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2016届湖北省黄冈中学高三5月第一次模拟考试数学文试题

时间:2016-05-20


湖北省黄冈中学 2016 届高三 5 月第一次模拟考试 文科数学试题
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. ) 1.集合 A ? 3, 2 a , B ? ?a, b? ,若 A ? B ? ?2? ,则 A ? B ? A. ?1, 2,3? B. ?2,3, 4? C. ?2,3? D

. ?2,3,5?

?

?

2.复数 (1 ? i)(1 ? ai) 是实数,则实数 a 等于

? ? ? ? ? 3.已知 a , b 均为单位向量,它们的夹角为 ,则 | a ? b |? 3
A.1 B. 2 C. 3
x

A.2

B.1

C .0

D . ?1

D.2

4.已知命题 p : ?x ? R, 使得 x ? 2 ? lg x ,命题 q : ?x ? R, e ? 1 ,则 A.命题 p ? q 是假命题 C.命题 p ? (?q) 是真命题 B.命题 p ? q 是真命题 D.命题 p ? (?q) 是假命题

5.函数 f ( x ) ? cos 2 x ? 3 sin x cos x ( x ? [0, ? ] )的单调递减区间为 A. [0,

?
3

]

B. [

? 2?
6 , 3

]

C. [

? 5?
3 6 ,

]

D. [

5? ,? ] 6

6.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左顶点与抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点的距离 a 2 b2
开始

为 4 ,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为 ? ?1, ?1? , 则双曲线的方程为 A.

s ? 0, n ? 1, i ? 1
B.

x2 y 2 ? ?1 16 4 x2 y2 ? ?1 9 9

x2 ? y2 ? 1 4 x2 y2 ? ?1 3 3

s ? s ?1/ n


C.

D.

i ? i ?1
否 ② 是 输出 s 结束 第 7 题图

1 1 1 7.如图给出的是计算 1 ? ? ? ? ? 的值的一个程序框图,则图 3 5 2015
中执行框中的①处和判断框中的②处应填的语句是 A. n ? n ? 1, i ? 1009 B. n ? n ? 2, i ? 1009 C. n ? n ? 1, i ? 1008 D. n ? n ? 2, i ? 1008

8.函数 f ( x) ? ( x ? 1) sin x 的图象大致是
2

y

y

y
O

y
O

O

x

O

x
B C

x

x
D

A

9. 已知数列 ?an ? 满足: 且 a2 ? a4 ? 10 , 若 Sn 为数列 ?an ? a1 ? 1 , 2an ? an ?1 ? an ?1 (n ? 2) , 的前 n 项和,则

2Sn ? 18 的最小值为 an ? 3
B. 3 C.

A. 4

26 4

D.

13 3

10. 正四面体的四个面上分别写有数字 1,2,3,4,把两个这样的四面体抛在桌面上,则露 在外面 6 个数字分别为 3,1,2,4,1,4 的概率为 1 1 1 1 A. B. C. D. 8 64 16 9 11.如图,网格纸上小正方形的边长为,粗实线画出的是 某几何体的三视图,则该几何体最长的棱长等于 A. 6 C. 4
2

B. 4 2 D. 8

12.设直线与抛物线 y ? 4 x 相交于 A, B 两点,与圆

( x ? 4)2 ? y 2 ? r 2 ( r ? 0) 相切于点 M ,且 M 为线段
AB 的中点,若这样的直线恰有 4 条,则 r 的取值范围是
A. (2,3) B. (2, 4) C. [2, 2 3] 第 11 题图 D. (2, 2 3)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置上. ) 13. 各项为正数的等比数列 ?an ? 中, a2 与 a10 的等比中项为

3 , 则 log 3 a4 ? log 3 a8 ? 3



?y ? 2 1 ? 14. 设 x, y 满足不等式 ? x ? y ? 1 , 若 M ? 4 x ? y ,N ? ( ) x , 则 M ? N 的最小值为 2 ?x ? y ? 1 ?



15.已知直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, ?BAC ? 900 ,侧面 BCC1 B1 的面积为 4 ,则直三棱 柱 ABC ? A1 B1C1 外接球的半径的最小值为 .

