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高一升高二理科立体几何新课课件 很好


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高一升高二


第一课时:空间几何体的表面积与体积


02

第二课时:空间几何体的表面积与体积专题

06

第三课时:空间点直线平面之间的位置关系

1

0

第四课时:直线平面平行的判定和性质

14

第五课时:直线平面平行的判定和性质专题

18

第六课时:直线平面垂直的判定和性质

22

第七课时:直线平面垂直的判定和性质专题

26

第八课时:立体几何证明题专题

30

第九课时:立体几何中空间角求解方法(几何法)

34

第十课时:立体几何中空间角求解方法(向量法)

38

第十一课时:立体几何中空间距离求解方法(向量法)

42

附录一:立体几何中表体积的计算公式

46

附录二:立体几何中的性质和定理

46

今日之事

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空间几何体的表面积与体积
课题引入
1、讨论:正方体、长方体的侧面展开图?→ 正方体、长方体的表面积计算公式? 2、讨论:圆柱、圆锥的侧面展开图? → 圆柱的侧面积公式?圆锥的侧面积公式?

讲授新课
空间几何体的表面积
圆柱:侧面展开图是矩形,长是圆柱底面圆周长,宽是圆柱的高(母 线) , S 圆柱侧 =2 ? rl ,S 圆柱表 =2 ? r (r ? l ) ,其中为 r 圆柱底面半径, l 为母 线长。 圆锥:侧面展开图为一个扇形,半径是圆锥的母线,弧长等于圆锥底面 周长,侧面展开图扇形,S 圆锥侧 = ? rl , S 圆锥表 = ? r (r ? l ) ,其中为 r 圆锥底 面半径, l 为母线长。 圆台:侧面展开图是扇环,内弧长等于圆台上底周长,外弧长等于圆 台下底周长,侧面展开图扇环 S 圆台侧 = ? (r ? R )l , S 圆台表 = ? (r 2 ? rl ? Rl ? R2 ) . 例 1、求各面都是边长为 a 的等边三角形的正四面体 S-ABC 的表面积.

变式 1、 已知底面为正方形, 侧棱长均是边长为 5 的正三角形的四棱锥 S-ABCD, 求其表面积.

例 2、若一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为 3 ,求这个圆锥的表面积.

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变式 2、已知圆锥的底面半径为 2cm,高为 2cm,则该圆锥的侧面积为_________ 例 3、 圆台的上下两个底面半径为 10、 20, 平行于底面的截面把圆台侧面分成的两部分面积 之比为 1:1,求截面的半径.

变式 3、一个圆台,上、下底面半径分别为 10、20,母线与底面的夹角为 60°,求圆台的 表面积.

空间几何体的体积
柱体: V柱 ? Sh (S 为底面面积,h 为柱体的高) 锥体: V锥 ? Sh (S 为底面面积,h 为高) (S, S 分别上、下底面积,h 为高)
'

1 3 1 ' 台体: V台 ? (S ? S ' S ? S )h 3

例 4、把三棱锥的高分成三等分,过这些分点且平行于三棱锥底面的平面,把三棱锥分成三 部分,求这三部分自上而下的体积之比。

变式 4、已知圆锥的侧面积是底面积的 2 倍,它的轴截面的面积为 4,求圆锥的体积.

例 5、如图,已知正三棱台 A1B1C1 ? ABC 的两底面边长分别为 2 和 8,侧棱长等于 6,求三 棱台的体积 V
A1 D1 O1 B1 H A O D B C C1

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变式 5、用一块矩形铁皮作圆台形铁桶的侧面,要求铁桶的上底半径是 24 ㎝,下底半径为 16 ㎝,母线长为 48 ㎝,则矩形铁皮的长边长是多少?

球的体积和表面积
球的表面积: S ? 4? R 2 球的体积:
V? 4 ? R3 3

例 6、如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径.求证: (1)球的体积等于圆柱体积的 ; (2)球的表面积等于圆柱的侧面积.
2 3

变式 6、 (1)若球半径变为原来的 2 倍,则表面积变为原来的___倍,体积变为原来的 (2)若球的表面积变为原来的 2 倍,则半径变为原来的___倍. (3)若球的体积变为原来的 2 倍,则半径变为原来的 倍。 例 7、一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是 a cm,求球的体积.

倍。

变式 7、若正方体的棱长为 a,则 (1)与正方体所有棱相切的球直径 (2)正方体的内切球直径

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同步练习
1、一个三棱柱的底面是正三角形,边长为 4,侧棱与底面垂直,侧棱长 10,求其表面积.

2、若一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为 3,求这个圆锥的表面积.

3、一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是 4cm,求这个球的体积 .

4、长方体的共顶点的三个侧面积分别为 3 、 5 、 15 ,求它的外接球的表面积。

5、有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求 这三个球的体积之比.

6、求正三棱柱的外接圆柱体体积与内切圆柱体积之比.

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第二课时:立体几何表面积体积专题
知识小结
三视图为三个三角形则对应的是三棱锥 三视图为两个三角形一个四边形则对应的是四棱锥 三视图为两个三角形一个圆则对应的是圆锥 三视图为一个三角形两个四边形则对应的是三棱柱 三视图为两个四边形一个圆则对应的是圆柱 底面面积=俯视图面积 几何体的高=正视图的高

1 V锥 ? sh 3

V柱 ? sh

4 V球 ? ? r 3 3

S球 ? 4? r 2

典型例题
三视图求表面积体积
例 1、如果一个几何体的三视图是如图 1 所示(单位长度: cm ) 则此几何体的表面积 是( ) A. (16 ? 6 2 )cm3 C. 12 ? 6 2 cm3 B.22 cm
3

?

?

D. 18 ? 2 3 cm3

?

?

例 2、某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸 (单位:cm) ,可得这个几何体的体积是( ) A.

4000 3 cm 3
3

B.

