 7? 4? 3? 5? 11? 让x取0 , , , , , , ? , , , , , , 2?等值来列表 6 3 2 3 6 6 3 2 3 6
x
0
0

思考2:用描点法作正弦函数y=sinx在[0, 2π ]内的图象,可取哪些点?

?
6
1 2

?
3
3 2

? 2? 5?
2
1

3
3 2

7? 4? 3? 5? 11 ? ? 2? 6 6 3 2 3 6
1 2

sinx

0

?

1 2

?

3 2

-1

?

3 2

?

1 2

0

问题4:在直角坐标系中,如何用正弦 线比较精确地画出 y=sinx x∈[0,2π] 用光滑曲线将这些正弦 内的图象? 线的终点连结起来得到
B
y 1

y=sinx x?y=sinx [0,2?] x∈ [0,2π]图象

O1

A O
-1

? 3

2? 3

?

4? 3

5? 3

2?

x

(1)作直角坐标系,并在y轴左侧画单位圆;

(2)把单位圆分成12等分(等分越多,画出的图像越精确),可 ? ? ? 分别在单位圆中作出对应于0, 6 , 3 , 2 ,? ? ? ? ??,2? 等角的正弦函数线。 (3)找横坐标:把x轴上从0到π (π≈6.28)这一段分成12等分。 (4)找纵坐标:将角x的正弦线向右平移,使它的起点与x轴上的 点x重合; (5)连线:用光滑的曲线把这些正弦线的终点连接起来,即得到

【正弦函数、余弦函数的图象】
y
1 -4? -3? -2? -?

o
-1

?

2?

3?

4?

5?

6?

x

正弦函数的图象
关系?

y=cosx=sin(x+ ), x?R
2

?

余弦函数的图象
-4? -3? -2? -?

y 你能确定关键 的五点吗?
(0,1) 1
? (o ,0) 2 -1

正弦曲 线 形状完全一样 只是位置不同
余弦曲 线
3? 4? 5? 6?

?

3? ( ,0) 2

( 2? ,1) 2?

( ? ,-1)

x

二、如何作出正弦函数的图象(在精确度要求不太高时)?

y
1
?
2
(0,0) o

? ( ,1) 2

五点画图法
( ? ,0) ( 2? ,0)

?

? 2

?

-1

3? ( ,-1) 2

3? 2

2?

x

〖例1〗 画出函数y=1+sinx,x?[0, 2?]的简图 解:按五个关键点列表
x
sinx 0
?
2

?

3? 2

2?

0
1

1
2

0
1

-1
0

0
1

1+sinx

描点 并将它们用光滑的曲线连接起来 y 步骤:
2 1
?

y=1+sinx,x?[0, 2?]

1.列表 2.描点 3.连线
x

?
2

o -1

? 2

?

3? 2

2?

y=sinx,x?[0, 2?]

你能否从函数图象变换的角度出发,利用函数y=sinx x?[0, 2?]的图象来得到y=1+sinx,x?[0, 2?]的图象?

〖例2 〗 画出函数y=-cosx,x?[0,
x
cosx
- cosx
y 1
?
2

2?]的简图.
2?
1 -1

0
1 -1

?
2

?
-1 1

3? 2

0 0

0 0

y=cosx,x?[0, 2?]
? 2

?

o -1

?

3? 2

2?

x

y= - cosx,x?[0, 2?]

从函数图象变换的角度出发,你能利用函数y=cosx x?[0, 2?]的图象得到y= - cosx,x?[0, 2?]的图象?

x∈[0,2π]成立的x的取值集合 1 分析:先画y ? cos x( x ? ?0,2? ?)的图象与直线y ? ,
2 再找出交点的坐标 ,由图象写得不等式的解集. y
1

1 〖例3 〗根据余弦函数图象写出使不等式cosx>2

( , ) 3 2
O -1
? ? 3 2

? 1

2? 1 ( , ) 3 2

π

?? 2? 2 3

1 y = 2
2π x

2? (0, ) ? ( ,2? ) 3 3

?

【练习:】在同一坐标系内,用五点法分别画出函数 y= sinx,x?[0, 2?] 和 y= cosx,x?[ ? 2 ,
?
3? 2

]的简图:
3? 22 ?

x
cosx sinx

? 0

?
2

?

0 2

?2 0 -1

?

3? ? 2

0 1 1 0 ? y 向左平移 个单位长度 2 2
1

-1 0

0 1

y=sinx,x?[0, 2?]
?

?
2

o -1

? 2

?
3? ] 2 2

3? 2

2?

x

y= cosx,x?[? ? ,

归纳与整理
1. 正弦曲线、余弦曲线 几何画法 五点法(画简图)

2.注意与诱导公式、三角函数线等知识的联系
y 1
?
2

y=cosx,x?[0, 2?]
? 2

?

o -1

?

3? 2

2?

x

y=sinx,x?[0, 2?]

其中五点法最常用,要牢记五个关键点的坐标。

作 1、P34 练习 T2



2、画出下列函数的简图

(1)y=1- sinx, x∈[0,2π]
(2)y=3cosx+1,x∈[0,2π] 并简单说说所画简图分别与函数y=sinx x∈[0,2π]、y=cosx x∈[0,2π]的图象有什 么关系?


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