16.已知函数 f ( x ) ? ax ? 2ax ? a ? 1 ? a ? 0 ? , g ( x) ? bx 3 ? 2bx 2 ? bx ?
2

4 ? b ? 1? ,则 27

函数 y ? g ( f ( x)) 的零点个数为



三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 17. (本小题满分 12 分)如图,在△ ABC 中已知 ?B ? 45? , AC ? 2 3 , D 是 BC 边上 的一点. (1)若 AD ? 1, AD ? AC ? 3 ,求 CD 的长; (2)若 AB ? AD ,求△ ACD 面积 S 的最大值.

???? ????

18. (本小题满分 12 分)为了解甲、乙两校高三年级学生某次期末联考地理成绩情况,从这 两学校中分别随机抽取 30 名高三年级的地理成绩(百分制)作为样本,样本数据的茎叶 图如图所示: 甲 乙 7 3 1 0 4 2 3 2 0 0 2 0 4 5 6 7 8 9 5 3 0 0 1 0

6 5 4 3 3 1 2 2 1 1 9 7 7 6 5 5 8 6

1 2 3 3 3 3 6 6 8 9 9 1 2 5 5 6 7 7 8 8 9 2 4 8

(1)若乙校高三年级每位学生被抽取的概率为 0.15,求乙校高三年级学生总人数; (2)根据茎叶图,分析甲、乙两校高三年级学生在这次联考中地理成绩(不要求计算) ; (3)从样本中甲、乙两校高三年级学生地理成绩不及格(低于 60 分为不及格)的学生中 随机抽取 2 人,求至少抽到一名乙校学生的概率. 19. (本小题满分 12 分)如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AC ? 1, BC ? 2, AC ? BC ,

CC1 ? 1 , ?ACC1 ? 60? , D, E , F 分别为棱 AA1 , A1B1 , AC 的中点. B 1
(1)求证: EF // 平面 BCC1B1 ; (2)若异面直线 AA1 与 EF 所成的角为 45? ,求三棱 锥 C1 ? DCB 的体积.

B

E
C1
C

F
A1
20. (本小题满分 12 分)已知椭圆 C :

D

A

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0) 的上顶点为 (0, 2) ,且离心率 a 2 b2



5 . 3

(1)求椭圆 C 的方程; (2)从椭圆 C 上一点 P 向圆 x ? y ? 1 引两条切线, 切点为 A, B ,当直线 AB 分别与 x
2 2

轴, y 轴交于 N , M 两点时,求 | MN | 的最小值.

21. (本小题满分 12 分)已知 f ( x) ? mx ? a ln x ? m, g ( x) ? (1)若 m ? 2 ,求函数 f ( x ) 的极值;

ex ,其中 m, a 均为实数, ex

( 2)设 a ? 2 ,若对任意给定的 x0 ? (0, e) ,在区间 (0, e) 上总存在 t1 , t 2 (t1 ? t 2 ) 使得

f (t1 ) ? f (t 2 ) ? g ( x 0 ) 成立,求 m 的取值范围.
请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1 几何证明选讲 已知 A, B, C , D 为圆 O 上的四点,直线 DE 为圆 O 的切线,

D 为切点, AC //DE , AC 与 BD 相交于 H 点. (1)求证: BD 平分 ?ABC ; (2)若 AB ? 4, AD ? 6, BD ? 8 ,求 AH 的长.

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4 坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,以原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,并在两坐标系中取 相同的长度单位.已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2 cos ? ,直线的参数方程为

? x ? ?1 ? t cos ? (为参数, ? 为直线的倾斜角) . ? ? y ? t sin ?
(1)写出直线的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程; (2)若直线与曲线 C 有唯一的公共点,求角 ? 的大小. 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5 不等式选讲 已知 m ? 0, n ? 0 , f ( x) ? x ? m ? 2 x ? n . (1)求 f ( x) 的最小值; (2)若 f ( x) 的最小值为 2 ,求 m ?
2

n2 的最小值. 4

高三 5 月第一次模拟考试文科数学答案
一、选择题 1.A 2.D 3.C 4.C 5.B 6.C 7.D 8.A 9.D 10. C

11. A 【解析】 该几何体为三棱锥, 其棱长分别为:2 5, 2 5, 4 2, 4 2, 4 2,6 , 其中最长的棱长为 6 . 12. 【答案】D 【解析】设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ), M ( x0 , y0 ) ,直线的斜率设为 k ,则 y12 ? 4 x1 ,