8000 3 cm 3
3

C. 2000cm

D. 4000cm

例 3、右图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该 几何体的表面积是( ) A.9π B.10π C.11π D.12π

2 3 2 2 俯视图 正(主)视图 侧(左)视图

例 4、一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( A. 2? ? 2 3 B. 4? ? 2 3

).

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C. 2? ?

2 3 3

D. 4? ?

2 3 3

变式训练
1、已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位: cm ) ,可得这个几何体的 体积是______。
4 2 4

正视图

左视图

2、如果一个几何体的三视图如图所示: (单位长度:cm) , 则此几何体的体积是( A. 96 cm3 C. 80 ? 16 2 cm 3 ) B. 80 cm3 D.
224 3 cm 3

4

俯视图

?

?

3、一个几何体的三视图如图所示,那么 此几何体的侧面积(单位: cm )为(
2



A. 80 C. 40

B. 60 D. 20

4、一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体 的体积为( ) (B)

2

2

(A) 2? ? 3?

8 ? 3

2 2 正(主)视图

2 2 侧(左)视图
1 1 1 2 2

3 ? (C) 2? ? 3

2 3 (D) 4? ? ? 3

俯视图

5、已知一个空间几何体的三视图如图所示,其中正视图、侧视图都是由半圆1 和矩形组成,根据图中标出的尺寸(单位: cm ),可得这个几何体的体积是 A ? B
4 ? 3

C

5 ? 3

D 2?

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6、如图,三棱柱 ABC ? A1B1C1 的侧棱长和底面边长均为 2 ,且侧棱 AA1 ? 底面 ABC ,其 正(主)视图是边长为 2 的正方形,则此三棱柱侧(左)视图的面积为( A. 3 B. 2 3 C1 A1 B1
1 1



C. 2 2

D. 4

C A B
正(主)视图

2

7、上图是一个几何体的三视图, 根据图中的数据,计算该几何体的表面积为( A. 15? B. 18? C. 22? D. 33? 3 8、一个几何体的三视图如图所示, 则此几何体的体积是( (A) 112 (C) 72 (B) 80 (D) 64 4 俯视图 ) 4 4 正视图



侧视图

9、(2007 宁夏理?8) 已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位:cm) ,可 得这个几何体的体积是( )

10 20 10 20 正视图 A. 20 侧视图 B. 20 俯视图 C. 2000cm 8 勿拖到明日
3

4000 3 cm 3

8000 3 cm 3
今日之事

D. 4000cm

3

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球的体积和表面积
1、若一个球的体积为 4√3π ,则它的表面积为______。 2、用与球心距离为 1 的平面去截球,所得的截面面积为π ,则球的体积为______。 3、若一个底面边长为√6 /2,侧棱长为√6 的正六棱柱所有顶点都在一个球的面上,则此 球的体积为______。 4、一个长方体各顶点均在同一球的球面上,且一个顶点上的三条棱长分别为 1,2,3,则 此球的表面积为______。 5、如图, 半径为 2 的半球内有一个内接正六棱锥 P-ABCDEF, 则此正六棱锥的侧面积为____;

6、若球 O1、O2 表示面积之比

S1 R ? 4 ,则它们的半径之比 1 =_____________. S2 R2

7、表面积为 2 3 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上,则此球的体积为(



A.

2 ? 3

B.

1 ? 3

C.

2 ? 3

D.

2 2 ? 3

8、已知正方体外接球的体积是

32 ? ,那么正方体的棱长等于( 3
C.



A.2 2

B.

2 3 3

4 2 3
) C. 1∶3 3

D.

4 3 3

9、正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( A. 1∶ 3 B. 1∶3

D. 1∶9

柱体的体积和表面积 2 1、一个长方体全面积是 20cm ,所有棱长的和是 24cm,求长方体的对角线长为________. 2、 一长方体共一顶点的三个面的面积分别是 2 , 3, 6 , 这个长方体对角线的长是 ( A.2 )

3

B.3

2

C.6

D.

6

3、如图,三棱柱 ABC—A1B1C1 中,若 E、F 分别为 AB、AC 的中点,平面 EB1C1 将三棱柱分成体积为 V1、V2 的两部分,那么 V1∶V2= ______。

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第三课时:空间点 直线 平面之间的位置关系
平面的相关知识
平面:是从生活中的平面形象中抽象出来的(注意:几何里的平面是无限延展的) 面的画法及表示 0 平面的画法:水平放置的平面通常画成一个平行四边形,锐角画成 45 ,且横边画成邻边的 2 倍长(如图) β D α A B C α ·B ·A

平面与点的关系(平面内有无数个点,平面可以看成点的集合) 点 A 在平面α 内,记作:A∈α 点 B 在平面α 外,记作:B ? α α

平面的基本性质 公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内 符号表示为 A∈L A B∈L L α α · L ·B A∈α B∈α 公理 1 作用:判断直线是否在平面内 公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 公理 2 作用:确定一个平面的依据。

α ·

A

·

C

·

B

公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为: β P∈α ∩β =>α ∩β =L,且 P∈L P α 公理 3 作用:判定两个平面是否相交的依据 · L 练习 1、如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,判断下列命题是否正确,并说明理由. (1)直线 AC1 在平面 A1B1C1D1 内; (2)设正方体上、下底面中心分别为 O、O1,则平面 AA1C1C 与平面 BB1D1D 的交线为 OO1; (3)由点 A,O,C 可以确定一个平面; (4)平面 AB1C1 与平面 AC1D 重合. 练习 2、两个平面最多可以把空间分成几个部分?三个平面呢?

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空间中直线与直线之间的位置关系
空间两直线的位置关系有且只有三种:
相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; 平行直线:同一平面内,没有公共点; 异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点。 共面直线

(画异面直线通常需要平面做衬托) 问题 1、在同一平面内,如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线互相平行。在 空间中,是否有类似的规律? 公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为:设 a、b、c 是三条直线 a∥b =>a∥c c∥b 强调:公理 4 实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。 公理 4 作用:判断空间两条直线平行的依据。 问题 2、∠ADC 与 A'D'C'、∠ADC 与∠A'B'C'的两边分别对应平行,这两组角的关系如何? 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。 异面直线所成的角 如图,已知异面直线 a、b,经过空间中任一点 O 作直线 a'∥a、b'∥b,我们把 a'与 b'所成 的锐角(或直角)叫异面直线 a 与 b 所成的角(夹角) 。

强调:① a'与 b'所成的角的大小只由 a、b 的相互位置来确定,与 O 的选择无关,为了简 便,点 O 一般取在两直线中的一条上; ? ② 两条异面直线所成的角θ ∈(0, ); 2 ③ 当两条异面直线所成的角是直角时,则这两条异面直线互相垂直,记作 a⊥b; ④ 计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 练习 3、设直线 a,b,c,则下列命题正确的是________(只填序号). ①若 a∥b,b∥c,则 a∥c; ②若 a∥b,c⊥a,则 c⊥b; ③若 a⊥c,b⊥c 则 a∥b; ④若 a⊥c,b⊥c,则 a⊥b.
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练习 4、在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,设 AB 的中点为 M,DD1 的中点为 N,则异面直线 B1M 与 CN 所成的角的大小为________.

空间中直线与平面之间的位置关系
空间中直线与平面有三种位置关系:
(1)直线在平面内 —— 有无数个公共点 (2)直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 (3)直线在平面平行 —— 没有公共点 强调:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用 a α 来表示

a

α

a∩α =A

a∥α

空间中平面与平面之间的位置关系
空间中两个平面之间有两种位置关系:
(1)两个平面平行 —— 没有公共点 (2)两个平面相交 —— 有且只有一条公共直线 α L

β α ∥β

α

β

α ∩β = L

题型总结
题型一、点线面的位置关系(命题判定)
例 1、下列命题: ①空间不同三点确定一个平面;②有三个公共点的两个平面必重合; ③梯形是平面图形;④四边形是平面图形; ⑤一条直线和两平行线中的一条相交,也必和另一条相交; ⑥两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 其中正确的命题是________.(填写所有正确命题的序号)

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题型二、共面问题 例 2、已知 E,F,G,H 分别是空间四边形 ABCD 四条边 AB,BC,CD,DA 的中点,求证:四 边形 EFGH 是平行四边形.

变式 1、已知四边形 ABCD 是空间四边形,E,H 分别是 AB,AD 的中点,F,G 分别是边 CB, 2 CF CG CD 上的点,且 = = ,判断四边形 EFGH 的形状. 3 CB CD

题型三、三线共点问题 例 3、如图所示,在四面体 ABCD 中,E、G 分别是 BC、AB 的中点,F 在 CD 上,H 在 AD 上, 且有
DF FC



DH HA



1 4

,求证:EF、GH、BD 交于一点 O.

变式 2、(2010·全国)直三棱柱 ABCA1B1C1 中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,求异面直线 BA1 与 AC1 所成的角

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第四课时:直线平面平行的判定和性质
引入课题
问题 1: 在上节课我们介绍了直线与平面的位置关系, 有几种?以什么作为划分的标准?

直线在平面内

直线与平面相交

直线与平面平行

注:我们也将直线与平面相交和平行统称为直线在平外

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问题 2:如何判定直线与平面平行?

直线与平面平行的判定定理
如果平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和 这个平面平行。
已知:a ? α ,b ? α ,且 a∥b 。求证:a∥α 证明:∵ a∥b ∴经过 a,b 确定一个平面β ∵a ? α ,b ? α ∴α 与β 是两个不同的平面。 ∵b ? α ,且 b ? β ∴α ∩β =b 假设 a 与α 有公共点 P,则 P∈α ∩β =b,P 是 a、b 的公共点这与 a∥b 矛盾, 故 a∥α .

β
α

a b P

例 1、 求证: 空间四边形相邻两边中点的连线, 平行于经过另外两边的平面。

A E B C
注:线面平行的判定定理可概括为有“线线平行”则“线面平行”

F D

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直线和平面平行的性质定理:
如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线 和交线平行。 已知:a∥α ,a ? β ,α ∩β =b,求证:a∥b 证明:α ∩β =b a∥α a?β

β
α

a b

? a∩b=φ
b?β

? a∥b

例 2、如图,平面α 、β 、γ 两两相交,a、b、c 为三条交线,且 a ∥b,那么 a 与 c、b 与 c 有什么关系?为什么?

a α
注:线面平行的性质定理也可概括为有“线面平行”则“线线平行”

c

γ b β
注 : ① 性 质 定 理 也 可 概 括 为 由 “ 线 面 平 行 ” 证 得 “ 线 线 平 行 ” ②

变式 1、四棱锥 S-ABCD 底面为平行四边形,E、F 分别为边 AD、SB 中点求证:EF∥平面 SDC。

变式 2、下列命题中,假命题的个数是(



① 一条直线平行于一个平面,这条直线就和这个平面内的任何直线不相交; ② 过平面外一点有且只有一条直线和这个平面平行; ③ 过直线外一点有且只有一个平面和这条直线平行; ④ 平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行; ⑤ a 和 b 异面,则经过 b 存在唯一一个平面与 ? 平行 A.4 B.3 C.2 D. 1

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问题 3:类似直线与平面的位置关系,平面与平面的位置关系有几种?以什么作为划分 的标准? ①两个平面平行——没有公共点 ②两个平面相交——有一条公共直线. 思考:1、如果一个平面内的一条直线与另一个平面平行,能否说明平面与平面平行? 2、要求一个平面内的多少条直线与另一个平面平行才可判定两个平面平行呢?

问题 4:如何判定平面与平面平行?