y2 2 ? 4 x2 ,两式相减,得 ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 4( x1 ? x2 ) ,当的斜率存在时,得 ky0 ? 2 ,
因为直线与圆相切,所以

y0 1 ? ? ,所以 x0 ? 2 ,即 M 的轨迹是直线 x ? 2 .将 x ? 2 x0 ? 4 k
2

代 入 y ? 4 x , 得 y ? 8 , ∴ ?2 2 ? y0 ? 2 2 , ∵ M
2

在 圆 上 ,
2

∴ ( x0 ? 4) 2 ? y0 2 ? r 2 ,? r 2 ? y0 2 ? 4 ? 12 ,∵直线恰有 4 条,∴ y0 ? 0 ,∴ 4 ? r ? 12 , 故 2 ? r ? 2 3 时,直线有 2 条;斜率不存在时,直线有 2 条;所以直线恰有 4 条时,

2 ? r ? 2 3 ,故选 D.
二、填空题 13. ?1 14. ?4 15. 2
2

16. 2 【解析】 f ( x ) ? a ( x ? 1) ? 1 ? 1 , g '( x ) ? 3bx 2 ? 4bx ? b ? 3b( x ? )( x ? 1) ,因 为 b ? 1 , 因 此 g ( x) 在 (??, ) 和 (1, ??) 上 递 增 , 在 ( , 1) 上 递 减 , 且

1 3

1 3

1 3

1 4 4 4 1 g ( x) max ? g ( ) ? b ? ? 0 , g ( x) min ? g (1) ? ? ? 0 , 所 以 g ( x) 在 (??, ) , 3 27 27 27 3 1 ( , 1) , (1, ??) 上各有一个零点,依次记为 x1 , x2 , x3 ,则 f ( x) ? x1 无解, f ( x) ? x2 无解, 3

f ( x) ? x3 有两解,故 y ? g ( f ( x)) 有 2 个零点.
三、解答题 17. 【解析】在△ADC 中,AD=1, AC ? 2 3 , AD ? AC ?| AD | ? | AC | ? cos ?DAC

???? ??? ?

????

??? ?

? 1 ? 2 3 ? cos ?DAC ? 3

,

? cos ?DAC ?

3 2

,















CD 2 ? AC 2 ? AD 2 ? 2 AC ? AD ? cos ?DAC

? 12 ? 1 ? 2 ? 2 3 ? 1 ?

3 2

?7 , 所 以

CD ? 7 .……6 分
( 2 ) 因 为 AB ? AD 且 ∠B = 45°, 所 以 ?ADB ? 45°, ?ADC ? 135°. 在 △ADC 中 ,

AC ? 2 3 ,由余弦定理得: AC 2 ? CD 2 ? AD 2 ? 2CD ? AD ? cos ?ADC

12 ? CD 2 ? AD 2 ? 2CD ? AD ? 2CD ? AD ? 2CD ? AD ,即 AD ? CD ? 6(2 ? 2)
1 2 △ACD 面 S = AD ? CD ? sin ?ADC ? AD ? CD ? 3 2 ? 3 ,所以当且仅当 AD =CD 时, 2 4
积 S 取得最大值为 3 2 ? 3 .……12 分 18 . 【解析】 ( 1 ) 因 为 每 位 同 学 被 抽 取 的 概 率 均 为 0.15 , 则 高 三 年 级 学 生 总 数

M?