平面与平面平行的判定定理
如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行. 用数学符号表示:

a ? ?,b ? ?, a b ? M ? ? ? ? // ? a // ? , b // ? ?
推论:如果一个平面内有两条相交直线分别平行与另一个平面内的两条直线,那么这两 个平面平行。 例 3、已知正方体 ABCD- A1B1C1D1 ,求证:平面 AB1D1 //平面 C1 BD 。

注:面面平行的判定定理可概括为有“线面平行”则“面面平行” 变式 3、在正方体 AC ?中,E、F、G、P、Q、R 分别是所在棱 AB、BC、BB?、A?D?、D?C?、DD?的 中点,求证:平面 PQR∥平面 EFG。

P D? A? D A E

Q B? G

C?

R

C B F

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思考:如果平面 ? // ? ,那么平面 ? 内的直线 a 和平面 ? 内的哪些直线平行? 怎么找出这些直线?

平面和平面平行的性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行. 符号语言表示: ?∥?,? ∩? ? a,? ∩? ? b,则a∥b 推论:如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面. 注:面面平行的性质定理可概括为有“面面平行”则“线面平行”

例 4、设 a , b 表示直线, ? , ? 表示平面,P 是空间一点,下面命题中正确的是( ) A. a ? ? ,则 a // ? C. ? // ? , a ? ? , b ? ? ,则 a // b B. a // ? , b ? ? ,则 a // b D. P ? a, P ? ? , a // ? , ? // ? ,则 a ? ?

变式 4、a,b,c为三条不重合的直线,α ,β ,γ 为三个不重合的平面,直线均不在平面 内,给出六个命题:
a ∥ c? a ∥? ? ? ∥c ? ① ? ? a ∥ b; ② ? ? a ∥ b; ③ ? ?? ∥?; b ∥c ? b ∥? ? ? ∥ c? ④

? ∥ c?

? ∥? ? ? ∥? ? ? ? a ∥? ; ⑤ ? ?? ∥??⑥ ? ? a ∥? ? a ∥c ? ? ∥? ? a ∥? ?

其中正确的命题是________________.(将正确的序号都填上)

变式 5、 如下图, 设 P 为长方形 ABCD 所在平面外一点, M, N 分别为 AB, PD 上的点, 且 求证: (1)直线 MN∥平面 PBC.(2)平面 MNP∥平面 PBC.

AM DN = , MB NP

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第五课时:线面平行的判定专题
重要关系 线线平行 线面平行 面面平行

立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为线线平行, 而证明线线平行一般有以下 的一些方法: (1)通过“平移” 。 (2)利用三角形中位线的性质。 (3)利用平行四边形的性质 (4)利用对应线段成比例。 (5)利用面面平行。

常考题型
题型一、通过“平移” 例 1、如图,四棱锥 P-ABCD 的底面是平行四边形,点 E、F 分 别为棱 AB、 PD 的中点. 求证:AF∥平面 PCE;
P

F

E B

A C

D

变式 1、如图所示, 四棱锥 P ? ABCD 底面是直角梯形, BA ? AD, CD ? AD, CD=2AB, E 为

PC 的中点, 证明: EB // 平面PAD ;

今日之事 18 勿拖到明日

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题型二、利用三角形中位线的性质 例 2、如图,已知 E 、 F 、 G 、 M 分别是四面体的棱 AD 、 CD 、 BD 、 BC 的中点, 求证: AM ∥平面 EFG 。

A E B G M C F D

变式 2、 如图, ABCD 是正方形, O 是正方形的中心, E 是 PC 的中点。 求证: PA ∥平面 BDE.

题型三、利用平行四边形的性质 例 3、正方体 ABCD—A1B1C1D1 中 O 为正方形 ABCD 的中心,M 为 BB1 的中点, 求证: D1O//平面 A1BC1;

变式 3、在四棱锥 P-ABCD 中,AB∥CD,AB=

1 DC, E为PD中点 .求证:AE∥平面 PBC; 2
D A E B P C

今日之事 19 勿拖到明日

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题型四、利用对应线段成比例 例 4、如图:S 是平行四边形 ABCD 平面外一点,M、N 分别是 SA、BD 上的点,且 求证:MN∥平面 SDC.

AM BN = , SM ND

变式 4、如图正方形 ABCD 与 ABEF 交于 AB,M,N 分别为 AC 和 BF 上的点且 AM=FN,求证:MN ∥平面 BEC. C A

D A

M A

B A N A

E A

A 题型五、利用面面平行

例 5、如图,三棱锥 P ? ABC 中, PB ? 底面 ABC , ?BCA ? 90 ,PB=BC=CA, E 为 PC 的中点, M 为 AB 的中点,点 F 在 PA 上,且 AF ? 2FP .求证: CM / / 平面 BEF ;

F A

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同步练习
1、如图,三棱柱 ABC—A1B1C1 中, D 为 AC 的中点.求证:AB1//面 BDC1;

2、在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 为平行四边形,∠ ACB= 90? ,EA⊥平面 ABCD,EF ∥AB,FG∥BC,EG∥AC.AB=2EF.若 M 是线段 AD 的中点,求证:GM∥平面 ABFE;.

3、 如图, 在四棱锥 S ? ABCD 中, 底面 ABCD 为正方形, E 、F 分别为 AB,SC 的中点. 证 明: (1) EF ∥平面 SAD (2) BF ∥平面 SDE .

S F

D A E B

C

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第六课时:直线平面垂直的判定和性质
引入课题
问题 1: 一条直线与一个平面垂直的意义是什么?在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地 面的影子.你能发现旗杆所在直线与它的影子所在直线的位置关系吗? 定义:如果直线 l 与平面 ? 内的任意一条直线都垂直,我们就说直线 l 与平面 ? 互相垂直。 记作 l

? ? ,直线 l 叫做平面 ? 的垂线,平面 ? 叫做直线 l 的垂面,直线与平面垂直时,它

们唯一的公共点 P 叫做垂足。 符号语言:任意 a ? ? , 都有l ? a ? l ? ? ,其中“任意直线”等同于“所有直线”

新课教学
问题 2:除定义外,如何判断一条直线与平面垂直呢?

直线与平面垂直的判定定理:
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直.

l?a l ?b

a ??
b??

a?b ? A
作用:判定直线与平面垂直.

? ? ? ?? l ?? ? ? ?

注: 线面垂直的判定定理可概括为有 “线线垂直” 则 “线面垂直” . 思考: 能否说成 “一条直线与一个平面内的两条直线都垂直, 则该直线与此平面垂直. ” ??? 例 1:如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=90 。 求证:PC⊥BC
0

注:线面垂直的基本性质可概括为有“线面垂直” ,则“线线垂直”. 变式 1、已知空间四边形 ABCD 中, AC ? BC, AD ? BD ,作 BE ? CD , E 为垂足,作
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AH ? BE 于点 H ,求证: (1)AB⊥平面 CDF.(2)AH⊥平面 BCD.

问题 3:直线与平面垂直的判定定理,解决了直线与平面垂直的 条件问题; 反之, 在直线与平面垂直的条件下, 能得到哪些结论? 思考:长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,棱 AA1,BB1,CC1,DD1 所在直线 与底面 ABCD 的位置关系如何? 它们彼此之间具有什么位 置关系?

直线与平面垂直的性质定理:
垂直于同一个平面的两条直线平行
用符号语言可表述为: a⊥α ,b⊥α ? a∥b 作用:同样可以判定直线与平面垂直. 例 2、PA⊥矩形 ABCD,下列结论中不正确的是 A. PB⊥BC B. PD⊥CD C. PO⊥BD ( )

D. PA⊥BD

变式 2、已知 a、b 是两条不重合的直线,α 、β 、γ 是三个两两不重合的 平面,给出下列四个命题: ①若 a⊥α ,a⊥β ,则α ∥β ; ② 若α ⊥γ ,β ⊥γ ,则α ∥β ;

③若α ∥β ,a?α ,b?β ,则 a∥b; ④若α ∥β ,α ∩γ =a,β ∩γ =b,则 a∥b。 其中正确命题的序号是 A. ①③ 两个重要结论:
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( ) C. ③④ D. ①③

B. ①④

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1、垂直于同一条直线的两个平面平行。 2、如果两条平行线中有一条直线垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面。 注:此结论可当定理使用.

平面与平面垂直的判定定理:
一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直
数学符号: a ? ? , a ? 面?

? ???

注: 面面垂直的判定定理可概括为有 “线面垂直” 则 “面面垂直” 。 例 3、如图,在正方体 中证明:平面 ⊥平面 。

D'

C'

A' D

B' C

A

B

变式 3、如图,AB 是圆 O 的直径,PA 垂直于圆 O 所在的平面,C 是圆周上不同于 A,B 的任意 一点,求证:平面 PAC⊥平面 PBC.

平面与平面垂直的性质定理:
两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.

? b ??? ?? b ? ? ? ?? ?l ? b?l ?
注:面面垂直的判定定理可概括为由“面面垂直”则“线面垂直” 。 例 4、S 是△ABC 所在平面外一点,SA⊥平面 ABC,平面 SAB⊥平面 SBC,求证 AB⊥BC.
今日之事 24 勿拖到明日

? ??

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S

A B

C

变式 4、在四棱锥中,底面 ABCD 是正方形,侧面 VAD 是正三角形,平面 VAD⊥底面 ABCD 证明:AB⊥平面 VAD V

D

C

A

B

同步练习
1、如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB =BC,E 是 PC 的中点.(1)求证:CD⊥AE;(2)求证:PD⊥面 ABE.(2)平面 ACP⊥平面 PCD.

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第七课时:线面垂直的判定专题
重要关系 线线垂直 线面垂直 面面垂直

立体几何中证明线面垂直或面面垂直都可转化为线线垂直, 而证明线线垂直一般有以下 的一些方法: (1)通过“平移” 。 (2)利用等腰三角形底边上的中线的性质。 (3)利用勾股定理。 (4)利用直径所对的圆周角是直角 (5)利用三垂线定理

常考题型
且b⊥平面α, 则a⊥平面α) 题型一、通过“平移”.(根据若 a / /b,
例 1、 在四棱锥 P-ABCD 中, △PBC 为正三角形, AB⊥平面 PBC, AB∥CD, AB= 求证:AE⊥平面 PDC. A E B P C

1 E为PD中点 . DC, 2
D

变式 1、如图,四棱锥 P-ABCD 的底面是正方形,PA⊥底面 ABCD,∠PDA=45°,点 E 为棱 AB 的中点.求证:平面 PCE⊥平面 PCD;
P

F

E B

A C

D

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题型二、利用等腰三角形底边上的中线的性质(三线合一) 例 2、三棱锥 P ? ABC 中, AC ? BC ? 2 , ?ACB ? 90 , AP ? BP ? AB , PC ? AC . 求证: PC ? AB ; P

A C

B

题型三、利用勾股定理 例 3、如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面是边长为 1 的正方形, PA ? CD, PA ? 1, PD ? 2. 求证: PA ? 平面 ABCD ;
P _

A _

D _

B _

C _

变式 2、如图,四面体 ABCD 中, CA ? CB ? CD ? BD ? 2, AB ? AD ? 2. O、E 分别是 BD、BC 的中点,求证: AO ? 平面 BCD;

A

D O B E C

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变式 3、 如图 四棱锥 P ? ABCD 底面是直角梯形 BA ? AD, CD ? AD, CD ? 2 AB, PA ? 底 面 ABCD, E 为 PC 的中点, PA=AD。 证明: BE ? 平面PDC .