30 ? 200 ……2 分(2)由茎叶图可知甲校有 22 位同学分布在 60 至 80 之间,乙校也 0.15

有 22 位同学分布在 70 至 80 之间, 乙校的总体成绩分布下沉且较集中即成绩的平均数较大, 方差较小.所以,乙校学生的成绩较好. ……6 分 (3)由茎叶图可知,甲校有 4 位同学成绩不及格,分别记为:1、2、3、4;乙校有 2 位同 学成绩不及格,分别记为:5、6.则从两校不及格的同学中随机抽取两人有如下可能: (1, 2) 、 (13) 、 (1,4) 、 (1,5) 、 (1,6) 、 (2,3) 、 (2,4) 、 (2,5) 、 (2,6) 、 (3,4) 、 (3,5) 、 (3,6) 、 (4,5) 、 (4,6) 、 (5,6) ,总共有 15 个基本事件.其中,乙校包含至少有一名 学 生成绩不及格的事件为 A,则 A 包含 9 个基本事件,如下: (1,5) 、 (1,6) 、 (2,5) 、 (2, 6) 、 (3,5) 、 (3,6) 、 (4,5) 、 (4,6) 、 (5,6) .所以, P ( A) ?

9 3 ? .……12 分 15 5

19. 【解析】 (1)取 B1C1 的中点为 G ,连接 EG , CG ,? E , F 分别为棱 A1B1 , AC 的中点,

// 1 A1C1 ? //CF ,所以四边形 EGCF 为平行四边形, ? EF / /CG ,又 ? EF ? / 面 ? EG ? 2

BCC1B1 , CG ? 平面 BCC1B1 ,所以 EF // 平面 BCC1B1 ;……6 分
(2)? EF //CG , AA1 // CC1 ,异面直线 AA1 与 EF 所成的角为 45? ,所以 ?C1CG ? 45? , 又 C1G ? CC1 ? 1,??CC1G ? 90? ,? B1C1 ? CC1 ,且 AC ? BC ,? B1C1 ? 面 ACC1 A1 ,

? BC ? 面 DCC1 ,在 ?ACC1 中, AC ? CC1 ? 1, ?ACC1 ? 60? ,? S?ACC1 ?
所以 VC1 ? DCB ? VB ? DCC1 ?

3 ? S?DCC1 , 4

1 1 3 3 .……12 分 ? S ?DCC1 ? BC ? ? ?2 ? 3 3 4 6

20.【解析】 (1) ? b ? 2, e ?

x2 y2 c 5 ? ? 1; 所以椭圆 C 的方程为 ? ,? a ? 3, c ? 5 , 9 4 a 3

……4 分(2)设点 P, A, B 的坐标分别为 ( x0 , y0 ),( x1 , y1 ),( x2 , y2 ) ,过点 A 的圆的切线方程 为

x1 x ? y1 y ? 1 ,过点 B 的圆的切线方程为 x2 x ? y2 y ? 1 ,两条切线都过点 P ,所以 x1 x0 ? y1 y0 ? 1 , x2 x0 ? y2 y0 ? 1 ,则切点弦 AB 的方程为 x0 x ? y0 y ? 1 ,……7 分,由题
意知 x0 y0 ? 0 , 所以 M (0,

1 1 1 1 x2 y2 1 1 ?| MN |2 ? 2 ? 2 ? ( 2 ? 2 ) ? ( 0 ? 0 ) ), N ( ,0) , x0 y0 x0 y0 9 4 y0 x0

?

1 1 x0 2 y0 2 1 1 1 1 25 18 2 12 ,当且仅当 x0 2 ? 时取等号, , y0 ? ? ? ? ? ? ?2 ? ? 2 2 5 5 9 4 9 y0 4 x0 9 4 9 4 36
5 .……12 分 6

所以 | MN | 的最小值为

a 2x ? a .当 a ? 0 ? x x a a 时, f ?( x ) ? 0 , f ( x ) 没有极值;当 a ? 0 时,由 f ?( x ) ? 0 ,得 x ? ,所以当 x ? (0, ) , 2 2 a a a f ?( x ) ? 0 ,当 x ? ( , ??) , f ?( x ) ? 0 ,所以当 x ? 时, f ( x ) 取得极小值 f ( ) ? 2 2 2 a a ? 2 ? a ln ,没有极大值. ……5 分 2 e(1 ? x ) (2)? g ?( x ) ? ,所以当 x ? (0,1) 时, g ?( x ) ? 0 , g ( x) 在 (0,1) 上单调递增,当 ex
21. 【解析】 (1)? m ? 2,? f ( x ) ? 2 x ? a ln x ? 2 ,? f ?( x ) ? 2 ?

x ? (1, e) 时 , g ?( x ) ? 0 , g ( x) 在 (1, e) 上 单 调 递 减 , 所 以
? g ( x ) ? (0,1] ,又 f ' ( x ) ? m ?

g ( x ) max ? g (1) ? 1



2 ,当 m ? 0 时, f ?( x ) ? 0 ,所以 f ( x ) 在 (0, e) 上单调递 x

减,不符合题意;当 m? ? 0 时,要 ?t1 , t2 使得 f (t1 ) ? f (t2 ) ,那么由题意知 f ( x) 的极值点 必在区间 ?0, e ? 内, 即0 ?