题型四、利用直径所对的圆周角是直角 例 4、如图,AB 是圆 O 的直径,C 是圆周上一点,PA⊥平面 ABC.求证:平面 PAC⊥平面 PBC;
P

A

.
C O D

B

变式 4、如图,在圆锥 PO 中,已知 PO = 2 ,⊙O 的直径 AB ? 2 ,C 是狐 AB 的中点, D 为

AC 的中点.证明:平面 POD ? 平面 PAC ;

题型五、三垂线定理 三垂线定理:平面内一条直线,如果和这个平面的一条斜线在平面内的射影垂直,那么这条 直线就和这条斜线垂直。

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例 5、 已知:PA, PO 分别是平面 ? 的垂线和斜线,AO 是 PO 在 平面 ? 的射影, a ? ? , a ? AO 。求证: a ? PO ;

P

a A α O

例 6 、 已 知 PA ? 正 方 形 A B C D 所 在 平 面 , O 为 对 角 线 BD 的 中 点 。 求 证 :

P O? B D , P? C

B D 。

P

A

D

O B C

变式 5、已知正方体 ABCD ? A1B1C1D1 , O 是底 ABCD 对角线的交点. 求证: A1C ? 面 AB1D1 .
A1

D1 B1

C1

D O A B

C

变式 6、已知正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 与它的 侧视图, E 是 DD1 上一点, AE ? B1C . 求证 AE ? 平面B1CD ;

D1
A1 B1

C1

D1

A1

E D A B

4

C
图5

D

2

A

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立体几何证明题专题
重要思路
(一)线线、线面、面面平行关系的转化:
面面平行性质

? // ? ? ? ? ? a, ? ? ?

? ??a ? b?

// b

? a // ?

? ? a ? ?,b ? ?? ??
a // b

a b

a ? ?,b ? ?? a ?b ? A a // ? , b // ?

? ? ? ?

A

? ??

b a

(a//b,b//c 线线∥ ? a / /c )

公理 4

线面平行判定 线面平行性质

线面∥

? ? // ? 面面平行判定 1

面面∥

面面平行性质

面面平行性质 1

? // ? ? ? // ? ?
? ? // ?

? ? a?? ? ? ? ? ? b? ?
a // ? ? a // b

? // ? ?
a ? ?? ? a // ?

?

?

(二)线线、线面、面面垂直关系的转化:

? ? a ? b ? O? l?a , l?b ? ?
a, b ? ? ? l? ?

? ? ? ?? ? a ? ??
a? ?

三垂线定理、逆定理 线线⊥ PA?? , AO为PO
在?内射影 a?? 则a?OA ? a?PO a?PO ? a?AO
l??

线面垂直判定 1 线面垂直定义

线面⊥
?? ?

面面垂直判定 面面垂直性质,推论 2

面面⊥

? ? a ? ??
? l?a

? ? ? ? ? ? b ? ? a? ? a ? ? , a? b ? ?
??? ?? ? ? ??

? ? ? ? a?? ? a? ?

面面垂直定义
? ? ? ? l,且二面角? ? l ? ? ?
成直二面角

? ? ?? ? ?

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高考真题
1、如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, AB / / CD , AB ? AD , CD ? 2 AB ,平面 PAD ? 底 面 ABCD , PA ? AD , E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点,求证: (1) PA ? 底面 ABCD (2) BE / / 平面 PAD (3)平面 BEF ? 平面 PCD

2、如图, 三棱柱 ABC-A1B1C1 中, 侧棱 A1A⊥底面 ABC,且各棱长均相等. D, E, F 分别为棱

AB, BC, A1C1 的中点.求证:
(1) 证明 EF//平面 A1CD; (2) 证明平面 A1CD⊥平面 A1ABB1;

今日之事 31 勿拖到明日

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3、如图,四棱锥 P ? ABCD 中, AB ? AC , AB ? PA , AB∥CD, AB ? 2CD ,

E , F , G, M , N 分别为 PB, AB, BC , PD, PC 的中点,
(1)求证: CE //平面 PAD ; (2)求证:平面 EFG ? 平面 EMN

E 分别是棱 BC , CC1 上的点(点 D 不同 4、如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, A1 B1 ? A1C1 , D ,

F 为 B1C1 的中点.求证: 于点 C ),且 AD ? DE ,
(1)平面 ADE ? 平面 BCC1 B1 ; (2)直线 A1 F // 平面 ADE .

今日之事 32 勿拖到明日

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5、如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E、F 分别 是 AP、AD 的中点。求证: (1)直线 EF‖平面 PCD; (2)平面 BEF⊥平面 PAD

0 6 、 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 底 面 ABCD 为 平 行 四 边 形 , ?ADC ? 45 ,

AD ? AC ? 1 , O 为 AC 中点, PO ? 平面 ABCD , PO ? 2 , M 为 PD 中点. (Ⅰ)证明: PB //平面 ACM ; (Ⅱ)证明: AD ? 平面 PAC ;
P

M

D O A

C

B

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第九课时:立体几何中空间角求解方法(几何法)
重要知识
1、异面直线所成角的求法:范围(线线角? ? ?0? ,90? ?) 平移法:在异面直线中的一条直线中选择一特殊点,作另一条的平行线。 2、直线与平面所成的角的求法:范围(线面角? ? ?0? ,90? ?) 三垂线法:斜线和平面所成的是一个直角三角形的锐角,它的三条边分别是平面 的垂线段、斜线段及斜线段在平面上的射影。 3、二面角的求法:范围(面面角 ? ? [0 ? ,180? ]) ) 定义法: 直接在二面角的棱上取一点 (特殊点) , 分别在两个半平面内作棱的垂线, 得出平面角,用定义法时,要认真观察图形的特性。 三垂线法:已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线,用三垂线定理或逆定 理作出二面角的平面角。

典型例题
题型一、几何法求线线角
例 1、如图,长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB=BC=2,AA1=1,E、H 分别是 A1B1 和 BB1 的中点. (1)求:EH 与 AD1 所成的角; (2)求:AC1 与 B1C 所成的角.