2 2 2 2 在 ( , e) ? e ,得 m ? ,且函数 f ( x) 在 (0, ) 上单调递减, m m m e

上 单 调 递 增 , 由 题 意 得 g ( x) 在 ?0, e ? 上 的 值 域 包 含 于 f ( x) 的 值 域 , 所 以

? 2 ? f ( ) ? 0 (1) ? m ? (2) ? f ( e) ? 1

,……8 分 由(2)得 m ?

3 ,由(1)得 2 ln m ? m ? 2 ? 2 ln 2 ? 0 , e ?1 2 3 ? 1 ,当 m ? ( , 2) 时, ? ?( m ) ? 0 , m e ?1

记 ? ( m ) ? 2 ln m ? m ? 2 ? 2 ln 2 ,则 ? ?( m ) ?

当 m ? (2, ??) 时, 所以 ? ( m ) max ? ? (2) ? 0 , ? ( m) 单调递增, ? ?(m) ? 0 , ? ( m) 单调递减,

即当 m ? 分

3 3 时, 2 ln m ? m ? 2 ? 2 ln 2 ? 0 成立,即(1)成立,所以 m ? .……12 e ?1 e ?1

22. 【解析】 (1)? DE // AC ,? ?CDE ? ?ACD , 又? DE 切圆 O 于点 D ,? ?CDE ? ?CBD , ? ?ACD ? ?CBD ,而 ?ACD ? ?ABD ,? ?CBD ? ?ABD ,即 BD 平分∠ABC;……5 分 (2)由(I)知 ?CBD ? ?ABD ,又? ?CBD ? ?CAD ,

? ?ABD ? ?CAD 又? ?ADH 为公共角,∴ ?DBA 与 ?DAH 相似,?
∵AB=4,AD=6,BD=8,∴ AH ? 3 .……10 分 23. 【解析】 (1)当 ? ?

AH AD , ? AB BD

?
2

时,直线的普通方程为 x = - 1 ;当 ? ?

?
2

时,直线的普通方程为

y = (tan a )( x +1) . ……2 分 由 ? ? 2 cos ? ,得 ? 2 ? 2 ? cos ? ,所以 x 2 + y 2 = 2 x ,即为曲线

C 的直角坐标方程. ……4 分
(2)把 x ? ?1 ? t cos ? , y = t sin a 代入 x + y = 2 x ,整理得 t 2 - 4t cos a + 3 = 0 . 由 ? ? 16 cos 2 ? ? 12 ? 0 ,得 cos 2 a = 故直线倾斜角 ? 为
2 2

3 3 3 ,所以 cos a = 或 cos a = , 2 2 4

?
6



5? . ……10 分 6

? ? ? 3 x ? m ? n, x ? ?m ? n n ? 24. 【解析】 ( 1 )∵ f ( x) ? ?? x ? m ? n,? m ? x ? ,∴ f ( x) 在 (??, ) 是减函数,在 2 2 ? n ? 3 x ? m ? n, x ? ? 2 ?
n n n n ( ,??) 是增函数.∴当 x ? 时, f ( x) 取最小值 f ( ) ? m ? . ……5 分 2 2 2 2 n n ? (2)由(1)知, f ( x) 的最小值为 m ? ,∴ m ? ? 2 .∵ m, n ? R , 2 2

(m 2 ?

n2 1 n2 1 n n ) ? ? 2(m 2 ? ) ? (m ? ) 2 ? 2 ,当且仅当 m ? ,即 m ? 1, n ? 2 时,取等 4 2 4 2 4 2
2

号,∴ 4(m ?

n2 ) 的最小值为 2 . ……5 分 4


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