D1 A1 E D H A B B1

C1

C

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变式 1、如图,ABCD—A1B1C1D1 是正四棱柱,若二面角 C1—BD—C 的大小为 60°,求异面直线 BC1 与 AC 所成的角的大小. A1 D1 B1 D A B C1

C

题型二、几何法求线面角
例 2、 在各边长为 2 正方体 AC1 中, 求下列线面角⑴ DB1 与底面 AC。 ⑵ A1 B 与平面 A 1B 1CD

变式 2、设 E , F 分别为正方体 AC1 的棱 AB,C1D1 的中点,求 A1B1 与面 A1 EF 所成角的正切 值。

今日之事 35 勿拖到明日

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题型三、几何法求面面角
例 3、如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,求: (1)面 A1ABB1 与面 ABCD 所成角的 大小; (2)二面角 C1—BD—C 的正切值。 A
1

D
1

C
1

B
1

D A B

C

变式 3、在四棱锥 P-ABCD 中,ABCD 是正方形,PA⊥平面 ABCD,PA=AB=2,求二面角 B-PC-D 的大小。

P

H A j

B

C

同步练习
1、已知四边形 ABCD 内接于半径为 R 的⊙O,AC 为⊙O 的直径,点 S 为平面 ABCD 外一点,且 SA⊥平面 ABCD,若∠DAC=∠ACB=∠SCA=30°,求::Z ⑴ 二面角 S-CB-A 的大小; ⑵ 直线 SC 与 AB 所成角的大小. S D C O B A

今日之事 36 勿拖到明日

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0

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2、如图,已知正方形 ABCD 和正方形 ABEF 所在平面成 60 的二面角,求直线 BD 与平面 ABEF 所成角的正弦值。 C D B A F E

3、 △ABC 和△DBC 所在平面互相垂直,且 AB=BC=BD,∠ABC=∠DBC=120°.求: ⑴ AD 与平面 DBC 所成的角; ⑵ 二面角 A-BD-C 的正切值. A

B D

C

4、如图,已知矩形 ABCD 所在平面外一点 P,PA⊥平面 ABCD,E、F 分别是 AB、PC 的中点. (1)求 EF 与平面 PAD 所成角的大小; (2)求 EF 与 CD 所成角的 大小; (3)若∠PDA=45°,求:二面角 F—AB—D 的大小. P

F A E B C D

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第十课时:立体几何中空间角求解方法(向量法)
主要考点
(一)线线角(异面直线所成的角) (范围 0

? ? ? 90



(二)线面角(直线平面所成的角) (范围 0

? ? ? 90



(三)二面角(平面平面所成的角) (范围 0

? ? ? 180



重要方法——向量坐标法(空间立体几何万能方法) 典型例题
题型(一) 线线角(异面直线所成的角)
例 1、在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 棱长为 a.求: (1)直线 DB1 与面 AB1 所成的角; (2)直线 AB1 与面 BC1 所成的角;
A1 D D1 B1 C C1

A

B

今日之事 38 勿拖到明日

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题型(二)线面角(直线平面所成的角) (范围 0 ? ? ? 90 )
例 2、在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 棱长为 a.求: (1) 直线 DB1 与面 A1 B1C1 D1 ; (2) 求 A1 B 和平面 A1 B1CD 所成的角的大小;
A B A1 D D1 B1 C C1

题型(三)二面角(平面平面所成的角) (范围 0 ? ? ? 180 )
例 3、如图,在棱长为 a 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,求: (1)二面角 C1—BD—C 的正切值 (2)二面角 B1 ? BC1 ? D A1 D1 B1 D A B C C1

今日之事 39 勿拖到明日

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变式 1、如图,已知点 P 在正方体 ABCD ? A?B?C ?D? 的对角线 BD? 上, ?PDA ? 60? .求

DP 与 CC ? 所成角的大小.

D? A?
P D A B

C?
B?

C

变式 2、如图;四面体 ABCS 中,SA、SB、SC 两两垂直,

C

?SBA ? 45? , ?SBC ? 60? ,M 为 AB 的中点,
(1)求 BC 与平面 SAB 所成的角 (2)求 SC 与平面 ABC 所成的角 S A B

变式 3、过正方形 ABCD 的顶点 A 作 PA ^ 平面ABCD ,设 PA=AB=2, (1)求二面角 B - PC - D 的大小; (2)求二面角 C-PD-A

P

A D

B

C

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同步练习
1、 (本小题满分 12 分)如图所示,在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,AB=AD=1,AA1=2,M 是 棱 CC1 的中点,求: (1)求异面直线 A1M 和 C1D1 所成的角的正切值; (2)求直线 A1M 与平面 ABM 所成的角 (3)求平面 ABM 与平面 A1D1M

2、 如图, 在五面体 ABCDEF 中, 四边形 ADEF 是正方形, FA⊥平面 ABCD, BC∥AD, CD=1, AD= 2 2 , ∠BAD=∠CDA=45°. (Ⅰ)求异面直线 CE 与 AF 所成角的余弦值; (Ⅱ)证明 CD⊥平面 ABF; (Ⅲ)求二面角 B-EF-A

今日之事 41 勿拖到明日

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第十一课时:立体几何中空间距离的求解方法(向量法)
重要知识
用向量方法解决两点间、两异面直线间、点面间、线面间、面面间五类空间距离的计 算问题. 1、 两点间的距离计算 设空间两点 A ? x1 , y1 , z1 ? , B ? x2 , y2 , z2 ? ,则 d AB ? ? x1 ? x2 ? ? ? y1 ? y2 ? ? ? z1 ? z2 ?
2 2 2

2、两条异面直线间的距离计算 如图 1,若 CD 是异面直线 a 、b 的公垂线段, A 、B 分别为 a 、b 上
n

C

A

a

的任意两点.令向量 n ? a, n ? b ,
b

两异面直线 a 、 b 间的距离为: d ?

AB ? n n

.(其中 n 与 a 、

?

D 图1

B

b 均垂直, A 、 B 分别为两异面直线上的任意两点.)

3、点到平面的距离的计算 (1)等体积法:把点到面的距离看作某个体积可知的三棱锥的高,利用等体积法来求出高, 即为点到面的距离。 (2)向量法:如图 2,已知 AB 为平面 ? 的一条斜线段, n 为平面 ? 的法向量,
A 到平面 ? 的距离 AC =
AB ? n n

事实上
AB ? n AB ? n

cos ? AB, n ??
AB ? n n

AB ? n AB ? n



a A
n
C
图2

?
. B

? AC ? AB ? cos ? AB, n ? ? AB

=

4、直线到平面的距离的计算 直线到平行平面的距离可看作是直线上一点到直线的距离。

5、两个平行平面间的距离的计算 两个平行平面间的距离可看作是一个平面内的一点到另外一个平面的距离。

今日之事 42 勿拖到明日

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典型例题
题型一、两点间的距离计算
例 1、已知点 A(2,-3,5)关于 xOy 面的对称点是 B,则 | AB | ? 变式 1 、已知正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长是 4, CE ? 线段 EF 的长是 。 。

1 CC1 ,F 是 A1 B1 的中点,则 4

题型二、两条异面直线间的距离计算 例 2、如图,四棱锥 S ? ABCD 的底面是边长为 1 的正方形, SD 垂直于底面 ABCD ,

SB ? 3 .求异面直线 DM 和 SB 间的距离.
S

M D C A B

变式 2、正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,棱长为 1,求异面直线 AC 和 A1D 的距离

A D A1 D1 C1 C

B

B1

题型三、点到平面的距离的计算
例 3、已知 ABCD 是边长为 4 的正方形,E、F 分别是 AD,AB 的中点,GC 垂直于平面 ABCD 所 在的平面,且 GC=2,求点 B 到平面 FEG 的距离。
G

C F D E A

B

今日之事 43 勿拖到明日

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变式 3、已知正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长是 2,E、F、G 分别是 AA1 、 A1 B1 、 A1 D1 的 中点,则点 A1 到平面 EFG 的距离是 。
o

例 4、已知 SA⊥平面 ABCD,∠DAB=∠ABC=90 ,SA=AB=BC=1,AD=2, 求 A 到平面 SAD 的距离。

S

A C B

D

变式 4、如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, ? ABC= 90 ,AB=BC=2,
O

AA1 =2AB,M 为 CC1 的中点,试求点 B 到平面 AMB1 的距离。

C

M

C1

B A
题型四 、直线到平行平面的距离的计算
例 5、如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,G 是 AA1 的中点, 求 BD 到平面 GB1 D1 的距离。

B1 A1

D1 A1 G D A B

C1 B1

C

今日之事 44 勿拖到明日

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题型五、两个平行平面间的距离的计算
例 6、已知正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 1,求平面 AB1C 到平面 A1C1 D 间的距离 z D1 A1 B1 C1

D A B

C y

同步练习

x

1、长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,AB= 3 ,BC= BB1 =1,E 是 BC 的中点,F 是 CD 的中点, (1)求异面直线 AF 和 D1 E 的距离。 (2)求点 B 到平面 ACD1 的距离。 (3)求直线 A1C1 到平面 ACD1 的距离。

D A D A F B

C C E B

2、四棱锥 P-ABCD 中,底面四边形 ABCD 是正方形,侧面 PCD 是边长为 a 的正三角形,且平 面 PDC⊥底面 ABCD,E 为 PC 的中点。 (1)求异面直线 PA 与 DE 的距离。 (2)求点 D 到平面 PAB 的距离。

P E D A B C

今日之事 45 勿拖到明日

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附录一:

立体几何中表体积的计算公式
面 圆柱 圆锥 积 体 积

S 侧=2π rh S 侧=π rl

V=Sh=π r2h V= Sh= π r2 l2-r2 V= (S 上+S 下+ S上S下)h=
1 3 1 3 1 3

圆台

S 侧=π (r1+r2)l

1 2 π (r2 1+r2+r1r2)h 3

直棱柱 正棱锥 正棱台 球

S 侧=Ch S 侧= Ch′ S 侧= (C+C′)h′ S 球面=4π R2
1 2 1 3 1 2

V=Sh V= Sh V= (S 上+S 下+ S上S下)h V= π R3
4 3 1 3

附录二:

立体几何中的性质和定理
第一部分:点线面公理
公理 1:如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线是所有的点都在这个平面内。 公理 2:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面。 公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。

第二部分:平行关系的判定和性质定理

今日之事 46 勿拖到明日

用心教育

028-87809051

高一升高二

①线面平行的判定定理和性质定理 判定定理: 平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。 (线线平行 ? 线面平行) 性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条 直线和交线平行。 (线面平行 ? 线线平行) ②面面平行的判定定理和性质定理 判定定理: (1)如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行 (线面平行→面面平行) 。 (2) 如果在两个平面内, 各有两组相交直线对应平行, 那么这两个平面平行。 (线 线平行→面面平行) 。 (3)垂直于同一条直线的两个平面平行。 性质定理: (1)如果两个平面平行,那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。 (面面平 行→线面平行) (2)如果两个平行平面都和第三个平面相交,那么它们的交线平行。 (面面平行 →线线平行)

第三部分:垂直关系的判定和性质定理
①线面垂直判定定理和性质定理 判定定理: 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直, 那么这条直线垂直这个平面。 性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。 ②面面垂直的判定定理和性质定理 判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。 性质定理: 如果两个平面互相垂直, 那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一 个平面。

今日之事 47 勿拖到明日


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